Учебное пособие 800446

уравнений.

Теорема 1. Если функции y1(x) и y2(x) решения

уравнения

y p(x)y q(x)y 0,

(4.2)

то функция y C1y1(x) C2y2(x)

при любых значениях

постоянных C1 и C2

также является решением, уравнения (4.2).

Итак, функция вида

y C1y1(x) C2y2(x)

с произвольными

что для любого x (a, b)

имеет место равенство

1y1(x) 2y2(x) 0.

(4.3)

Очевидно, что если функции y1(x)

и y2(x) линейно зависимы, то они

пропорциональны. Действительно, если 1y1(x) 2y2(x) 0, причем 1

0 и

y2(x) 0, то

y1(x)

2

const. Верно и обратное.

y2(x)

1

Функции y1(x) и y2(x) называются линейно независимыми на (а,b), если

не существует таких чисел

1 и 2, из которых хоть одно отлично от нуля,

что для любого x (a, b)

имеет место равенство (4.3). Другими словами,

равенство (4.3) выполняется сразу для всех x (a, b), если только 1 2

0.

Очевидно, что если функции y1(x)

и y2(x) линейно независимы,

то их

отношение

y1(x)

const,

т. е.

они не

пропорциональны. Так, например,

y2(x)

функции y (x) x2

и y

2

(x) x3

линейно независимы на любом интервале

1

(а,b), поскольку

y1

(x)

1

const, а

функции

y (x) 4x2

и

y

2

(x) x2

y2

(x) x

1

y1

(x)

линейно зависимы на любом промежутке, так как

4 const .

y2

(x)

Предположим теперь, что функции

y1(x) и

y2(x)являются решениями

y1

y2

(4.4)

y1y2 y2y1.

y1

y2

Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, опре-

деленной на (а, b), и обозначается W(y1, y2) или просто W(x).

Теорема 2. Если функции y1(x) и y2(x)

линейно зависимы на (а,b), то

решения уравнения (4.2), то функция

y C1y1(x) C2y2(x)

(4.5)

где C1 и C2 произвольные постоянные, является

общим решением

уравнения (4.2).

Пусть Y C1y1(x) C2y2(x)

общее решение однородного уравнения

(4.2). Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4.1) в виде

y C1(x)y1(x) C2(x)y2(x),

(4.6)

рассматривая

C1 и

C2

как

некоторые искомые функции от х.

Про-

дифференцируем последнее равенство

y

(x)

(4.7)

C1(x)y1

С1(x)y1

(x) C2

(x)y2(x) C2(x)y2(x).

Подберем функции C1(x)

и C2(x) так, чтобы выполнялось равенство

C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) 0.

(4.8)

Тогда равенство (4.7) принимает вид

y

С1

(x)y1(x) C2(x)y2(x).

(4.9)

C1

(x)y1

(x) C2

(x)y2(x) f (x).

Таким образом, функция (4.6) является решением уравнения (4.1), если

функции C1(x)

и C2(x)

удовлетворяют уравнениям (4.8) и (4.9). Объединяя

их, получаем систему уравнений

С (x)y (x) C

(x)y

2

(x) 0,

(4.10)

1

1

2

C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) f (x),

(x)

неизвестны,

(x) и f (x)

в которой С1(x)

и С2

а y1(x), y2(x), y1

(x), y2

имеет единственное решение относительно С1(x)

и С2(x). Решая эту

систему, получаем С1(x) 1(x),

С2(x) 2(x),

где 1(x) и 2(x)

полученные выражения для C1(x)

и C2(x) в равенство (4.6), получаем искомое

частное решение уравнения (4.1).

Пример. Найти частное решение уравнения у" у = х.

Решение. Общее

решение соответствующего

однородного

уравнения

y y 0

имеет вид

Y(x) C1ex C2e x.

Поэтому

частное

решение

неоднородного уравнения будем искать в виде

~

x

C2(x)e

x

.

(4.11)

y(x) C1(x)e

Система (4.10) для нахождения С1(x)

и С2(x) в данном случае имеет вид

x

C2

(x)e

x

0,

С1(x)e

x

x

(x)e

x.

C1(x)e

C2

Складывая эти уравнения, найдем

С1(x)

1

xe

x

. Отсюда, интегрируя,

2

1

получаем

С (x)

(x 1)e x.

1

2

Произвольную

постоянную

не

пишем,

так

как

ищем какое-нибудь

найдем С2(x)

1

xe

x

, откуда,

интегрируя, получаем

С2

(x)

1

(x 1)e

x

.

2

2

Подставляя найденные выражения C1(x) и

C2(x)

в равенство (4.11),

~

получаем частное решение y данного неоднородного уравнения:

~

1

x

x

1

x

x

y

(x 1)e

e

(x 1)e

e

x.

2

2

~

x

C2e

x

,

y y(x) Y(x) x C1e

где C1 и C2 произвольные постоянные.

y py qy 0,

(4.12)

где р и q действительные числа.

Теорема 6. 1) если число k действительный корень уравнения

k2 pk q 0,

(4.13)

то функция y ekx является решением уравнения (4.12).

2) если числа k1 i

и k2 i

( 0)

комплексные корни

уравнения (4.13), то функции

y1 e x cos x

и y2

e x sin x являются

решениями уравнения (4.12).

имеет вид y C ek1x

C

2

ek2x;

1

2) если корни характеристического уравнения действительные и равные

(k =k

2

), то общее решение имеет вид

y C ek1x

C

2

xek1x;

1

1

3) если корни характеристического уравнения комплексные (k1 i ,

k2 i , 0), то общее решение имеет вид

y e x(C1cos x C2 sin x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y y 2y 0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид k2 k 2 0;

его

корни

k1= 1, k2= 2 действительные и различные. Соответствующие частные

решения уравнения

y

ex ,

y

e 2x.

Общее решение уравнения имеет вид

y C ex C

e 2x.

1

2

2

1

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y 2y y 0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид k2 2k 1 0;

его

корни

k1 k2

1

действительные и

равные.

Соответствующие частные

решения уравнения

y

ex ,

y

2

xex.

Общее решение уравнения имеет вид

1

y C ex C

2

xex ex

(C C

2

x).

1

1

104

y py qy f (x),

(4.14)

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (4.14).

1. Правая часть имеет вид f (x) Pn(x),

где

P (x) a

0

xn a xn 1

... a

n 1

x a

n

многочлен степени п.

n

1

~

r

Тогда частное решение

~

Qn(x)x

, где Qn(x)

y можно искать в виде y

многочлен той же степени, что

и Pn(x), а r число корней

характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

y 2y y x 1.

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения

имеет вид Y (C

C

2

x)ex (см. пример

2). Так как правая часть уравнения

1

k2 2k 1 0

не

равен нулю

(k

2

k

1),

то

частное

решение

ищем

в виде

~

0

1

Ax B,

где

А

и

В

неизвестные

коэффициенты.

y (Ax B)x

Дифференцируя

дважды

~

и

подставляя

~ ~

и

~

данное

y Ax B

y, y

y в

равенства:

A 1, 2A B 1,

находим: A 1, B 3.

Итак,

частное решение

данного

уравнения имеет

вид

~

а

его

общее

решение

y x 3,

y (C C

2

x)ex (x 3).

1

f (x) e xP

2.

Правая часть имеет вид

(x),

где

P (x) многочлен

~

n

n

~

r

x

степени п.

Тогда частное решение

следует искать в виде

e

,

y

y Qn(x)x

где Qn(x)

многочлен той же степени, что и

Pn(x),

а r

число корней

Пример 5. Найти общее решение уравнения

y 4y 3y xex.

Решение.

Характеристическое уравнение k2 4k 3 0

имеет корни

k1 1, k2

3.

Значит, общее решение соответствующего

однородного

уравнения

имеет

вид Y C ex C

2

e3x. В правой части этого

уравнения

1

~

B)xe

x

(Ax

2

Bx)e

x

.

y (Ax

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

4Ax 2A 2B x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях

равенства:

4A 1,

2A 2B 0,

находим:

A

1

,

B

1

. Подставляя

найденные значения A и В

в

выражение для

~

4

4

y , получаем частное решение

~

1

2

x

данного уравнения y

(x

x)e

; общее решение имеет вид

4

1

~

x

3x

2

x

y

y

Y

C1e

C2e

(x

x)e

.

4

где a,

b

Правая часть имеет вид

и

3.

f (x) acos x bsin x,

известные

числа.

Тогда

частное решение

~

надо

искать

в

виде

y

~

r

, где

A и

B неизвестные коэффициенты,

a

r

y (Acos x Bsin x)x

число корней характеристического уравнения, равных

i .

Пример 6. Найти общее решение уравнения y y sin x.

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 1 0

имеет корни

k

i,

k2 i.

1

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

106

Y C1cosx C2 sin x.

В

правой части

равенства

тригонометрическая

функция sinx, т.

е.

a 0, b 1,

1. Так

как

i i

корень

2( Asin x Bcosx) sin x,

1

B 0. Таким образом,

~

1

откуда

A

,

частное решение

y

xcosx; общее

2

2

решение уравнения

1

~

y

y

Y C1 cosx C2 sin x

xcosx.

2

Пример 7. Найти общее решение уравнения

y y sin 2x.

Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего только тем, что

2.

Так как i i2 не является корнем характеристического уравнения, то

~

Acos2x Bsin 2x.

r 0 и частное решение следует искать в виде y

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

3Acos2x 3Bsin 2x sin 2x,

1

~

1

откуда

A 0, B

,

т.е. частное

решение

y

sin2x,

общее

решение

3

3

уравнения

1

~

y

y Y C1 cosx C2 sin x

sin 2x.

3

4.

Правая часть имеет вид

f (x) e x P

(x)cos x P

(x)sin x ,

n

m

где Pn(x) многочлен степени n,

а Pm(x) многочлен степени m. Тогда

частное решение следует искать в виде

~

x

r

e

x

Q1(x)cos x Q2(x)sin x ,

y

где Q1(x) и Q2(x)

многочлены степени s, s max n, m ,а r число корней

характеристического уравнения, равных i .

Пример 8. Найти общее решение уравнения

y y 3e2x cosx.

Решение. Здесь характеристическое уравнение

k2 1 0

имеет корни

k1 1, k2

1.

Общее

решение

однородного

уравнения

таково:

Y C ex

C

2

e x.

В

правой

части

уравнения

произведение многочлена

1

нулевой

степени,

показательной

и

тригонометрической функций,

так что

Pn(x) 3, Pm(x) 0,

s

= 0.

Число

i 2 i1

не

является

корнем

107

характеристического уравнения, поэтому

r = 0,

и частное решение ищем в

виде

~

2x

(Acosx Bsin x).

y e

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

(2A 4B)cosx (2B 4A)sin x 3cosx.

Приравнивая коэффициенты при cosx и sin x, находим

2A 4B 3,

4A 2B 0,

откуда

A

3

,

B

3

.

Таким

образом,

частное

решение

10

5

~

2x 3

3

а общее решение уравнения

y

e

cosx

sin x ,

10

5

~

2x

3

3

x

x

y y

Y e

cosx

sin x C e

C

2

e

.

10

5

1

Пример 9. По данным корням характеристического уравнения и правой

части f (x)

записать частное решение у линейного неоднородного уравнения:

а)

k

3 i2,

k

2

3 i2,

f (x) 8e3x sin2x;

1

б)

k

k

2

3,

f (x) 2xe 3x sin x;

1

f (x) ex(1 x)cos3x;

в)

k

1,

k

2

3,