Учебное пособие 800446

y

y0 M0

0 a x0 b x

Рис. 6. Полоса единственности решения линейного уравнения

В формуле (2.44) содержатся все решения однородного уравнения (2.42). Заменим в формуле (2.44) неопределенный интеграл определенным интегралом

Если y0 - произвольно, то формула (2.46) является общим решением линейного однородного уравнения (2.42) в форме Коши. Если же y0 - фиксировано, то (2.46) представляет собой решение уравнения (2.42) с начальными данными x0, y0.

Из формулы общего решения (2.46) однородного уравнения видно, что если y0 0, то решение не обращается в нуль ни в одной точке.

30

интервале ( 1,1). Воспользуемся формулой (2.44), предварительно вычислив

Полученная формула дает общее решение уравнения в области:

Пример. Найти решение задачи Коши для линейного однородного уравнения:

y ycosx 0,

y(0) 1.

Решение. Воспользовавшись формулой (2.46), получаем:

Рассмотрим свойства решений однородного линейного уравнения.

1. Если y1(x) есть частное решение уравнения (2.42), то функция y Cy1

Следовательно, функция y Cy1 является решением уравнения (2.42).

2. Если y1 - частное решение уравнения (2.42), то формула y Cy1, где C - произвольная постоянная, дает общее решение уравнения (2.42) в области a x b, y .

Действительно, функция y Cy1 является решением уравнения (2.42) (как показано выше) для всех значений параметра C. Рассматривая равенство y Cy1 как уравнение относительно C, видим, что оно разрешимо в области

31

общее решение.

4. В этом разделе рассматривается важнейшее свойство решения неоднородного уравнения – теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения.

Теорема. Если yчн - частное решение неоднородного уравнения (2.41),

то общее решение дается формулой

Подставляя функцию y в уравнение (2.41), получим, требуя, чтобы функция y

удовлетворяла уравнению:

yчн p(x)yчн z p(x)z q(x).

Таким образом, чтобы функция y yчн z являлась решением (2.41) достаточно, чтобы функция z удовлетворяла однородному линейному уравнению, и соответствующему уравнению (2.41):

z p(x)z 0.

Общее решение этого уравнения, как показано в п. 2 настоящего раздела, имеет вид (2.45). Итак, функция z должна являться общим решением однородного уравнения: z yoo. Таким образом, получим:

где, как и в формуле (2.45), неопределенный интеграл заменим определенным

Таким образом, формула (2.47) дает общее решение неоднородного линейного уравнения:

Итак, для построения общего решения неоднородного линейного уравнения нужно к общему решению соответствующего ему однородного уравнения прибавить частное решение неоднородного уравнения.

5. Методы построения общего решения неоднородного линейного уравнения.

В настоящем разделе будут рассмотрены два метода решения уравнения (2.41), первый из которых - метод Лагранжа, применяется к решению не только линейных уравнений или сводящимся к ним.

5.1. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Для нахождения решения уравнения (2.41) применим следующий метод: будем искать решение в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения (2.44), но будем считать C не постоянной, а неизвестной непрерывно дифференцируемой функцией от x. Таким образом, положим

заметим, что первый член в правой части является общим решением соответствующего однородного уравнения, а второе слагаемое есть частное

33

решение неоднородного уравнения, так как оно содержится в формуле (2.51) при C 0.

Формула (2.51) показывает, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить двумя квадратурами.

Отметим характерное свойство решения линейного уравнения. Из (2.51)

видно, что общее решение линейно зависит от произвольной постоянной. Для нелинейных уравнений такое свойство уже не выполняется.

Другой вид общего решения получается из (2.51) заменой неопределенных интегралов определенными с переменным верхним пределом:

находим: C y0.

Таким образом, решением задачи Коши является функция

начальными данными x0 , y0 будет не только непрерывно, но и непрерывно дифференцируемо при всех значениях x. Это означает, что интегральная кривая уравнения, проходящая через любую точку плоскости M0(x0, y0) будет гладкой кривой при x ( , ).

З а м е ч а н и е 2. Если функции p(x) и q(x) непрерывны в (a,b), за исключением отдельных точек, то формула общего решения (2.51) или (2.52) остается справедливой для всех x из (a,b), если интегралы при переходе через точки разрыва не теряют смысл (если интегралы расходятся, то формула

p(x) 2x, q(x) x, то есть линейным неоднородным уравнением. Функция

34

или

Это означает, что на одну из двух функций налагается требование – она должна удовлетворять однородному уравнению, соответствующему данному неоднородному. Таким образом, дифференциальное уравнение (2.55) будет равносильно системе двух дифференциальных уравнений, одно из которых – уравнение (2.56), а другое получается из (2.55) при условии (2.56). Имеем:

Оба уравнения системы (2.57) являются уравнениями с разделяющимися переменными. Для первого из них мы возьмем частное решение

v exp( p(x)dx) (см. формулу (2.48)). Из второго уравнения получаем

du q(x) dx, u q(x)e p(x)dxdx C. v

Подставив найденные функции v(x) и u(x) в формулу (2.54), получим

общее решение уравнения

Решение. Ищем его в виде y u(x) v(x). Дифференцируя по х, имеем: y u v uv .

Подставим эти выражения в уравнение

и потребуем, чтобы функция v(x) удовлетворяла однородному уравнению

dvsin x vcosx 0. dx

Решением задачи Коши является функция y x2.

Задачи для самостоятельного решения

где v - любое действительное число, называется уравнением Бернулли. Если v 0, то уравнение Бернулли вырождается в линейное уравнение (2.41); при v 1 уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными:

1. Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению подстановкой

38

Действительно, применив эту подстановку, найдем производную новой функции

z (1 v)y vy .

Умножив обе части уравнения (2.58) на (1 v)y v (предполагая, что y 0 если v 0), получим дифференциальное уравнение для новой функции

которое является линейным уравнением. Интегрируя полученное уравнение методом, изложенным в п. 2.4, получим общее решение уравнение Бернулли в виде

1

Читателю рекомендуется самостоятельно получить это решение. Таким образом, уравнение Бернулли также интегрируется в квадратурах.

2. Помимо общего решения уравнение Бернулли при v 0 имеет еще очевидное решение y 0 (при v 0 функция y 0 не является решением уравнения). При 0 v 1 решение y 0 не содержится в формуле общего решения. Оно является особым решением, поскольку в каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши.

решение существует и единственно. Формально это решение можно включить в семейство (2.61), положив C .

3. При решении уравнения Бернулли нет необходимости пользоваться готовой формулой (2.61). Проще превратить его в линейное уравнение, используя подстановку (2.59), или же непосредственно использовать метод Бернулли, отыскивая решение уравнения в виде y u v.

Пример. Найти решение уравнения xy y y2 ln x.

Решение. Разделив обе части уравнения на x видим, что это уравнение типа (2.58) при v 2. Разыскиваем его решение в виде произведения двух функций y u v. Подставим в уравнение y u v uv , y u v, получим:

u v uv 1uv u2v2 ln x, x x

39