Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебное пособие 800446

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
01.05.2022
Размер:
2.77 Mб
Скачать

В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ,

ФИЗИКИ, ТЕРМОДИНАМИКИ И ЭКОЛОГИИ

Учебное пособие

divFdV FndS

V S

Воронеж 2019

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫCШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ,

ФИЗИКИ, ТЕРМОДИНАМИКИ И ЭКОЛОГИИ

Учебное пособие

Воронеж 2019

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161(я7)

Р989

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Костин); канд. физ.-мат. наук, доцент И. В. Колесникова

Ряжских, В. И.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями Р989 к задачам механики, физики, термодинамики и экологии: учебное

пособие / В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко; ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2019. – 181 с.

ISBN 978-5-7731-0779-8

В учебном пособии излагается теория дифференциальных уравнений с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения.

Издание предназначено для студентов по направлению подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки»), 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника» (профиль «Промышленная теплоэнергетика»), специальностей 24.05.07 «Самолето- и вертолетостроение», 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной и заочной форм обучения.

Ил. 14. Библиогр.: 12 назв.

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161(я7)

Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета

ISBN 978-5-7731-0779-8

© Ряжских В. И., Бырдин А. П.,

 

Сидоренко А. А., 2019

 

© ФГБОУ ВО «Воронежский

 

государственный технический

 

университет», 2019

2

ВВЕДЕНИЕ

Для того чтобы сделать ум проницательным, необходимо упражнять его в исследовании вещей, уже найденных другими…

Рене Декарт (1596-1650 г.) “Правила для руководства ума”, правило X.

Дифференциальные уравнения являются важнейшим разделом курса высшей математики, преподаваемым будущим инженерам, обучаемых в технических вузах. Это положение данного раздела курса особенно усиливается чрезвычайно большой ролью, которую дифференциальные уравнения играют в математике и ее многочисленных физических и технических приложениях. В этой связи в курсе дифференциальных уравнений наряду с изучением теории и методов решения должно уделяться достаточное внимание приложениям, чтобы показать эффективность их применения. Каждая отрасль естествознания и техники, разрабатывая математические модели процессов, занимается решением своих дифференциальных уравнений, связанных с собственной проблематикой, в общем курсе дифференциальных уравнений следует заниматься не только решением готовых уравнений, но и уделять время составлению уравнений по условиям конкретных задач.

Дифференциальные уравнения, как и дифференциальное исчисление, возникли в XVII веке. Исаак Ньютон рассматривал дифференциальные уравнения в работе 1671 г. и решения уравнений получал с помощью интегрирования и разложения в ряды. В этой работе, в частности, Ньютон рассмотрел решение дифференциальных уравнений вида

y 1 3x x2 (1 x)y,

y(0) 0.

Ньютон исследовал решение этого уравнения с помощью бесконечного ряда. В качестве первого члена ряда выбиралось начальное значение при x 0:

y 0 .

Подставляя его в правую часть уравнения, получим y 1, что при интегрировании дает y x .

Продолжая этот процесс, Ньютон получил приближенное решение

y x x2 x3 x4 x5 x6 .

3 6 30 45

Можно показать, что полученное приближенное решение близко к точному только при малых значениях x.

Свое изобретение дифференциальных уравнений Ньютон считал настолько важным, что зашифровал в виде ипограммы, смысл которой ученые передают так: “Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями”.

3

Второй изобретатель дифференциального исчисления Готфрид Вильгельм Лейбниц (1636 – 1716) открыл дифференциальные уравнения около 1676 г. Центральным пунктом размышлений Лейбница являлся поиск “универсального метода”, который сводил умозаключения к вычислениям. Погружаясь в размышления, Лейбниц перемещал по столу с помощью цепочки свои карманные часы. Это привело его к задаче (1693 г.), называемой “обратная задача о касательной”: найти кривую y(x) по заданной постоянной длине касательной “a”. Это привело Лейбница к получению дифференциального уравнения первого порядка:

y

 

y

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

a2 x2

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Леонарда Эйлера (1707-1783) и Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813). Решения линейного однородного и неоднородного уравнений n го порядка с постоянными коэффициентами было найдено Эйлером в 1739г. Метод вариации постоянных разработан Лагранжем в 1775 г. Однако Эйлер использовал такой метод в различных задачах, начиная с 1739 г. В работах Эйлера и Лагранжа на основе линейных дифференциальных уравнений была развита теория малых колебаний. Вслед за Ньютоном, Лагранжем и Лапласом (Пьер Симон Лаплас, 1749-1827), а позже Гауссом (Карл Фридрих Гаусс, 17491827), были развиты методы возмущений, которые применялись для вычисления возмущений планеты.

На протяжении XVIII века теория дифференциальных уравнений позволила сделать решающие сдвиги в земной и небесной механике, теории приливов, в метеорологии и в других областях науки.

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинался с работ Анри Пуанкаре (1857-1912). Созданная им “качественная теория дифференциальных уравнений” вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию совершенно новых направлений развития математики.

Значительный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений внесли отечественные математики: А.Н. Ляпунов (1857-1918) – развитие теории устойчивости движения, А.А. Андронов (1901-1952) – теория ветвления решений, Л.С. Понтрягин – теория структурной устойчивости, Н.М. Крылов (1879-1955) и Н.Н. Боголюбов – теория усреднения.

Однако успехи физики XX века показали ограниченность механического детерменизма и недостаточность классической математики для описания явлений в микромире. Создаваемая уже в конце XIX и XX веках новая математика позволила объяснять экспериментальные результаты в физике микромира на основе новых абстрактных математических теорий, в том числе на базе современной теории дифференциальных уравнений.

4

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, общего и частного решений. Геометрический смысл решения

Многочисленные вопросы науки и техники требуют не только отыскания скорости изменения величин по заданной физической или технической характеристике процесса (т.е. отыскания производных), но и решения обратной задачи – восстановление функции по ее заданной производной. Если задано,

например, ускорение движения a a(t),

то восстановить скорость движения

v v(t) или уравнения движения s s(t)

можно с помощью интегрирования.

Именно, поскольку a dv , где a(t) - заданная функция времени, то получаем dt

уравнение

 

 

dv(t)

a(t),

(1.1)

 

 

 

dt

 

из которого определяется скорость движения с точностью до постоянной

 

v(t) a(t)dt C,

(1.2)

C - произвольная константа. Неопределенный интеграл в решении (1.2) можно

заменить определенным интегралом с переменным верхним пределом.

 

t

 

v(t) a(t)dt C,

 

t0

 

где t0 и t - принадлежат области, в которой задана функция a(t).

f (x),

Таким образом, задача отыскания первообразной для функции

заданной в интервале x (a,b), приводит к простейшему дифференциальному уравнению

y

f (x), x (a,b).

(1.3)

Если f (x) непрерывная

на этом интервале функция,

то решение

уравнения, как известно из курса математического анализа, дается формулой x

y f (x)dx C,

 

 

x0

 

 

 

где x0,x (a,b), C - произвольная постоянная.

 

 

Уравнение

(1.3)

представляет

собой

наипростейший

тип

дифференциальных уравнений.

 

 

 

Для потребностей

самой математики, а также ее приложений в

естественнонаучных

и технических дисциплинах,

приходится определять

 

 

5

 

 

 

функцию y y(x) из более сложных соотношений, связывающих значения независимой переменной x со значениями как самой неизвестной функции y,

так и ее производных

 

 

 

 

 

 

y

,y ,...:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

(n)

) 0,

(1.4)

 

 

 

 

 

(x, y, y ,...,y

 

 

(n)

)

-

 

заданная функция

(n 1)

- переменных. Такого рода

где F(x, y, y ,...,y

 

 

соотношения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Термин “обыкновенное” означает, что входящая в уравнение неизвестная

функция зависит только от одной независимой переменной x.

 

 

Обыкновенным дифференциальным

уравнением

1-го

порядка

называется соотношение, связывающее независимую

переменную x,

неизвестную функцию этой переменной

y(x)

и ее производную 1-го порядка

y (x).

 

 

 

 

Общий вид уравнения таков:

 

 

 

 

F(x, y, y ) 0,

 

(1.5)

 

 

 

 

 

где F(x, y, y ) - заданная функция.

 

 

 

 

Решением дифференциального

уравнения (1.5)

назовем

всякую

дифференцируемую функцию y (x), удовлетворяющую

этому уравнению,

т.е. обращающую его в тождество по крайне мере в некотором промежутке изменения x:

 

 

 

 

 

F(x, (x), (x)) 0.

 

 

Например,

одним из решений уравнения y

1 y2

является функция

y sin x при x

 

 

 

 

 

 

 

,

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Если уравнение (1.5) можно разрешить относительно производной, то оно

примет вид

 

y f (x, y).

 

(1.6)

 

 

 

Заменив производную отношением дифференциалов, уравнение (1.6)

можно записать в форме

 

dy

 

 

 

 

 

 

f (x, y).

 

(1.7)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

Частным случаем

уравнения

(1.6)

является

простейшее

дифференциальное уравнение y f (x).

 

 

 

Общим решением уравнения (1.6) или (1.7) называется дифференциру-

емая по x функция

y (x,C),

 

(1.8)

 

 

зависящая от числового параметра C (“произвольной постоянной”), если она является решением дифференциального уравнения при любых допустимых значениях этого параметра.

6

Решение, полученное из общего решения (1.8) при конкретном значении параметра C, называется частным решением дифференциального уравнения.

Соотношение вида

Ф(x, y,C) 0,

(1.9)

определяющее общее решение как неявную функцию x и C, называется общим интегралом уравнения (1.5) или (1.6).

Частным интегралом дифференциального уравнения (1.5) или (1.6) называется соотношение вида (1.8) при фиксированном значении параметра

C.

Если рассматривать

x и

y как прямоугольные координаты точки на

плоскости,

то решению

y (x,C)

уравнения (1.7) или (1.5)

при

фиксированном значении постоянной C будет соответствовать некоторая

кривая на

плоскости XOY ,

которая

называется интегральной

кривой

дифференциального уравнения (1.7) или (1.5). Придавая произвольной постоянной C разрешенные значения, получим семейство (бесконечное множество) интегральных кривых, каждой из которых соответствует определенное значение постоянной C.

Например, дифференциальное уравнение

 

, как легко проверить,

y x y 0

имеет общее решение y Cx,

C .

Интегральными кривыми этого

уравнения являются прямые, проходящие через начало координат. Точка (0,0) является особой точкой дифференциального уравнения. В этой точке уравнение не устанавливает никакого соотношения между x, y и y .

Дифференциальное уравнение dy f (x, y) устанавливает зависимость dx

между координатами точки, через которую проходит интегральная кривая, и

угловым коэффициентом касательной dy к графику этой кривой в той же dx

точке. Зная x и y можно вычислить f (x, y). Следовательно, можно вычислить

dy . Сопоставляя каждой точке области, в которой определено dx

дифференциальное уравнение, вектор, направленный по касательной к графику решения, мы тем самым определяем поле направлений. Интегральные кривые – это линии, имеющие в каждой своей точке направление, определяемое дифференциальным уравнением (направление поля). Схематически поле направлений, задаваемое некоторым уравнением, показано на рис. 1.

С этой точки зрения решение дифференциального уравнения состоит в нахождении кривой на заданному в каждой точке направлению. Как видим из формулы (1.8), таких кривых на плоскости – семейство, получаемое при изменении параметра C.

7

Чтобы выделить определенную кривую из этого семейства, необходимо потребовать, чтобы линия проходила через некоторую заданную точку

(x0, y0).

Рис. 1. Поле направлений, задаваемое дифференциальным уравнением

Пример. Вернемся к уже рассмотренному выше дифференциальному

уравнению, записав

его в виде

 

dy

 

y

.

Построим поле

направлений,

 

 

 

 

 

 

dx x

точке, отличной от точки (0,0),

определяемое этим уравнением. В каждой

угловой коэффициент

касательной

к некоторой интегральной

кривой равен

отношению y . То есть угловой коэффициент касательной совпадает с угловым x

коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же точку (x, y)

. На рис. 2 показано поле направлений, задаваемое этим дифференциальным уравнением.

Рис. 2. Поле направлений, определяемое уравнением y y x

8

1.2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши

1. Одной из важнейших задач в теории дифференциальных уравнений и в практических приложениях теории, является так называемая задача Коши. Для уравнения (1.7)

dy f (x, y) dx

задача Коши ставится следующим образом.

 

Задачей Коши (или начальной задачей) для дифференциального

уравнения 1–го порядка называется задача нахождения решения

y (x)

этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию

 

y f (x, y),

y(x0) y0,

(1.10)

где x0 и y0 - заданные числа.

Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, что ищется

интегральная кривая

дифференциального

уравнения, проходящая через

заданную точку плоскости M0(x0, y0).

 

Например, функция y 2ex является

частным решением уравнения

y y при начальном условии y(0) 2.

 

Из курса высшей математики, изучаемого в 1-ом семестре, нам известно, что в алгебре большую роль играют теоремы о числе решений алгебраических уравнений. Так, в случае линейных систем уравнений, определитель которых не равен нулю, система имеет единственное решение. Известна также основная теоремы алгебры, утверждающая что многочлен n-й степени всегда имеет ровно n корней на множестве комплексных чисел (считая корни с их кратностями). В теории дифференциальных уравнений также важнейшим является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Выше мы убедились, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Поэтому ставится вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного уравнения, как можно выделить интересующее нас решение и единственно ли решение, описываемое интегральной кривой, проходящей через точку (x0, y0) области.

Будем говорить, что задача Коши с начальными условиями (1.10) имеет

единственное решение,

если существует такое число h 0, что в интервале

 

x x0

 

h определено

решение y (x)

такое, что (x0) y0

и не

 

 

существует решения, определенное в этом интервале и не совпадающее с

решением y (x) хотя бы в одной точке интервала

x x0

h, отличной от

точки x x0 (рис. 3).

 

 

9