5.5. Случайные величины процессов эксплуатации тс мск и их характеристики. Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики

Зависимость надежности машины от многочисленных и разнородных факторов приводит к тому, что появление отказов носит случайный характер. Поэтому оценку надежности объектов проводят, используя математические методы на основании обобщения накопленной статистической информации об их работе в реальных условиях эксплуатации. При этом выявляют вероятностные закономерности и соотношения между случайными факторами, по–разному влияющие на показатели надежности машин.

Теория вероятностей описывает математические модели случайных событий. Рассмотрим случайные величины процессов эксплуатации ТС МСК и их характеристики.

Случайным считается такое событие, которое в одинаковых условиях может произойти или не произойти.

Если при выполнении N раз некоторых условий случайное событие А осуществилось N (А) раз, то отношение N (A)/N называют относительной частотой события А. Для случайных событий при достаточно больших N относительная частота обладает свойством устойчивости, то есть находится около одного и того же числа. Это число называют вероятностью события А и обозначают Р (А).

Если всем возможным событиям А, В, С, ..., которые могут осуществиться при некоторых условиях, поставить в соответствие некоторые величины х₁ х₂, х₃, ..., то считается, что этим событиям соответствуют различные значения случайной величины X. Поэтому в качестве случайного события можно рассматривать принятие случайной величиной X каких–либо из ее возможных значений [37]. Под событием понимают явление, происходящее в результате испытания, то есть качественный результат опыта.

Случайная величина X называется дискретной, если множество ее возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел x₁ x₂, ... и если каждое событие X = x_i является случайным, то есть имеет определенную вероятность.

Основной характеристикой дискретной случайной величины является закон распределения вероятностей, устанавливающий связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде графика (рис. 5.2) или таблицы.

Рис. 5.2. График распределения дискретных случайных величин

Случайная величина, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый интервал, называется непрерывной.

Для непрерывной случайной величины имеет смысл рассматривать только такое событие, как попадание в интервал, поскольку вероятность попадания непрерывной случайной величины в любую заранее заданную точку равна нулю. Поэтому для ее характеристики используется понятие плотности вероятности.

Плотностью вероятности р называют предел отношения вероятности того, что возможные значения случайной величины находятся в определенном интервале к значению этого интервала:

, _(5.3)

где х – нижнее предельное значение интервала; х+∆х – верхнее предельное значение интервала; ∆х – значение интервала.

Представив графически, рис. 5.3, плотность распределения непрерывной случайной величины, видим, что если случайная величина находится в интервале ∆х, то соответствующая вероятность такова:

,

если в интервале (а, b), то она уже

.

В этом случае площадь, ограниченная кривой и ординатами в точках а и b, будет численно равна вероятности нахождения случайной величины в этих пределах. Для пределов от +∞ до –∞ имеем:

. (5.4)

Рис. 5.3. График плотности распределения вероятностей непрерывных случайных величин

Площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью абсцисс в пределах ± ∞, определяет достоверное событие и всегда равна единице. Помимо плотности распределения вероятностей для непрерывных случайных величин используют еще три способа аналитического описания законов распределения: функцию распределения вероятностей случайной величины, равной вероятности того, что случайная величина примет значение, не большее чем х:

; (5.5)

дополнительную функцию распределения

; (5.6)

функцию интенсивности

. (5.7)

Графики перечисленных функций (0 < X < _∞) для экспоненциального и нормального распределений и распределения Вейбулла (для последнего случая приведены по две кривых каждой функции, соответствующих различным сочетаниям параметров), рис. 5.4.

Функции р (х), F (x), G (х) и Н (х) однозначно пересчитываются одна в другую, поэтому принципиально они могут быть использованы для описания законов распределения. Однако некоторые специфические особенности этих функций делают каждую из них более или менее удобной для решения тех или иных задач.

Функции F (х) и G (х) позволяют непосредственно отсчитывать значения вероятностей попадания случайной величины в заданные интервалы. В то же время эти функции для любых законов распределения монотонны, что скрадывает специфические черты различных законов распределения.

Плотность р(х) наиболее ярко отображает основные особенности закона распределения: расположение области возможных значений на оси, наличие и расположение наиболее вероятных значений, степень рассеяния, симметричность и другие.

В связи с этим она наиболее удобна для наглядного представления свойства случайной величины. Функция интенсивности Н (х) относительно редко используется для описания законов распределения, причем главным образом в теории надежности.

Рис. 5.4. Графики функций: р (х) – плотности вероятностей;

F (х) – плотности распределения вероятностей; G (х) – вероятность безотказной работы;

H(х) – интенсивности для разных законов распределения: а) – экспоненциального;

б) – нормального; в) – распределения Вейбулла

Функции, описывающие закон распределения, не всегда удобны для практического пользования. В связи с этим широкое распространение получили так называемые числовые характеристики случайных величин, которые описывают не все свойства случайной величины, но просты и удобны в инженерной практике.

Среди них можно выделить h–квантиль, начальные и центральные моменты случайной величины, h–квантилем x_h называется такое значение случайной величины, которому соответствует значение функции распределения случайной величины, равное h:

.

Начальным моментом v–гo порядка называется интеграл

.

Наиболее широко используется начальный момент 1–го порядка

, (5.8)

называемый математическим ожиданием случайной величины (средним арифметическим или центром группирования).

Центральный момент v–гo порядка определяется выражением

. (5.9)

Важную роль играет второй центральный момент

, (5.10)

называемый дисперсией и характеризующий степень рассеяния случайной величины. Чтобы избавиться от неудобств размерности , которая, как видно из выражения (5.10), равна квадрату размерности X, для характеристики рассеяния случайной величины часто используют среднее квадратичное отклонение

. (5.11)

Для характеристики зоны рассеивания вводят понятие предельного отклонения случайной величины.

Предельным отклонением называют такое отклонение случайной величины от среднего арифметического, за пределами которого по обе стороны находятся отклонения с заданной вероятностью появления.

Предельные отклонения выражают в долях среднего квадратичного отклонения. Для симметричных законов распределения

, (5.12)

где А – коэффициент предельного отклонения, зависящий от формы кривой распределения и допустимой вероятности выхода значения случайной величины за принятые пределы.

Числовые характеристики случайных величин выполняют весьма важную роль. В частности, их используют при переходе от экспериментально определенных значений распределения к математическим моделям распределения, более удобным в исследовании.

Все математические модели или законы могут быть представлены в следующем общем виде: p = p ( p₁, p₂, p₃, …, p_n,),

где p₁, p₂, p, …, p_n – параметры закона распределения; в зависимости от их числа различают одно–, двух–, трех– и n–параметрические распределения. На практике наиболее часто встречаются следующие законы распределения случайных величин.

1. Распределение по закону равной вероятности (рис. 5.5). Закон описывает распределение результатов округления, его используют при оценке погрешностей, вызванных эксцентриситетами, перекосами осей за счет зазоров.

Среднее арифметическое значение случайной величины равно

. (5.13)

а) б)

Рис. 5.5. Графики распределения случайных величин по закону равной вероятности (а)

и Симпсона (б)

Среднее квадратическое отклонение

. (5.14)

Коэффициент предельного отклонения равен

.

Следовательно, для закона равной вероятности

.

2. Распределение по закону Симпсона. Этот закон применим при сложении двух случайных величин, каждая из которых следует закону равной вероятности (рис. 5.5)

Среднее арифметическое значение

.

Среднее квадратическое отклонение

. (5.15)

Тогда коэффициент предельного отклонения

.

Следовательно, для распределения по закону Симпсона

.

3. Экспоненциальное распределение (см. рис. 5.4, а). Этот закон широко используется в теории надежности, характеризуется плотностью распределения вероятности вида

P (x, p₁) = . (5.16)

Функция экспоненциального распределения вероятностей случайной величины имеет вид

,

функция интенсивности

H (x, p₁) = p₁.

Среднее арифметическое значение равно среднему квадратическому отклонению:

. (5.17)

4. Распределение Эрланга. Этому закону соответствуют следующие функции

_{; ; (5.18)}

_{причем .}

5. Распределение по нормальному закону (закону Гаусса). Такое распределение непрерывных случайных величин обусловливается одновременным действием большого числа независимых и однородных по своему влиянию факторов, причем ни один из факторов не является доминирующим.

Большинство случайных величин подчиняется закону Гаусса, поэтому закон нормального распределения имеет первостепенное значение при точностных расчетах и оценках работы механизмов машин.

Функция плотности распределения закона Гаусса имеет вид

_. (5.19)

Среднее арифметическое случайной величины m = p₁. Среднее квадратическое отклонение σ = p₂.

Закон нормального распределения графически изображается колоколообразной кривой (см. рис. 5.4, б и 5.6) с ветвями–асимптотами к оси х и модой, соответствующей среднему арифметическому значению

_{. (5.20)}

Нетрудно доказать, что точка перегиба на ветвях находится на расстояниях ±σ относительно т.

Рис. 5.6. График плотности распределения вероятностей по закону Гаусса: 1 — площадь,

определяемая функцией F (b/σ); 2 — площадь, определяемая функцией F (а/ σ)

При рассмотрении кривой можно заметить, что среднее арифметическое значение случайной величины имеет максимальную плотность вероятности; кривая симметрична относительно ординаты т, поэтому одинаковые отклонения от среднего арифметического с разными знаками равновероятны; ветви кривой асимптотически приближаются к оси х, следовательно, большие отклонения от среднего арифметического менее вероятны.

Для практических расчетов удобнее считать, что центр группирования совпадает с началом координат и величина х выражается в долях от среднего квадратического. В этом случае, если обозначить (x–m)/σ = z, плотность нормального распределения вероятностей случайной величины

.

Вероятность нахождения случайной величины в интервале ab

_(5.21)

где z₁ = (b – m)/σ; z₂ = (а – m)/σ_.

Выражение в элементарных функциях не интегрируется, поэтому для подсчета интегралов составлены таблицы значений функции

, (5.22)

называемой функцией Лапласа.

Тогда получим

. (5.23)

На практике принято считать, что размер интервала ± 3σ практически полностью определяет собой диапазон рассеивания.

При этом коэффициент предельного отклонения А=∆/σ=3. Следовательно, для закона нормального распределения ∆= ± 3σ_.

Необходимо отметить, что иногда приходится сталкиваться с тем, что одна какая–то случайная величина х является суммой двух независимых случайных величин x₁ и x₂, каждая из которых имеет определенный закон распределения.

Не рассматривая подробно теорию композиций, можно отметить:

– композиция двух законов нормального распределения дает закон нормального распределения с дисперсией, равной сумме дисперсий отдельных распределений; в этом случае среднее квадратичное отклонение равно

;

– композиция двух законов равной вероятности дает закон Симпсона с дисперсией, равной сумме дисперсий отдельных законов;

– композиция двух законов Симпсона, смешанные композиции из трех законов и более, с достаточной степенью точности приводят к закону нормального распределения. Это положение еще раз подтверждает, что при наличии большого числа факторов, влияющих на случайную величину, распределение последней подчиняется закону Гаусса.

6. Логарифмически–нормальное распределение. Такое распределение часто используют для описания долговечности материалов в условиях усталостного нагружения. Оно характеризуется следующими функциями распределения:

,

, (5.24)

,

.

7. Гамма–распределение:

, (5.25)

,

где – неполная гамма–функция

. (5.26)

В этом случае

; .

При p₁= 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное; при p₁= 1, 2, 3, ..., k – в гамма-распределение Эрланга k–гo порядка.

Частным случаем гамма-распределения (при p₁= n/2 и p₂ = 1/2) является также распределение x².

8. Трехпараметрическое распределение Вейбулла:

,

, (5.27)

,

.

Частным случаем распределения Вейбулла является экспоненциальное распределение (при p₁= 0 и p₂= 1).

Приведенные выше законы распределения представляют собой удобные в аналитическом исследовании математические модели, оказывающиеся во многих случаях достаточно близкими к реальным законам распределения случайных величин, исследуемых в тех или иных технических задачах.

В связи с этим важной задачей, имеющей большое практическое значение, является подбор подходящей математической модели закона распределения для описания случайной величины, заданной рядом экспериментально полученных данных, которые принято называть реализациями случайной величины.

Набор х₁, х₂, ..., x_{h ,} h – реализаций называют простой статистической совокупностью.

Эту совокупность удобно записывать в виде таблицы: в первом столбце таблицы указывается номер i –й реализации (от 1 до h), во втором — соответствующие значения х₁,.

В целях более наглядного отображения исходного статистического материала его представляют в виде упорядоченной статистической совокупности или вариационного ряда, где номера (от 1 до h) присваиваются реализациям в порядке возрастания их значений.

При h > 50 работать с таблицей упорядоченной статистической совокупности неудобно. В этих случаях исходный статистический материал подвергается предварительной обработке. Весь диапазон значений x_i (от х₁ до x_h) разбивают на r интервалов:

_{y1 = (x1, x2), y2 = (x2, x3), …, yj = (xj, xj+1), …, yr = (xr, xr+1)}

(в общем случае интервалы y_j могут быть неравны).

Затем подсчитывают число реализаций h_j, попавших в каждый интервал, и вычисляют частоту η_j попадания в j интервал по формуле

η_j = h_j/h.

Нетрудно видеть, что всегда имеют место равенства

. (5.28)

Далее строят таблицу с четырьмя столбцами (табл. 5.1). Такое представление исходных данных называется статистическим рядом.

Для наглядного представления статистического ряда строят графики статистических функций распределения случайной величины.

Таблица 5.1

Обработка опытных статистических данных

№ интервала	Предельные размеры интервала	Средний размер интервала	Частота интервала
1	x1 – x2
2	x2 – x3
3	x3 – x4
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
r	xr – xr+1

Рис. 5.7. Графическое изображение статистических законов распределения:

1 – гистограмма распределения; 2 – полигон распределения

Для построения статистической функции плотности распределения p*(x) (здесь и далее статистические функции распределения и статистические числовые характеристики распределений обозначены соответствующим символом со знаком *) на горизонтальной оси строят интервалы статистического ряда. На каждом интервале yj как на основании строят прямоугольник, высота которого lj определяется как отношение частоты к ширине интервала:

. (5.29)

Совокупность прямоугольников представляет собой гистограмму распределения (кривая 1 на рис. 5.7). Нетрудно видеть, что сумма площадей всех прямоугольников гистограммы

. (5.30)

Если по оси абсцисс откладывать средние арифметические размеры интервалов …, то полученную ломаную называют полигоном распределения (см. кривую 2 на рис. 5.7).

Статистический ряд позволяет также построить статистический эквивалент интегральной функции распределения F^*(x). На основе графиков статистических функций распределения легко найти статистические эквиваленты точечных и интервальных характеристик.

Для статистического математического ожидания (называемого часто статистическим средним) случайной величины имеем

, (5.31)

для статистической дисперсии получим выражение

, (5.32)

где .

Таковы некоторые законы, которые описывают вероятностные законы распределения и которые принципиально могут быть использованы для оценки состояния объектов машин строительного комплекса, оборудования и любых технических систем, в том числе при определении надежности.