2.1 Трехмерные кристаллические системы

Наиболее общим случаем решетки в трехмерном пространстве является триклинная решетка, которая может быть представлена в виде параллелепипеда, все углы которого , а вектора трансляций а,в,с имеют различную длину (рис. 2.1, а). Из него можно получить четырнадцать трехмерных решеток Бравэ (рис.2.1, б) или представить в виде таблицы (см. табл.1).

Система	Характеристики общепринятой элементарной ячейки. Размеры и углы	Решетки Бравэ в данной системе
Триклинная	a b c	P (примитивная)
Моноклинная	a b c	Р (примитивная) С (базоцентрированная)
Ромбическая	a b c	Р (примитивная) С (базоцентрированная)
Тетрагональная	a=b c	P (примитивная) I (объемноцентрированная)
Кубическая	a=b=c	P (примитивная или простая кубическая) I (объемноцентрированная) F (гранецентрированная)
Тригональная или ромбоэдрическая	a=b=c	R (ромбоэдрическая примитивная)
Гексагональная	a=b c	P (примитивная ромбоэдрическая)

Кубическая I является объемно центрированной кубической (ОЦК), а кубическая F (рис. 2.1) гранецентрированной кубической (ГЦК).

Индексы Миллера и кристаллографические направления

При рассмотрении кристалла необходимо обозначить, например, плоскость наибольшей упаковки атомов или какое-то направление в нем. Для этого плоскости кристалла задаются индексами Миллера, которые определяются следующим образом.

Точки трехмерной решетки O, А, В, С - узлы ее, расстояние ОА (рис.2.1, а) совпадает по направлению с единичным вектором а так, что ОА = n₁а. ОВ =n₂b, ОС=n₃с, где n₁,n₂,n₃ - целые наименьшие числа.

Для описания направления в кристалле выбирается, например, прямая, проходящая через начало координат. Ее направление однозначно определяется индексами [n₁ n₂ n₃]. Индексы узла являются одновременно и индексами направления и обозначаются [n₁ n₂ n₃]. Примеры наиболее характерных направлений показаны на рис.2.2.

Положение плоскости определяется заданием трех отрезков по соответствующим осям А, В,С. Индексы такой плоскости находятся так. Записывают величины обратные этим отрезкам:

Полученные дроби приводят к общему знаменателю. Пусть таким числом будет Д, тогда целые числа будут

h = .

Они являются индексами плоскости и записываются так: (hk). На рис.2.2. приведены характерные примеры.

[111]

[101]

[110]

[011]

Рис. 2.2. Индексы Миллера некоторых наиболее важных плоскостей кубического кристалла. Плоскость (200) параллельна плоскости (100).

Кристаллографические направления также обозначаются тремя числами, но в квадратных скобках [ ]. Эти обозначения похожи на индексы Миллера для плоскостей, и совпадают по значениям с ними для направлений по нормали к поверхности и только для кубических кристаллов.

Необходимо отметить, что это все относится к идеальным кристаллическим решеткам, т.е. решеткам без дефектов, которые свойственны практически всем без исключения металлам, встречаемым в природе или получаемым человеком. Ближе всех к ним по свойствам приближаются монокристаллы.

К середине тридцатых годов 20-го столетия стали накапливаться экспериментальные факты об отступлениях от правильного кристаллического строения, были введены представления о дефектах решетки, которые оказывали доминирующее влияние на ряд свойств металлов и их сплавов: таких как электросопротивление, теплопроводность, пластичность и прочность и многие другие.

К концу пятидесятых годов существовали прямые структурные методы изучения всех видов дефектов, а для металловедов стало возможным определять количество и расположение этих дефектов непосредственно в промышленных сплавах при их теплообработке, прокатке и эксплуатации. Без учения о дефектах кристаллической решетки уже невозможно было обойтись при рассмотрении механических и физических свойств металлов. Таким образом, наличие дефектов в идеальной кристаллической решетке заставило говорить о реальной кристаллической структуре.