5.1. Взаимодействие электронов

Рассмотрим металл при Т = 0. Фононов нет, так как они выморожены.

Электроны в соответствии с принципом Паули занимают все энергетические состояния ниже уровня Ферми. Представим себе, что в этих условиях уда-лось добавить каким то образом два электрона, то они естественно должны будут занимать состояния над уровнем Ферми, т.е. находиться в свободном (возбужденном) состоянии. Один из таких свободных электронов имеет волновой вектор k_I и импульс р₁ и движется по кристаллу. В какой-то момент времени он возбудил колебания решетки или на языке фононов: он испустил фонон, которого до этого не существовало и перешел в новое состояние с k₁^ и р^₁.

k₁ = k₁^ + q ;

р₁ = р^₁ + k ,

где q – волновой вектор фонона, k – импульс фонона.

При этом испущенный фонон поглощается вторым электроном, который до этого имел импульс р₂ и обладал волновым вектором k₂.

По закону сохранения импульса:

k₂ + q = k₂;

р₂ + k = р^₂,

т.е. сначала были два электрона в состояниях k₁ и k₂ с импульсами р₁ и р₂ но после обмена фононом оказались в состояниях k^₁ и k^₂ и с импульсами р^₁ и р^₂. Значит, произошло рассеяние электронов и друг на друге, причем

k₁ + k₂ = k^_{1 +} k₂ или

 (р₁) + (р₂) =  (р^ ₁) +  (р^₂ ).

Такое рассеяние двух частиц может происходить только в том случае, если они взаимодействуют. Процесс этот можно изобразить диаграммой как на рис. 5.1.

Каков знак этого взаимодействия?

В момент, когда электрон переходит из состояния k₁ в k^₁, возникает колебание электронной плотности с частотой

,

где р₁ и р^₁ -энергии электронов в состояниях р₁ и р^₁ ( k₁ и k^₁)

.

р₁

р₁-

р₂

р₂+

Рис.5.1. Схема взаимодействия частиц

Положим, что в результате такого колебания электронной плотности в данном месте произошло локальное увеличение плотности электронов. Ионы начнут притягиваться к этому месту и, обладая большей массой, будут некоторое время продолжать движение в том же направлении, хотя заряд уже будет скомпенсирован и произойдет перекомпенсация. Появится локальный положительный заряд в этой области. Вторая частица (электрон) с k₂ и р₂ начнет притягиваться к этому месту с перекомпенсированным зарядом. Таким образом возникает эффективное притяжение между этими электронами..

Отметим, что притяжение может возникнуть только в том случае, если колебания решетки (вынужденные!) происходят в фазе с вынуждающей силой (колебаниями электронной плотностью с ). Это будет в случае, когда частота вынуждающей силы  меньше собственной частоты ионной системы. Такой характерной частотой является дебаевская частота _D, т.е. максимально возможная. Поэтому условие притяжения формулируется так:

 < _D .

Пример: рассмотрим осциллятор с массой М и собственной частотой ₀, который испытывает воздействие внешней силы fе^it_. Уравнение движения такой системы запишем:

+²₀х = (5.1)

решение уравнения имеет вид:

х = х₀е^it,

подставляя значения х в уравнение (5.1) имеем

Откуда следует, что пока ² < ²_D, колебания х = х₀е^it происходят в фазе с вынуждающей силой f. В противном случае колебания будут в противофазе.