5.2.1. Энергия основного состояния

Общее выражение Е_S для энергии основного состояния дается формулой (5.9).

Если рассматривать нормальное состояние сверхпроводника, то взаимодействие между электронами отсутствует, они заполняют все состояния под поверхностью Ферми и тогда энергию основного состояния запишем

. (5.14)

Суммирование ведется по парам состояний (k, -k), поэтому и появился коэффициент 2.

Энергию основного состояния сверхпроводника будем естественно отсчитывать от энергии основного состояния нормального металла, т.е. найдем величину

(5.15)

Используя выражения (5.9) и (5.14), а также выражение (5.13) получим

(5.16)

Переходя от суммирования в правой части уравнения (5.16) к интегрированию и учитывая, что имеем окончательно

, (5.17)

где N (0) - плотность состояний около уровня Ферми.

Видим, что разность W между энергиями сверхпроводящего и нормального состояний при Т=0 оказывается отрицательной, т.е. сверхпроводящее состояние более выгодно, а значит именно такое состояние в этих условиях и будет реализовано.

5.3. Энергетическая щель

Для наших рассуждений выберем пару состояний (р, - р) в пространстве импульсов в основном состоянии сверхпроводника. Какой вклад в полную энергию вносит эта пара? Обозначим его через . Из уравнения (5.11) видно, что

. (5.18)

Первое слагаемое - кинетическая энергия пары (р, - р), второе слагаемое - вклад в отрицательную часть энергии основного состояния, происходящий от того, что эта пара участвует во всевозможных процессах взаимодействия: она может перейти в любое другое состояние (k, -k) и наоборот, когда любые другие пары (k, -k) переходят в нами выбранное состояние (р, - р). Коэффициент 2 во втором слагаемом появился потому, что пара (р, - р) в сумме (5.9) встретится дважды - один раз при суммировании по k, а другой - при суммировании по k^. Учитывая выражения (5.11 ), (5.12) и (5.13) получим

окончательно

_р = _р - Е_р . (5.19)

Рассмотрим это выражение. Положим, что в основном состоянии сверхпроводника пара состояний (р, - р) пуста. Введем один электрон в состояние Р, поэтому пара состояний (р, - р) не может участвовать в процессах рассеяния, т.е. не может давать вклад в энергию основного состояния сверхпроводника (он равен ). Следовательно, энергия сверхпроводника с одним "лишним" электроном в состоянии Р будет

. (5.20)

Этот лишний электрон назовем элементарным возбуждением. В выражении (5.20) W - энергия основного состояния сверхпроводника, а - учитывает кинетическую энергию этого "лишнего" электрона. Подставим (5.19) в (5.20) получим

. (5.21)

Поскольку помним, что

.

то добавив один "лишний" электрон к сверхпроводнику в основном состоянии, мы повышаем его энергию минимум на , т.к. _р =0 (состояние р находится на поверхности Ферми). Это значит, спектр элементарных возбуждений сверхпроводника отделен от энергетического уровня, соответствующего основному состоянию сверхпроводника, энергетической щелью. Это можно пояснить рис. 5.5. Все пары сосредоточены по энергии только в одном состоянии - основном. Одиночный электрон на этом уровне оказаться не может и должен занять первый незаполненный уровень спектра элементарных возбуждений. При разрыве пары оба электрона должны занять места в спектре одночастичных возбуждений и поэтому должна быть затрачена энергия как минимум 2 .

Вспомним, что одночастичные возбуждения подчиняются статистике Ферми-Дирака и вероятность заполнения k – состояния одиночным электроном равна

,

Е_К - энергия элементарного возбуждения. При кТ<<Е_К, f_Ф<< 1, при кТ >>Е_К . Пары Купера описываются статистикой Бозе - Эйнштейна

,

при kТ<< ; <<1, при kТ >> , .

Запишем еще один важный результат

,

где Т_К- критическая температура сверхпроводника.

Из нее следует, что при Т> Т_К пары будут разрушаться, т.к. их энергия будет больше энергии щели 2 ₀.

Рассмотрим другой важный параметр сверхпроводника - длину когерентности. Ранее мы говорили о волновой функции основного состояния сверхпроводника. Основное состояние может быть изображено распределением спаренных электронов в k - пространстве и дается функцией . График (к) был представлен на рис.5.4. Область k-пространства, где функция испытывает сильные изменения, имеет порядок

. (5.22)

Отсюда следует, что область в k-пространстве, где волновая функция основного состояния сверхпроводника будет существенно изменяться, должна определяться соотношением

.

Откуда

, (5.23)

где p_F- импульс электрона на поверхности Ферми, - фермиевская скорость электрона, а - величина, которую принято называть длиной когерентности .

Значит из (5.23) можно определить длину когерентности при Т= 0

.

Точный расчет дает

при имеем