3.3. Теплопроводность

Известно, то все твердые тела по своему энергетическому спектру делятся на полупроводники (диэлектрики) и проводники, т.е. на материалы энергетические зоны (Бриллюэна), у которых не перекрываются и материалы, где они перекрываются (проводники).

В диэлектриках перенос тепла осуществляется в основном фононами, в то время как в металлах, как фононами, так и электронами.

Фононная составляющая. При гармоническом колебании атомов, нормальные колебания являются независимыми, фононы образуют идеальный газ (невзаимодействующие фононы). Переход к ангармоническим колебаниям эквивалентен введению взаимодействия между фононами. Такой процесс называется фонон- фононным рассеянием. Вероятность их протекания характеризуют эффективным сечением рассеяния .

Количественный мерой рассеяния при ангармонических колебаниях является коэффициент ангармоничности q, т.е. радиус ~ q, а сечение _ф . Длина свободного пробега фононов

.

В кинетической теории газов коэффициент теплопроводности

. (3.18)

В нашем случае по аналогии запишем

. (3.18 а)

В области низких температур (Т<_D) теплопроводность определяется зависимостью от температуры, т.к. ~Т³, то из уравнения (3.18 а) следует

. (3.19)

На рис. 3.5 показана низкотемпературная ветвь коэффициента теплопроводности Т<<_D с ростом температуры уменьшается _ф, что приводит к падению К_реш. .

В металлах вклад в теплопроводность также вносят и свободные электроны, т.е.

.

Для электронного газа также воспользуемся выражением (3.18)

,

подставляя в него значение С_e из (3.11) найдем

. (3.20)

В области низких температур (Т< ) можно различить две ситуации, в первой из них при некоторой температуре существуют фононы и их число n_ф~Т³ , поэтому запишем

;

подставляя в уравнение (3.20) имеем

.

В области же очень низких температур, концентрация фононов в металле ничтожно мала и поэтому рассеяние электронов происходит в основном на примесях. В этом случае длина свободного пробега электронов

,

где N_n - концентрация примесных атомов. Концентрация примесей не зависит от температуры, следовательно, как следует из (3.20 ) теплопроводность металлов оказывается пропорциональна температуре.

э

Рис. 3. 6 Температурная зависимость электронной составляющей коэффициента теплопроводности

Это подтверждается опытом (рис.3.6). Для типичных металлов Се = 0,01Сv = 3∙10⁴ Dж/м К

К_e ~ 10² Вт/м К

для Аg К_e = 403 Вт/м К

для Aи К_e = 296 Вт/м К

для Ni К_e = 60 Вт/м К.

В металлических же материалах, например, их сплавах ситуация заметно отличается. Так, при уменьшающейся длине свободного пробега электрона выполняются соотношения:

.

4. Электрические свойства

Известно, что все чистые твердые тела по способности пропускать электрический ток делятся на те, которые обладают большой проводимостью, малой и практически нулевой, т.е. на металлы, полупроводники и диэлектрики.

Различие между этими твердыми телами не только и не столько в том, что они обладают различной проводимостью, а в том, что у них проводимость по - разному реагирует на одни и те же внешние воздействия. Например, при нагревании у металлов проводимость нелинейно уменьшается, а у диэлектриков резко возрастает. Полупроводники ведут себя, по – разному, одни из них как металлы, другие как диэлектрики.

В криогенной технике, как было отмечено выше, практически везде будем иметь дело с металлическими материалами. Любой из металлических материалов содержит огромное число атомов и, естественно, их поля перекрываются и электроны можно разделить на те, что находятся в потенциальной яме (связанные) и те, которые имеют энергию больше потенциального барьера (свободные электроны). Для того, чтобы в будущем правильно понимать сложные физические явления необходимо здесь отметить, что электрон является квантовой частицей, т.е. подчиняется законам квантовой механики, господствующей в микромире. На что это влияет? С точки зрения квантовой механики электрон может с той или иной вероятностью находиться там, где по классической механике Ньютона его нахождение запрещено, т.е. электрон с энергией меньше энергии потенциального барьера может с некоторой вероятностью проникать внутрь этого барьера или, другими словами, просачиваться через барьер. Вероятность просачивания тем больше, чем уже барьер и чем он ниже. Таким образом, квантовая механика допускает эффект "туннельного" перехода (туннелирования), к которому в этой работе еще вернемся. Пока мы не говорили о взаимодействии электронов между собой. Его учитывают, вводя некоторое самосогласованное поле, созданное усредненным зарядом всех электронов и тогда считая, что каждый электрон движется в пространстве, как в поле ионных остовов, так и в этом самосогласованном поле электронов.

Если воспользоваться упрощенной моделью кристалла, которая лежит в основе классической теории металлов Друде, а также квантовой теории металлов Зоммерфельда, где этот кристалл рассматривается как потенциальный ящик с плоским дном и вертикальными стенками, в котором находится N³ электронов (полагая атомы одновалентными) и они образуют газ свободных электронов с концентрацией, т.е. плотностью N₀

,

где , а - период решетки (постоянная решетки), N – число периодов решетки. Для одновалентных атомов число периодов решетки и свободных электронов вдоль одной из осей совпадают.

Как нам известно, в проводнике в условиях отсутствия внешних воздействий газ электронов находится в равновесном состоянии и описывается для квантовых частиц функцией распределения Ферми-Дирака (вырожденный газ) и ими управляет принцип Паули; если же вырождение снято, то это газ классических частиц. Его поведение описывается статистикой Максвелла-Больцмана. Эти функции распределения симметричны относительно оси координат (рис.4.1), что свидетельствует о равномерности движения электронов в противоположных направлениях, как впрочем, по всем осям декартовой системы ординат, значит результирующего движения нет, следовательно, нет и электрического тока. Установление равновесия достигается за счет взаимодействия электронов с реальной кристаллической решеткой. Это вызывает беспорядочное движение электронов в проводнике.