Сведения о материальных средах

В этой главе приводятся только самые необходимые сведения о твердом теле, без знания которых невозможно описать физические свойства материалов в области низких и очень низких температур и рассмотреть физические принципы получения сверхнизких температур.

1. Системы микрочастиц

Любая газообразная, жидкая и твердая среда окружающего нас мира состоит из множества микрочастиц (электронов, ионов, атомов, молекул), которые объединены в системы, где они располагаются, определенным образом обмениваются между собой энергией. Для понимания сложных физических процессов, происходящих в устройствах и приборах низкотемпературной техники, в том числе созданных на сверхпроводниках, необходимо рассмотреть основные закономерности объединения микрочастиц в системы и сами свойства материальных сред.

Рассмотрим некоторую систему частиц, на которую не действуют внешние силы. Среднее расстояние между ними обозначим через <r>, а дебройлевская длина волны частицы . Свойства систем частиц зависят от их числа N, и числа состояний Z, в которых могут находиться частицы. Если среднее расстояние <r> больше , т.е. отношение и нет проблемы в "заселении" состояний, следовательно, не могут проявляться особенности частицы в заселении, то такие системы ведут себя как классические.

Если же <r> меньше , то волновые функции частиц перекрываются, т.е отношение и в этих условиях должны проявляться особенности в "заселении" состояний, т.е. проявляться квантовые свойства тождественных частиц.

1.1 Случай классических частиц

Будем считать, что внешние силы, действовавшие на систему, отсутствуют и частицы тождественны. Объем такой системы в пространстве импульсов при температуре Т=О представим как объем пустотелой сферы

.

Число ячеек N_яч в ней соответствует числу состояний при условии, что объем ячейки в пространстве импульсов ΔГ_р равен

,

Обозначим . Процесс деления фазового пространства на такие ячейки конечной величины называют квантованием фазового пространства (рис.1.1).

Рис. 1. 1 Фазовое пространство

, (1.1.)

Введем обозначение числа возможных состояний частиц dZ с импульсом вблизи р и в интервале dp (т.е. с энергией от Е до E+dE), а dN - число частиц здесь. Тогда представляет плотность заполнения этих состояний. Эта величина носит вероятностный характер, т.е. функция  есть функция распределения частиц по энергиям. Задача сводится к тому, чтобы найти аналитический вид f(E). Для классических частиц, у которых dN<<dZ.

. (1.2)

Последнее выражение представляет собой запись критерия невырожденности газа.

Функция распределения Максвелла-Больцмана, которая описывает классические частицы, имеет вид, представленный функцией рис. 1.2

, (1.3)

где - изменение внутренней энергии; - химический потенциал газа; k - постоянная Больцмана.

1.2. Вырожденные коллективы частиц

Ранее мы отмечали, что, существуют системы частиц, для которых отношение числа частиц к числу состояний близко к единице и естественно в этих условиях уже стоит проблема о способах заселения состояний: по одиночке или коллективно. Прежде всего, необходимо, чтобы число этих состояний было конечным. Это возможно, если параметры состояний изменяются дискретно, т.е. частица является квантово - механическим объектом и системы таких частиц - вырожденными.

Вырожденные коллективы изучаются квантовыми статистиками. Их различают две: статистика Ферми-Дирака и статистика Бозе - Эйнштейна. Поэтому микрочастицы делятся на фермионы и бозоны. Рассмотрим две одинаковые частицы с совокупностью координат и . Их волновая функция . Физический смысл же имеет не сама волновая функция, а ее квадрат - который представляет собой вероятность того, что в состоянии, описываемом координаты одной микрочастицы лежат в интервале , а другой - . Можно записать

, (1.4)

т.е. частицы поменяли местами. Равенство (1.4) имеет две возможности

(1.5)

и

. (1.6)

Волновая функция (1.5) называется асимметричной, а тождество (1.6) симметричной волновой функцией по отношению к перестановке микрочастиц. Первая из них описывает поведение частиц с полуцелым спином , т.е фермионов, а вторая (1.6) с целочисленным спином - бозонов.

Вероятность нахождения двух ферми частиц в одном состоянии для фермионов равна нулю, как следует из уравнения (1.5) для асимметричной волновой функции

, (1.7)

т.е. равенство (1.7) выражает принцип запрета Паули.

Для бозонов же

. (1.8)

Это означает, что принцип Паули снят и в одном состоянии может находиться любое число частиц.

Для примера отметим, что к фермионам относятся: электроны, протоны, нейтроны и другие, к бозонам - фононы, фотоны, сверхпроводящие частицы и др.