4.1. Дрейф электронов

Приложим к проводнику внешнее поле и в нем, естественно, возникнет ток

, (4.1)

где коэффициент пропорциональности - удельная проводимость [ ]=ом.м (Сименс).У металлов =10⁷ См. То же уравнение можно записать через удельное сопротивление

.

Все это свидетельствует о том, что в этих условиях существует направленное движение электронов и естественно происходит изменение в функции распределения по энергии или скорости (см. рис.4.1). Такое направленное движение электронов называют дрейфом, а средняя скорость их движения - скоростью дрейфа V_д . Вычислим ее.

Сила, действующая на электрон со стороны поля равна

. (4.2)

Если бы не было сопротивления движению электронов, то последние под действием F_д двигались бы ускоренно (F = ma). Поэтому формально можно ввести силу сопротивления F_с

, (4.3)

m_e- эффективная масса электрона, V_Д – скорость дрейфа электрона.

Это уравнение можно переписать как уравнение направленного движения электрона по 2-му закону Ньютона

,

общий баланс сил запишем F = F_Д – F_c, подставляя соответствующее значение F_Д и F_c из уравнений (4.2) и (4.3) получим

. (4.4)

Из уравнения (4.4) видно, что электроны будут ускоряться ,т.к. действует внешняя сила F, но до тех пор, пока F_Д > F_с, когда же F_Д = F_c, то результирующая сила исчезнет и движение электронов будет продолжаться по инерции с некоторой затухающей скоростью.

Из уравнения (4.4) при F = 0 имеем

,

откуда

. (4.5)

В связи с тем, что заряд отрицателен, то движение электронов будет происходить навстречу вектору напряженности электрического поля.

Отношение скорости дрейфа к напряженности поля называют подвижностью (носителей). В случае классических частиц

(4.6)

для квантовых частиц

, (4.6 а)

где - время релаксации электронов на поверхности Ферми,

Вообще проводимость можно записать

,

где .

Подставляя сюда значения для U из (4.6) и из (4.11) запишем проводимость в классической теории

, (4.7)

по аналогии с ней для квантовых частиц используя (4.6) и (4.11) запишем

, (4.7 а)

для электронов U_e<О, для дырок U_p>О.

Таким образом, еще раз отметим, что причиной появления электрического сопротивления является реальная кристаллическая решетка и тепловые возбуждения.

4.2. Время релаксации

Для этого положим, что при некотором условии Fс = F_Д, когда U_Д - сonst выключим внешнее поле тогда движущая сила F_Д = 0. На движущиеся по инерции электроны будет действовать только сила сопротивления Fс и, следовательно, газ электронов будет переходить из ранее возбужденного в равновесное состояние. Такие процессы перехода в равновесное состояние в системе, ранее выведенной из нее, называются релаксацией.

Уравнение, описывающее этот процесс, можно записать из уравнения (4.4):

. (4.8)

Интегрируя (4.8) найдем

. (4.9)

Параметр характеризует время установления в системе равновесного состояния: чем меньше , тем быстрее система переходит в равновесное состояние и за время t= скорость дрейфа уменьшится в e раз. Время называется временем релаксации. Для чистых металлов =10^-14 с.

При описании движения электрона в рамках кинетической теории газов, нам потребуется ввести длину свободного пробега электрона

. (4.10)

Это выражение справедливо, в случае если скорость движения гасилась бы за один акт рассеяния. В реальных условиях это происходит не так. Требуется некоторое число столкновений и естественно средний путь, который пройдет электрон за время , будет уже не , а некоторая суммарная величина

, (4.10 а)

где _ср - некоторая средняя за время движения скорость.

Величину L называют транспортной длиной свободного пробега. Из уравнения (4.10, а) найдем

. (4.11)

Под действием электрического поля возникает дрейф, приводящий к появлению электрического тока, что говорит о перераспределении электронов проводимости по состояниям, как это показано на (рис.4.1) кривые, представленные штриховыми линиями, сдвинуты против направления вектора напряженности поля.

Плотность электрического тока j пропорциональна градиенту потенциала, что следует из (4.1) при

. (4.12)

В отсутствии электрического поля также возможно движение электронов за счет температурного поля. Плотность теплового тока j_T пропорциональна градиенту температуры , где коэффициент пропорциональности К, есть коэффициент теплопроводности, т.е.

. (4.13)

Поток тепла, переносимый электронами, также направлен навстречу градиенту, но уже температуры.

Отметим, что классическая и квантовая теории приводят к различным результатам. Так, в обоих теориях электроны участвуют в тепловом движении и взаимодействуют с остовами ионов, которые в свою очередь совершают тепловые колебания около положений равновесия. Чем выше температура, тем больше амплитуда этих колебаний. В соответствии с квантовой теорией колебания существуют и при Т=0. При отсутствии внешнего электрического поля электроны между взаимодействиями движутся равномерно, при наличии же электрического поля, т.е. с появлением силы возникает ускорение, а следовательно, и кинетическая энергия. Таково происхождение одной из причин возникновения активного сопротивления и, следовательно, джоулева тепла, которое выделяется при протекании тока. Однако здесь существуют и различия в теориях. В классической - сопротивление обусловлено взаимодействием решетки с электронами, а в квантовой теории, решетка не создает препятствий движению, т.е. она прозрачна для электронов, а сопротивление обусловлено тепловыми колебаниями решетки, т.е. фононами, которые взаимодействуют с электронами. Средняя длина свободного пробега ( ) электрона уменьшается с ростом температуры.

Классическая и квантовая теория приводят к следующим результатам. В классической теории имеем

; (4.14)

. (4.15)

В случае квантовой же теории запишем

; (4.16)

, (4.17)

где h и k- универсальные постоянные.