Методическое пособие 657

0

где L – обозначение прямого преобразования Лапласа.

Это соответствие между оригиналом и изображением записывается как

A p : а t или a t : A p .

Некоторые простейшие изображения функций представляются в виде следующих соотношений:

Подробные таблицы оригиналов и их изображений можно найти в справочнике [2].

Обратное преобразование Лапласа записывается в виде

где комплексное число p S j- оператор преобразования

Лапласа.

Однако напрямую этот интеграл не «берут», а поступают следующим образом. Если имеется возможность, то по полученному изображению находят оригинал в соответствии с таблицами, однако, если изображение такое, что оригинала в таблице нет, то используют так называемые формулы перехода от

31

изображения к оригиналу. Так, если изображение имеет вид

р значений рk .

В случае, если знаменатель последнего выражения имеет один

В соответствующих справочниках,например [2], имеются формулы и для кратных корней уравнения F2 р 0

1.4.3. Некоторые основные свойства преобразования Лапласа

Эти свойства можно представить в виде следующих соотношений:

1.k : kр ;

2.ka t : kA р ;

NN

3.ai t : Ai р , где ai t : Ai р ;

32

брать его значения справа от нуля, что и обозначено в верхнем пределе знаком 0+.

1.4.4. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

По аналогии с комплексным сопротивлением Z jвводится понятие операторного сопротивления Z p . Также поступают и для проводимости, т.е. Y jзаменяется на Y p .

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях, т.е.

33

На практике, чтобы получить Z p необходимо найти ком-

S0 при нулевых начальных условиях.

Втом случае, когда начальные условия ненулевые, эквива-

лентные операторные преобразования для конденсатора С и индуктивности L , будут другими, где простой заменой jна

рпользоваться нельзя.

1.4.4.1. Эквивалентная операторная схема конденсатора при ненулевых начальных условиях

Напряжение на конденсаторе в общем случае определяется соотношением

0

где uс 0 - постоянная величина, отражающая начальный за-

ряд емкости.

Используя теорему интегрирования

а также свойство к : кр , выражение (1.25) записывается в ви-

де

34

В соответствии с (1.27) теперь можно представить операторную схему замещения конденсатора при ненулевых начальных условиях, предварительно уточнив направление напряже-

щего начальные условия. Это можно осуществить с помощью теоремы дифференцирования

Применяя (1.28) к компонентному уравнению конденсатора

В соответствии с (1.29) ток через конденсатор имеет две составляющие и вторая из них – отрицательна. В связи с этим на операторных схемах конденсатора ставят стрелку, совпадающую с направлением основного тока совместно с указанием

Рис.1.13. Операторная схема замещения конденсатора

Схему по рис.1.13 можно представить через обозначение конденсатора в виде операторного сопротивления (рис.1.14).

35

С учетом этого операторная схема для индуктивности при ненулевых начальных условиях может быть представлена как на рис.1.15.

Рис.1.15. Операторная схема индуктивности при ненулевых начальных условиях

Как и для конденсатора (рис.1.14) схему по рис.1.15, можно изобразить через операторное сопротивление (рис.1.16)

Рис.1.6. Схема индуктивности в виде операторного сопротивления

1.4.4.3. Эквивалентная операторная схема сопротивления

Для сопротивления напряжение и ток связаны между собой зависимостью закона Ома

Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число, то для (1.34) получим, что

В соответствии с (1.35) эквивалентная операторная схема сопротивления может быть представлена на рис.1.17.

37

Рис.1.17. Эквивалентная операторная схема сопротивления

Пример 1.2. Приведем пример использования эквивалентных операторных преобразований для L, C и R на конкретной схеме.

Дана электрическая цепь (рис.1.18) и требуется начертить

Рис.1.18. Схема электрической цепи

Для составления эквивалентной операторной схемы ненулевые начальные условия будем учитывать для индуктивности введением дополнительного источника э.д.с. равного по величине L I 0 и по направлению совпадающего с положительным направлением тока, а для конденсатора введением

38

4.Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Это может производиться любым из известных методов.

5.Определение оригиналов искомых токов и напряжений.

Производится путем применения таблиц обратного преобразования или формул перехода от изображения к оригиналу.

Пример 1.3. Для схемы, изображенной на рис.1.20, определить ток в цепи, используя операторный метод, если

Рис.1.20. RC цепь с графиком входного воздействия

Представленная цепь аналогична той, которая рассматрива-

лась в примере 1.1, где применялся классический метод. Теперь требуется определить ток в цепи, используя операторный метод. Для этого будем применять рассмотренные ранее основные этапы анализа. С учетом их особенностей последовательность решения задачи будет следующей:

1. Осуществляем анализ цепи до коммутации и определяем независимые начальные условия, т.е.

U C 0 U C 0 E1;

40