Методическое пособие 657

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

u t : if t

, y , if t 3

, y t , y t ,

где y1 kt, y2

k T t , y3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Симметричный импульс в соответствии с рис.6.4 показан на рис.6.5.

Рис.6.5. Симметричный пилообразный импульс

Представление импульса (рис.6.5) в записи для расчета на ЭВМ, с учетом (6.3) и (6.4), будет иметь вид

Используя вышеизложенный подход к аналитической записи импульсов, можно осуществить представление более сложной структуры, например, импульса в виде трапеции с изменяющимися фронтами, на основе которого наглядно можно проследить изменения спектра при различных параметрах импульса (рис.6.6).

Рис.6.6. Импульс в форме трапеции

151

Описание импульса (рис.6.6) следует производить в программном варианте, т.е.

u1 t

C N

u2 t

if t

u t

(6.5)

u3 t if

t C 1

N C

0 if

где u t p t, u

u t

(6.6)

C N

Значения величин в (6.6) могут задаваться в различных ва-

риантах. При этом следует иметь в виду, что

- скваж-

ность импульса с длительностью tu

и периодом T , а величина

C - коэффициент наклона (фронт) боковых граней импульса.

6.2. Определение спектра сигнала через ряды Фурье

Порядок определения спектра периодического сигнала на основе рядов Фурье приведен в п.5.2.

Будем считать, что для наглядного представления спектральных составляющих сигнала заданы:

количество гармоник n , период колебаний Т, частота сигнала f 1T ,

анализируемая функция u t ,

время анализа t .

С учетом этих обозначений определение коэффициентов ряда Фурье должно осуществляться по следующим формулам:

152

a n

2 T

u t

cos 6,28

t n dt,

(6.7)

(6.8)

b n :

u t sin 6,28 f

n dt,

M n :

a2 n

b2 n ,

(6.9)

Y n :

a tan

b n

180

(6.10)

a n

D n :

if a n

0, Y n , Y n

180 .

(6.11)

График спектра амплитуд строится по формуле (6.9), а график спектра фаз по выражению (6.11).

Приведем примеры построения спектров с помощью про-

граммы Mathcad.

Пример 6.1. Построить спектр амплитуд и спектр фаз для

прямоугольного			импульса,	определяемого	формулой
u t : if t	T	, 0.9, if t T , 0.9, 0 .
u t : if t	2	, 0.9, if t T , 0.9, 0 .
	2

Порядок набора формул в программе Mathcad для определения спектра следующий:

n :

0, 1 10

T :

0.005

t :

0, 0.00001 0.05

f :

u t :

if t

, 0.9, if t

T , 0.9, 0

a n

u t

cos 6,28

n dt

b n

u t

sin 6,28

n dt

153

					b n	180	,
M n :		a2 n	b2 n Y n :	a tan
					a n

D n :	if a n		0, Y n , Y n	180 .

Затем следует, используя правила программы Mathcad, построить графики сигнала и спектров амплитуд и фаз (рис.6.7- 6.9).

u(t) 0

1
1	0	0.002	0.004	0.006
			t

Рис.6.7. График входного сигнала

1.146	1.5
	1
M (n)
	0.5
0	0
	0	0	5	10
		0	n	10
Рис.6.8. График спектра амплитуд

154

		-89.179		-89.179
		90.913		-89.087
	200
H( k)	0
	200	0	5	10
			k

Рис.6.9. График спектра фаз

100

Восстановить сигнал по его спектру (рис.6.10) можно, если

сложить, вычисленные ранее, гармоники с учетом их фаз и амплитуд, т.е.D(n) 0

3
F t	M n	cos 6,28 f		n t	D n .	(6.12)
n 1	100 0		5		10
			n
		2
	F(t)
	u(t)	0
	u(t)
		2 0	0.002	0.004	0.006
				t

Рис.6.10. График восстановленного сигнала по значениям трех его гармоник

155

Пример 6.2. Используя представление сигнала в форме (6.5), проследить изменения в его спектре при различных параметрах импульса.

Зададимся следующими значениями в (6.5):

С : 100

N : 4 T :

0.008

0, 0.00001..0.008 f :

p : 6,28 f C

u1 t

u2 t :

p t

n : 0, 1 20

u3 t : p

u1 t

C N

u2 t

if t

u t :

(6.13)

u3 t if

t C 1

N C

0 if

График сигнала для этого случая показан на рис.6.11.

u(t) 1

0
0	0	0.005		0.01
			t

Рис.6.11. График прямоугольного импульса со скважностью N 4

156

Вычисление спектра амплитуд (рис.6.12) осуществляется по формулам:

	2	T
a n :		u t cos 6,28 f n t dt
a n :	T	u t cos 6,28 f n t dt
		0

		2	T
b n	:	2	u t	sin 6,28 f n t dt	M n : a2 n b2 n


Y(n)		T b(n)		180
Y(n)	atan		0
			a(n)

0.777

M ( n)

8.195 10 3

1
0.5
0	0	10	20
	0	n	20

trace 1

Рис.6.12. График спектра амплитуд прямоугольного импульса при N 4

Если в (6.13) принять N 2 , то график спектра амплитуд для сигнала (рис.6.13) примет иной вид (рис.6.14).

4
4
	u(t) 2



0

		0	0.005		0.01
				t
Рис.6.13. График сигнала при N					2

157

Y(n)	atan	b(n)	180
Y(n)	atan	a(n)
		a(n)
		3.109	4
		3.109
		M ( n)	2
		0.032	0 0
			0 0	10	20
			0	n	20

trace 1

Рис.6.14. График спектра амплитуд прямоугольного импульса при N 2

Если в (6.13) принять С : 4 при N : 2 , то график сигнала приобретет форму, показанную на рис.(6.15), где склоны импульса станут пологими.

u( t) 2

0
0	0	0.005		0.01
			t

Рис.6.15. График импульса в виде трапеции

График спектра амплитуд (рис.6.16) у импульса с пологими склонами (рис.6.15) существенно отличается от случая спектра импульса с крутыми склонами (рис.6.14).

158

3
2
M (n)
1
0 0	10	20
	n

Рис.6.16. График спектра импульса с пологими склонами

Отличия в графиках по рис.6.14 и рис.6.16, прежде всего в том, что амплитуды высокочастотных гармоник в спектре импульса с пологими склонами значительно ниже, чем у импульса с крутыми склонами, т.е. спектр содержит меньшее число высокочастотных составляющих. Число гармоник под первым лепестком при N 4 (рис.6.12) равно трем, в то время как при

N2 имеется лишь одна гармоника (рис.6.14).

6.2.1.Определение спектра сигнала через быстрое преобразование Фурье

Вычисление спектра сигнала связано с вычислением интегралов (5.8 – 5.10), подынтегральные функции в которых быстро осциллируют, что существенно затрудняет вычисление таких интегралов с заданной точностью и ведет к значительным затратам времени. В связи с этим были разработаны специальные методы быстрого (или дискретного) преобразования Фурье (БПФ или ДПФ) [10], а в дальнейшем, применительно к ним, созданы специальные программные средства в системе Mathcad [4], использование которых в сотни раз ускоряет процедуру определения спектра сигнала и особенно это заметно

159

при воссоздании приближения функции рядом Фурье, то есть получения ее тригонометрического представления, называемого спектральным синтезом.

Для быстрого преобразования Фурье существуют две функции, которые предоставляют возможность проводить указанные преобразования для данных в виде векторов с действительными или комплексными числами.

Функция fft U выполняет прямое преобразование Фурье для данных, представленных действительными числами - значениями компонент исходного вектора U , который должен

иметь 2n составляющих, где n -целое число. Другая функция cfft A аналогична предыдущей, но реализует прямое преобра-

зование Фурье для вектора A с комплексными элементами. Быстрое обратное преобразование Фурье осуществляется

через функцию ifft U . Другая функция icfft B осуществляет аналогичную процедуру для элементов с комплексными зна-

чениями.

Пример 6.3. Осуществить процедуру БПФ для примера

6.1, где применялось обычное преобразование Фурье.

В быстром преобразовании Фурье число отсчетов функции

берется как

2n . Выберем их число равным 27

128,

задавая

это в виде i :

0, 1..127. Для этого случая период определяется

величиной T :

128, а величина

m :

аналогична понятию

частоты f .

Вместо

значений

времени

берутся значения

i , т.е.

u i

0,9. При принятых параметрах сигнал задается в виде

d i

if i

64, u i ,

0,9 . Число анализируемых гармоник за-

дается оператором j ,

например,

j :

0..10,

а отсчеты функции

прямого быстрого преобразования Фурье

f :

fft q вводятся

как

qi : d i .

Функция быстрого

обратного преобразования

Фурье записывается в виде h : ifft

f .

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.24 Mб2Методическое пособие 652.pdf
#
30.04.20223.28 Mб2Методическое пособие 653.pdf
#
30.04.20223.28 Mб3Методическое пособие 654.pdf
#
30.04.20223.3 Mб10Методическое пособие 655.pdf
#
30.04.20223.31 Mб2Методическое пособие 656.pdf
#
30.04.20223.34 Mб7Методическое пособие 657.pdf
#
30.04.20223.36 Mб3Методическое пособие 658.pdf
#
30.04.20223.39 Mб8Методическое пособие 659.pdf
#
30.04.20223.55 Mб10Методическое пособие 66.doc
#
30.04.2022335.16 Кб5Методическое пособие 66.pdf
#
30.04.20223.45 Mб5Методическое пособие 660.pdf