Методическое пособие 657

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ство в виде

или R<2ρ. Вычислим

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Рис. 4.16

Рис. 4.17

Используя второй закон Кирхгофа для схемы рис. 4.17 e(t)/2 = i2R2 + uL и зависи-

мость u L L	di2	, получим дифференциальное уравнение, аналогичное предыдущему
мость u L L	dt
	dt
случаю
		2L	di 2	i 2 R e(t).
		2L	dt	i 2 R e(t).
			dt

В том случае, если в схеме (рис. 4.15) вместо L подключена емкость С, то система уравнений будет иметь вид

2Ri1	i2 R e(t).
i2 R	u с i1R 0.

Осуществляя аналогичные преобразования, получаем:

101

i	e(t) i2 R		,	i	2	C	du c	,

1	2R						dt

i2R	u c	e(t)		i2R		0,	i2 R 2u c e(t).
				2

Далее составляем дифференциальное уравнение

RC	du c	2u c	e(t).
	dt

4.2. Анализ переходных процессов в электрических

цепях второго порядка сложности классическим методом

Контрольные вопросы

1.Какие электрические цепи называются цепями второго порядка сложности?

2.Приведите наиболее распространѐнный пример цепи второго порядка сложности.

3.Каким дифференциальным уравнением описываются свободные процессы в цепях второго порядка?

4.По какому временному закону изменяются токи и напряжения при свободных процессах в цепях первого порядка?

5.Какие виды свободных процессов имеют место в цепях второго порядка?

6.При каких условиях в цепи второго порядка наступают незатухающие колебания?

7.Какие основные характеристики незатухающих колебаний вам известны?

8.Какие существуют характеристики затухания свободных колебаний в реальных цепях второго порядка в колебательном режиме?

102

9. Как определить логарифмический декремент затухания?

10. При каких условиях наступает критический и апериодический процессы?

Решить задачи

4.2.1. Последовательный колебательный контур (рис. 4.18) с нулевыми начальными условиями подключают в момент t = 0 к источнику постоянной э.д.с. Е. Составить дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации.

e(t)	0	при t	0
	E	const	при t 0.

Рис. 4.18

4.2.2.Принимая во внимание условия задачи 4.2.1, определить начальные значения тока в цепи и его первой производной по времени.

4.2.3.В соответствии с задачей 4.2.1 для дифференциального уравнения цепи составить характеристическое уравнение и определить его корни.

4.2.4.Для случая вещественных различных корней найти зависимость i(t) для цепи

рис. 4.18

4.2.5.Для случая комплексно-сопряжѐнных корней найти зависимость i(t) для цепи

рис. 4.18

4.2.6.Определить характер свободных процессов в последовательной R L C –цепи, составленной из элементов со следующими параметрами: R = 15 Ом; L = 20 мГн; С = 500 пФ. Внутреннее сопротивление источника сигнала Ri = 5 Ом.

4.2.7.Определить частоту свободных колебаний ωсв и логарифмический декремент затухания последовательного контура, рассмотренного в задаче 4.2.6.

103

4.2.8.По графику тока свободных колебаний, возникающих в цепи рис. 4.18, предложите способ определения добротности контура.

4.2.9.Используя условия задачи 4.2.1, определить i(t),т.е. переходной процесс в це-

пи RLC, примененяя процедуру «odesolve» пакета Mathcad, считая R=1000 Ом, L=0,04 Гн,

C=6·10-9 Ф, E= 10 В.

4.2.10. Используя программу Workbench, определить вид переходного процесса i(t) (напряжение на R) в цепи RLC из задачи 4.2.9 при различных величинах R, когда на вход подается прямоугольный перепад напряжения от функционального генератора при частоте следования импульсов f=1 Гц (меандр), Начало переходного процесса t=0, конец t=0,001 с.

Примеры решения задач

4.2.11. Для схемы рис. 4.19 составить дифференциальное уравнение относительно напряжения u и тока iL.

Рис. 4.19

Решение.

На основании законов Кирхгофа запишем, что iR = iL+ iC ,

e = uR+u. Используя далее компонентные уравнения

du c

i L

udt,

i c

, запишем ток для

iR в виде

i R

1 t

udt C

du c

При

uR = R· iR

по уравнению

e = uR+u

определяем,

что

104

udt

du c

После дифференцирования этого уравнения имеем окончательно,что

d 2 u

1 de

dt 2

RC dt

Определим напряжения и токи через ток iL

u L

di L

;

i с

d 2 i L

;

i R i L LC

d 2 i L

dt 2

Выражая uR = R·iR

через iL в соответствии с уравнением e = uR+u

получаем

d 2 i L

di L

i L

e(t).

dt 2

LRC

4.2.12. В схеме представленной на рис. 4.20, после размыкания ключа начинаются

свободные колебания. Определить вид свободных колебаний, если R = 100 Ом, L = 6 ·

10 –3 Гн,

С = 5000 пФ.

Рис. 4.20

Решение.

Согласно второму закону Кирхгофа получаем, что

105

u L u R uC 0.

Используя компонентные уравнения для L и С, можно записать

L	di	R i	1	idt 0.
	dt		С

Дифференцируя полученное выражение по времени и разделив все слагаемые на L, приходим к выражению

d2i

R di

dt 2

L dt

Для решения этого уравнения составим характеристическое уравнение

p 2

корни которого

p1,2

02 ,

где

- коэффициент затухания, а

- резонансная частота цепи.

Колебательный режим в цепи возникает, когда корни характеристического уравнения p1 и p2 будут комплексно-сопряжѐнными. Это происходит при δ<ω0. Запишем это неравен-

ρ	L		6 10	3	1100	Ом. Так как R = 100 Ом, то в цепи будет наблю-

	C	5000 10 12

даться колебательный режим.

4.2.13. Определить логарифмический декремент затухания для цепи из задачи 4.2.12, а также величину амплитуды колебаний Iom при E=10 В.

106

Решение.

Определим логарифмический декремент затухания θ через логарифм отношения амплитуд тока, взятых через период колебаний, т.е.

I1m

I 0m

t1 T0

θ ln

ln e

I 2m

I 0m


где		- постоянная времени цепи. Через параметры контура θ выражается, если
где	R

учесть, что T0			2	LC , т.е.

	T0
θ	T0	2		LC R		R	.
θ			2L				.
			2L
Теперь можно определить, что
θ	R	3,14 100			0,285.

			1100
			1100
Для определения амплитуды Iom воспользуемся формулами:
	E
Iom	E	,			2			2	.
Iom	cв L	,		св	0				.
	cв L

После подстановки конкретных значений величин будем иметь, что

107

Iom	Ec		Ec					E / 2
	cв L									2
		2		2 L
					1				R


		0								L
		0				LC			2L	L
						LC			2L
				5							4,57 10 3 A.


1					100		2
							2
							6 10 3

6 10 3		5 10 9		2	6 10 3
6 10 3		5 10 9		2	6 10 3

4.3. Операторный метод анализа переходных

процессов в линейных электрических цепях

Контрольные вопросы

1.Что такое прямое и обратное преобразования Лапласа?

2.Как обозначается операторное изображение функции?

3.Что такое понятие «оригинал» в преобразовании Лапласа?

4.Что такое оператор преобразования Лапласа?

5.Что соответствует умножению и делению изображения функции на оператор преобразования Лапласа?

6.Какие ещѐ основные свойства преобразования Лапласа

Вам известны?

7.Напишите закон Ома для R, L, C в операторной форме для нулевых начальных условий.

8.Что такое операторные сопротивления для R, L, C?

9.Как обозначается операторная схема замещения заря-

женной ѐмкости?

10. Как обозначается операторная схема индуктивности при ненулевых начальных условиях?

11.Запишите законы Кирхгофа в операторной форме?

12.Какие методы расчѐта изображения искомого тока (напряжения) в операторной схеме Вам известны?

108

13. Как определяют оригинал по полученному изображению тока (напряжения)?

Решить задачи

4.3.1. Для схемы, изображѐнной на рис. 4.21, определить ток в цепи i(t), если

e(t)	0	при	t	0.
	E	при	t	0.

4.3.2. Для схемы, изображѐнной на рис. 4.22, определить выходное напряжение цепи, используя операторный метод, если

e(t)	0 при t	0.
e(t)	1 при t 0.
	1 при t 0.
Рис. 4.21		Рис. 4.22

4.3.3. Нарисовать операторную схему замещения цепи после замыкания ключа К (рис. 4.23), если uc1(0-)=E1, uc2(0-)=E2, а iL(0-) = I0.

4.3.4. Для схемы, изображѐнной на рис. 4.24, определить ток в цепи, если

e(t)	E1	при	t	0.
	E 2	при	t	0.

109

Рис. 4.23

Рис. 4.24

4.3.5. Приняв условия задачи 4.3.1 определить ток в цепи i(t), используя операторы преобразования Лапласа из

«Mathcad» ( см. 1.6.2 ).

4.3.6. Для цепи ( рис. 4.24 ) определить переходную характеристику, используя операторы преобразования Лапласа из

«Mathcad ».

4.3.7. Используя операторы преобразования Лапласа из « Mathcad », решить дифференциальное уравнение, описывающее свободные процессы в последовательном колебательном контуре (см.п. 2.2.).

Примеры решения задач

4.3.8. Начертите операторную схему замещения цепи (рис. 4.25), если uc(0-) = E0, iL(0-) = I0. Составить систему уравнений, используя метод контурных токов.

Решение.

Для составления операторной схемы нулевые начальные условия будем учитывать для индуктивности введением дополнительного источника э.д.с. равного Lik(0+) и по направлению совпадающего с положительным направлением тока, а для ѐмкости введением дополнительного источника Uc(0+)/p и противоположно направленного.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.24 Mб2Методическое пособие 652.pdf
#
30.04.20223.28 Mб2Методическое пособие 653.pdf
#
30.04.20223.28 Mб3Методическое пособие 654.pdf
#
30.04.20223.3 Mб10Методическое пособие 655.pdf
#
30.04.20223.31 Mб2Методическое пособие 656.pdf
#
30.04.20223.34 Mб7Методическое пособие 657.pdf
#
30.04.20223.36 Mб3Методическое пособие 658.pdf
#
30.04.20223.39 Mб8Методическое пособие 659.pdf
#
30.04.20223.55 Mб9Методическое пособие 66.doc
#
30.04.2022335.16 Кб5Методическое пособие 66.pdf
#
30.04.20223.45 Mб4Методическое пособие 660.pdf