Методическое пособие 657

Рис. 4.5

4.1.6. Используя теорему об эквивалентном источнике напряжения, упростить схему (рис. 4.6) и составить дифференциальное уравнение относительно напряжения

uc (t).

Рис. 4.6

4.1.7. Конденсатор ѐмкостью С был заряжен от источника постоянной э.д.с. (рис. 4.7) до напряжения U0 = E путѐм замыкания ключа К1 и последующего его размыкания. Затем замкнулся ключ К2 и конденсатор разрядился через резистор R. Найти выражение напряжения на конденсаторе uc(t) в процессе зарядки и разрядки. Дать графическое представление процессов.

Рис. 4.7

4.1.8. Ключ К1 замыкается в момент t = 0 (рис. 4.8). После полного заряда конденсатора С размыкается ключ К1 и замы-

92

Решение.

Значение порядка сложности цепи ν соответствует порядку дифференциального уравнения, поэтому желательно выяс-

Рис. 4.9.

нить его величину до начала решения задачи. Значение ν не может превышать общего числа реактивных элементов в цепи L и С. Перед выяснением порядка сложности необходимо произвести преобразования в схеме. Например, параллельно включенные элементы одного типа не являются энергетически независимыми и при подсчѐте числа L и С необходимо объединить такие элементы и заменить их эквивалентным элементом соответствующего типа. Так в схеме рис. 4.9 следует объединить в одну эквивалентную ѐмкость Сэкв. элементы С2 и С3

(рис. 4.10).

94

Рис. 4.10

Снижает порядок сложности цепи и наличие в них так называемых ѐмкостных контуров. Это контуры, образованные либо только ѐмкостями, либо ѐмкостями совместно с незави-симым источником напряжения. Так на рис. 4.10 это контур, образованный элементами С1, Сэкв., e(t).

Таким образом, из предполагаемой сложности цепи (рис. 4.9) ν=3, после преобразований остаѐтся сложность цепи ν = 1, которая получается после учѐта объединения элементов С2 и С3 и учѐта одного ѐмкостного контура С1, Сэкв., e(t).

Ответ: ν = 1.

4.1.12. Определить порядок цепи, представленной на рис. 4.11.

Рис. 4.11

Порядок сложности цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения, определяется формулой

ν PLC nek quc ,

где PLC общее число реактивных элементов, nek – число неза-

висимых ѐмкостных контуров, quc – число независимых индуктивных узлов (сечений).

95

Рис. 4.13

Решение.

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся компонентным уравнением для ѐмкости С, т.е.

и вторым законом Кирхгоффа для схемы по рис. 4.13

Таким образом, дифференциальное уравнение будет иметь вид

4.1.14. Найти реакцию цепи, состоящей из R и L, когда на вход электрической схемы действует скачок напряжения величиной Um (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Решение

Используя компонентное уравнение для индуктивности

дифференциальное уравнение цепи, т.е.

Для решения дифференциального уравнения

di

L dt iR u ВХ

составляем характеристическое уравнение и определяем его корни

Ток в цепи образуется из суммы свободного и принуждѐнного токов

i(t) iсв iпр .

Принуждѐнный ток определяется, когда переходной процесс закончился и t → ∞, т.е.

Свободный ток iсв определяется из решения однородного дифференциального уравнения

L dtdi iR 0.

Решение этого уравнения ищется в виде

98

100