Методическое пособие 657

iL (0 ) i 0

0, uc 0

uc 0

0.

Далее поступаем следующим образом.

Используя второй закон Кирхгофа uL

uR uC e t и компо-

нентные уравнения uL

L

di

, uC

1 t

idt, составим уравнение

c

dt

0

электрического равновесия в виде

L

di

Ri

1

t idt

E.

(1.10)

dt

c

0

L

d 2i

R

di

1

i 0.

(1.11),

dt 2

dt

c

Lp 2

Rp

1/ C

0, или

p2

R

p

1

0 имеет два корня,

L

LC

т.е.

R

R

2

1

p

2

2

,

(1.12)

0

1,2

2L

2L

LC

где

R

- коэффициент затухания,

1

- резонансная

0

2L

LC

Полученные корни p1 и p2

уравнения (1.11) могут быть веще-

ственными

различными

2

02 , комплексно-сопря-

женными

2

2

или

вещественными одинаковыми

0

2

02 , что следует из их определения (1.12). Каждому ви-

гда в подкоренном выражении (1.12)

, или

R

1

,

0

2L

LC

R 2

L

, R 2 ,

R

2,

1

, Q

1

,

что соответствует

R

2

2

LC

низкой величине добротности

Q

1

и это имеет место при

2

i i

св

A e p1t

A e p2t .

(1.13)

1

2

L

di

Ri

1 t

idt E содержит первую производную от i

и

dt

c

0

нием тока индуктивности, т.е. i 0

i 0

0.

L

di

R i

1

t idt

E

dt

c

0

с

использованием независимого

начального условия

i 0

i

0

0 , и соответствующей его подстановки в него,

т.е.

L

di

R

0

1

t 0dt

E , что приводит к результату

dt

c

0

di

E

(1.14)

dt

L

при t

0

, т.е. в момент времени сразу после коммутации.

Постоянные

интегрирования найдем

из

уравнения (1.13)

i

A e p1t

A e p2t , приравняв левую его часть нулю и приняв

1

2

t 0.При этих условиях получим, что

A1

A2 0 и это будет

получим взяв первую производную от тока i

(1.13) и прирав-

няв ее значение к величине

E

из (1.14), т.е.

L

p A e p1t

p

A e p2t

E

.

2

1

1

2

L

При t

0 второе уравнение приводится к виду

p A

p

A

E

.

2

1

1

2

L

Осуществляя преобразования полученных двух уравнений

A1

A2

0

p A

p

A

E

,

1

1

2

2

L

определяем значения A и

A

, т.е. A

A ,

p A

p

A

E

,

2

1

2

1

2

1

1

1

L

A

A ,

A p p

E

,

A

E

, A

E

.

2

2

1

1

1

1

L p1

2

L p1

p2

L

p2

i A e p1t

A e p2t

1

2

имеем, что

E

E

i

e p1t

e p2t i

i

2

.

(1.16)

2L

2

2

2L

2

2

1

0

0

из уравнения (1.12)

p

2

2

, когда

0

. После

1,2

0

подстановки значений

и

получаем,

что

R

1

,

0

2L

LC

R 2

L

,

R

2

, т.е. выражение

R

2

является услови-

LC

ем

получения

двух

корней

p1,2

j

св ,

где

св

2

2 - частота свободных колебаний (см.1.12). Ток в

0

этом случае определяется уравнением i

A e p1t

A e p2t

, как и

1

2

в предыдущем примере и соответственно

A1

E

,

A2

E

.

L p1

L p1

p2

p2

Подставляя новые значения корней, получаем

A1

E

E

E

,

L p1

p2

L

j св

j св

jL 2

св

A2

E

E

.

L p1

p2

jL2

св

Значение тока определяется из выражения

i

A e p1t

A e p2t ,

1

2

после подстановки в него величин A1 ,

A2 , p1

и p2 , т.е.

i

E

e p1t

E

e p2t =

E

e p1t

e p2t

jL2

св

jL2 св

jL2

св

E

j

t

j св t

E

t e

j

свt

e

j

свt

e

св

e

e

jL2

св

св L

j2

E

t

e

j свt

e

j

свt

e

sin

св t , т.к.

sin

св t .

j2

св L

i

E

e t sin

св t

I 0m e

t sin

св t

I m

t cos св t

, так

св L

2

E

t

что I m t

t /

t

(1.17)

Ee

св L

e

I0m e

,

св L

где

1

2L

.

R

E

i

I0m

I

свL

1m

I2m

t1

t

E

t1+T0

I0m

T0

свL

Амплитуда огибающей тока i

равна

t

I m t I 0m e

(1.18)

I m

I0m

I0m

0,37I0m .

(1.19)

e

2,718

колебаний кроме постоянной времени

используют еще ло-

гарифмический декремент затухания

,

который определяет-

ся как натуральный логарифм отношения тока I1m

в какой-то

момент времени t1

к амплитуде тока I 2m

через период свобод-

ных колебаний T0 ,

т.е.

t1

t1

t1

To

t

t

T

I1m

I0m e

1

1

0

ln

ln

ln e

ln e

I 2m

t1 T0

I0m e

T0

T0

ln e

.

(1.20)

Умножив числитель и знаменатель дроби (1.20) на 2I m2

с уче-

том значения

2L / R получим, что

T 2I 2

T R

2I 2

I 2

R T

2

W

1

W

R ,

0

1m

0

1m

1m

0

2I12m

2L

2I12m

2

2 LI12m

R WL

WL

часть энергии, имеющаяся

в контуре в данный момент време-

ни t1 WL расходуется в

течение ближайшего полупериода

Через параметры колебательного контура величина

опреде-