Методическое пособие 551
.pdf
3.5. Обобщенно-потенциальные силы
Уравнения Лагранжа могут быть записаны в виде (3.18) не только для случая консервативных систем, но и для частного случая неконсервативных систем, в которых действуют обобщенные силы вида
где – некоторая функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени. Действительно, если положить функцию Лагранжа равной
то уравнения Лагранжа (3.12) после подстановки (3.39) могут записаны в виде (3.18). Функцию M называют «обобщенным потенциалом» или «потенциалом, зависящим от скорости».
Важным примером сил вида (3.39) является сила Лоренца, действующая на частицу с зарядом e в электромагнитном поле:
Электромагнитное поле можно описать скалярным и векторным потенциалами и A, определяемыми равенствами:
Подставляя (3.42) в (3.41), получим
C учетом соотношений
51
сила Лоренца запишется в виде
где
Перейдем теперь от декартовых координат к обобщенным, подставляя (3.46) в выражение для обобщенной силы (3.5) и учитывая соотношение (3.8):
Итак, мы показали, что сила Лоренца соответствует выражению (3.39) с обобщенным потенциалом (3.47). Функция Лагранжа для частицы, движущейся в электромагнитном поле, имеет вид
52
Задачи
3.1. Составить функцию Лагранжа ([2], §5, задачи 1-3): а) для простого плоского маятника (рис. 3.3, а); б) для двойного плоского маятника (рис. 3.3, б);
в) для плоского маятника с массой , точка подвеса которого, имеющая массу , может двигаться по горизонтальной прямой
(рис. 3.3, в);
г) для плоского маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания по закону .
|
x |
x |
|
x |
O |
|
O |
|
|
|
l |
l1 |
|
l |
|
|
|||
|
|
|||
|
|
l2 |
y |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
3.2. Найти функцию Лагранжа системы, изображенной на рис. 3.4, в которой точка массой движется по вертикальной оси, а вся система вращается с постоянной угловой скоростью ([2], §5, задача 4).
Рис. 3.4
53
§ 4. Уравнения Лагранжа и вариационные принципы
4.1. Принцип Гамильтона
Ранее в качестве основных постулатов механики мы рассматривали законы Ньютона, сформулированные на основе опытных данных. Такой выбор основных исходных положений механики не является единственно возможным. Так, в основу механики консервативных голономных систем может быть положен вариационный принцип Гамильтона.
Впринципе Гамильтона рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и малые виртуальные изменения движения на этом промежутке. Подобные принципы называют интегральными. Принципы, в которых рассматриваются виртуальные изменения мгновенного состояния системы, называют дифференциальными. Дифференциальным является, например, рассмотренный ранее принцип ДаламбераЛагранжа.
Вмомент времени t конфигурация системы определяется
значениями обобщенных координат , которые можно рассматривать как координатные оси некоторого s – мерного пространства. Такое пространство называют пространством конфигураций. Положение системы можно задать точкой в таком пространстве – изображающей точкой. Тогда изменение состояния системы со временем можно рассматривать как движение изображающей точки вдоль некоторой кривой в пространстве конфигураций, которую будем называть «траекторией движения системы» (рис. 4.1).
Пусть система, характеризуемая функцией |
Лагранжа |
, в моменты времени |
и |
занимает определенные положения, соответствующие наборам координат и . Принцип Гамильтона для консервативных систем формулируется следующим образом: истинное движение системы в промежутке времени от t1 до t2 таково, что интеграл
54
принимает экстремальное значение. |
|
|
|
|
|
|
Величину S называют дейст- |
|
|
|
|
|
|
вием механической системы. Дей- |
q2 |
|
|
|||
|
||||||
ствие S при постоянных пределах |
|
|
|
t2 |
||
интегрирования и заданной функ- |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
ции зависит от конкретного вида |
|
|
|
|
|
|
функций |
, т.е. с позиций ма- |
|
|
|
t1 |
|
тематики |
является функционалом. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Задача об отыскании функций, при |
|
|
|
|
|
|
которых |
функционал имеет экс- |
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
|||
тремальное значение, является ос- |
|
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
новной задачей вариационного ис- |
|
|
|
Рис. 4.1 |
||
числения. В большинстве случаев (на малых участках траектории) действие для истинного движения имеет минимум, поэтому принцип Гамильтона часто называют принципом наи-
меньшего действия.
Принципы механики, которые устанавливают признаки, отличающие действительное движение от всех других возможных движений, называют вариационными. Принцип Гамильтона, таким образом, является вариационным интегральным принципом.
Можно показать, что принцип Гамильтона вытекает непосредственно из уравнений Лагранжа. Мы рассмотрим обратную задачу: получим уравнения Лагранжа исходя из принципа Гамильтона. Выбор принципа Гамильтона в качестве основного постулата механики (вместо законов Ньютона) имеет некоторые преимущества: этот принцип не привязан к выбору конкретной системы обобщенных координат (в его формулировке фигурируют только кинетическая и потенциальная энергии), т.е. он автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат. Кроме того, принцип Га-
55
мильтона может применяться при рассмотрении систем, не являющихся чисто механическими (упругие среды, электромагнитные поля и т.д.), он имеет важное теоретическое значение для других разделов физики.
4.2. Решение основной задачи вариационного исчисления
Прежде чем переходить к выводу уравнений Лагранжа, рассмотрим математическую задачу об отыскании экстремума функционала вида
где |
. |
|
|
Значения x и y на границах интегрирования заданы и ве- |
|
личина I зависит от пути интегрирования |
. Требуется |
|
определить конкретный вид функции |
, при которой функ- |
|
ционал I принимает максимальное или минимальное значение. Оказывается, данную задачу можно свести к задаче об отыскании экстремума известной функции. Для этого введем близкие
к функции |
«пробные» функции |
|
|
||
где – бесконечно малая величина, |
|
|
|||
– произвольная непрерывная и |
|
2 |
|||
|
|||||
дифференцируемая во всем интерва- |
|
||||
ле интегрирования функция от x. По- |
|
|
|||
требуем, чтобы эти пробные функ- |
|
|
|||
ции на концах интервала интегриро- |
|
|
|||
вания совпадали с |
, т.е. выпол- |
|
1 |
||
нялись условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
|
|
56
После подстановки функций |
в интеграл он станет |
функцией от : |
|
Условие экстремальности функционала |
при |
сводится к условию экстремума функции |
при |
которое имеет вид |
|
Разложим функцию f, стоящую под знаком интеграла, в ряд по степеням :
Выполнив дифференцирование по , получим
При это выражение должно обращаться в нуль. Члены, содержащие (они «скрываются» под знаком «…») обратятся в нуль автоматически, поэтому условие экстремума можно записать в виде
57
|
Заметим, что разность |
есть изменение ве- |
личины I, обусловленное варьированием траектории на вели- |
||
чину |
, т.е. представляет собой вариацию функцио- |
|
нала I. Оставляя в разложении (4.7) только члены первого порядка малости, получим
Таким образом, условие экстремальности функционала I может быть записано в виде
Проинтегрируем по частям второе слагаемое в выраже-
нии (4.9):
Здесь первое слагаемое обращается в нуль в силу условий (4.4), поэтому выражение (4.9) можно переписать в виде
58
Поскольку выбор функций |
произволен, данный интеграл |
|
будет обращаться в нуль для любых функций |
только в |
|
том случае, когда выражение в квадратных скобках равно нулю. Следовательно, функция , для которой функционал имеет экстремальное значение, должна удовлетворять дифференциальному уравнению
которое называют уравнением Эйлера-Лагранжа.
Полученный результат легко обобщается на случай, когда функция f зависит от n функций и их производных. При этом получается n уравнений вида
4.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона
Согласно принципу Гамильтона, из всех возможных траекторий изображающей точки в промежутке времени от t1 до t2 истинной будет только та траектория, для которой действие S имеет экстремум. Интеграл действия по форме совпадает с рассмотренным ранее функционалом (4.2). Как следует из изложенного выше, необходимым условием экстремума действия является равенство нулю его вариации, т.е. принцип Гамильтона можно записать в виде
Заменив в уравнениях Эйлера-Лагранжа (4.15)
59
на , на , на и на , получим уже известные нам уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы:
Таким образом, мы доказали, что уравнения Лагранжа могут быть получены на основе принципа Гамильтона.
4.4. Определение вида функции Лагранжа
При выводе уравнений Лагранжа из принципа Даламбера мы определили функцию Лагранжа для консервативных голономных систем как
Покажем, что можно прийти к этому же виду функции Лагранжа, если исходить только из принципа Гамильтона и некоторых других общих положений механики, а также свойств симметрии пространства и времени (см п. 1.3).
Рассмотрим сначала движение свободной частицы. В силу однородности пространства и времени ее функция Лагранжа не может явно зависеть от координат и времени (иначе законы движения были бы разными в разных точках пространства и разные моменты времени). Таким образом, функция свободной частицы может зависеть только от скорости частицы . Функция – скалярная, а получить скаляр из вектора можно только двумя способами: скалярным умножением на другой вектор или взятием абсолютного значения. Первый способ означал бы, что в пространстве существует некоторое выделенное направление, что противоречит свойству изотропности пространства. Таким образом, функция Лагранжа свободной частицы зависит только от модуля скорости, или от :
.
60