Методическое пособие 551

в каждой точке некоторой области пространства на матери-

Интеграл (1.43) в общем случае зависит от пути, по которому перемещалась материальная точка. Если силовое поле таково, что работа A12 не зависит от траектории перемещения точки, то такая сила называется консервативной. Механические системы, в которых действуют только консервативные силы, также называют консервативными. Можно дать другое, эквивалентное определение: сила называется консервативной, если ее работа при перемещении материальной точки по замкнутой траектории равна нулю:

Очевидно, что силы трения не являются консервативны-

Поскольку работа консервативной силы зависит только от начального и конечного положения перемещаемой материальной точки, силовое поле такой силы можно характеризовать значением работы, производимой при перемещении из некоторой произвольно выбранной «нулевой точки» в данную точку пространства . Эту величину , имеющую размерность энергии, называют силовой функцией. Тогда работа A12 будет равна приращению силовой функции:

а элементарная работа dA определяется полным дифференциа-

откуда заключаем, что

или, в векторной форме,

Таким образом, консервативную силу можно представить в виде взятого с обратным знаком градиента некоторой скалярной функции U(r). Такой переход от векторного силового

рассмотрение консервативных сил. Направление вектора силы, как следует из (1.51), совпадает с направлением наибыстрейшего убывания поля U. Соотношение (1.51) часто записывают в виде

где под производной скалярной функции по вектору понимается вектор, компоненты которого равны производным от этой функции по соответствующим компонентам вектора.

Величину U называют потенциалом или потенциальной энергией. Консервативные силы, т.е. силы, удовлетворяющие условию (1.51), называют также потенциальными силами. Равенство (1.51) не изменится, если к U добавить произвольную постоянную (в пространстве) величину, таким образом, поло-

22

щение частицы i относительно частицы j, таким образом сумма элементарных работ пары сил Fij и Fji не зависит от выбора системы отсчета и равна элементарной работе, которую совершает сила, действующая на одну частицу, в системе отсчета, относительно которой вторая частица неподвижна.

Потенциал силы, действующей между двумя частицами j и i, является функцией расстояния между частицами и, следовательно, функцией координат обоих точек:

Запишем силу , с которой частица j действует на частицу i, считая, что частица j закреплена, а частица i движется в поле :

Аналогично получим силу :

Полный дифференциал от функции , взятый с обрат-

Запишем суммарную элементарную работу всех внутренних сил:

Наличие множителя ½ связано с тем, что при суммировании потенциалов Uji одна и та же пара индексов встречается дважды, и, в соответствии с (1.68), в отсутствии данного множителя мы получили бы удвоенную элементарную работу всех внутренних сил. Из соотношения (1.69) следует, что можно говорить о внутренней потенциальной энергии системы, понимая под ней сумму

Пусть внешнее силовое поле является стационарным и консервативным. Тогда каждая i-я частица системы движется

и

27

Сумму энергий всех частиц будем называть внешней потенциальной энергией системы:

Подставляя (1.70) и (1.73) в выражение (1.58), получим

где U – полная потенциальная энергия системы:

Из соотношений (1.59) и (1.74) следует, что

Таким образом, мы можем сформулировать теорему о со-

хранении энергии системы: если внутренние и внешние силы, действующие на точки механической системы, консервативны, то полная механическая энергия системы E=T+U остается постоянной.

Если внешнее поле является нестационарным, т.е. внешняя потенциальная энергия явно зависит не только от координат частиц, но и от времени, то полная энергия также будет функцией координат и времени и не остается постоянной. Закон сохранения механической энергии не выполняется также в случае, когда в системе действуют силы сопротивления (диссипативные силы). В этом случае изменение энергии при перемещении системы равно работе диссипативных сил:

28

т.е. будет происходить уменьшение («рассеивание») механической энергии системы.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса играют важнейшую роль в механике. Эти три величины обладают важным свойством аддитивности – значение каждой из таких величин для механической системы равно сумме ее значений для отдельных частей системы. Законы сохранения таких аддитивных величин позволяют делать ряд общих заключений о протекании механических явлений, не прибегая к решению уравнений движения. Это во многих случаях значительно упрощает решение задач. Отметим также, что справедливость рассмотренных законов сохранения не ограничивается только классической механикой – они представляют собой универсальные законы природы. Позже мы получим законы сохранения энергии, импульса и момента импульса в рамках формализма Лагранжа и покажем, что они являются следствием свойств симметрии пространства и времени, упомянутых в п. 1.3.

Задачи

1.1. Человек ростом , двигаясь прямолинейно со скоростью ,

орудия производится выстрел. Какова должна быть минимальная

чего тормозит с ускорением a2 до остановки. Изобразите график зависимости скорости от времени. Какое время двигался автомобиль, если он прошел путь s?

1.4. Человек массы m = 60 кг перешел с носа на корму лодки.

29