Методическое пособие 551
.pdf
Точка конфигурационного пространства, определяемая набором координат , представляет собой положение устойчивого равновесия системы.
Как и при рассмотрении одномерных малых колебаний, разложим кинетическую и потенциальную энергии системы в ряд по степеням малых смещений , оставляя в разложении только первые неисчезающие члены и отбрасывая члены более высокого порядка малости. Для потенциальной энергии системы получим
Второй член в этом выражении обращается в нуль в силу условий (8.52). Потенциальную энергию будем отсчитывать от положения равновесия, т.е. положим Тогда остается
где
Выражение вида (8.54) в математике называют квадратичной формой. Поскольку мы отсчитываем U от принятого за нуль минимального значения, то U > 0 при любых и , т.е. данная квадратичная форма положительно определенная.
Как мы показали ранее, для системы со стационарными голономными связями кинетическая энергия T представляет
111
собой однородную квадратичную функцию обобщенных скоростей (см формулу (3.30)):
Заменив функции |
на нулевые члены их разложе- |
|
ния в ряд по степеням |
, т.е. на |
, получим кинетиче- |
скую энергию в виде положительно определенной квадратичной формы
где
Итак, функция Лагранжа имеет вид
Чтобы составить уравнения движения, необходимо найти частные производные от L по и . Запишем для этого полный дифференциал функции Лагранжа:
Индексы суммирования – «немые», их можно обозначать любой буквой. Поменяем местами индексы и в первом и третьем слагаемом, тогда с учетом симметричности коэффи-
112
циентов и получим
В выражении для полного дифференциала функции множитель перед дифференциалом некоторой переменной представляет собой частную производную функции по этой переменной (см. выражение (2.14)). Таким образом,
Теперь мы можем записать уравнения Лагранжа:
Решение полученной системы s линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами будем искать в виде
Подставив эти функции в систему (8.63), получим систему линейных однородных алгебраических уравнений для определения коэффициентов :
Как известно, такая система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:
Это уравнение называют характеристическим, оно пред-
113
ставляет собой уравнение степени s относительно . Можно показать, что в общем случае такая система имеет s различных вещественных положительных корней , В частных случаях некоторые корни могут быть равными друг другу (кратными), это т.н. случаи вырождения частот.
После того как величины , называемые собственными частотами системы, найдены, их можно подставить в уравне-
ние (8.65) |
и найти значения коэффициентов |
. Если все |
|
различны, |
то как известно из математики, коэффициенты |
||
пропорциональны минорам |
определителя |
(8.66). Таким |
|
образом, частные решения системы (8.63) имеют вид
где – комплексная постоянная. Общее решение будет суммой частных решений (8.67). Переходя к вещественным функциям, его можно записать в виде
где |
– функции, описывающие одномерные гармонические |
|
колебания (см. формулу (8.12)) с частотой : |
||
|
Итак, изменение со временем каждой из обобщенных ко- |
|
ординат |
представляет собой наложение s гармонических |
|
колебаний, частоты которых равны собственным частотам системы. Амплитуды и фазы таких колебаний произвольны (определяются из начальных условий).
Заметим, что если рассматривать соотношения (8.68) как
систему уравнений относительно s переменных |
, то разре- |
||
шив эту систему, |
мы получим |
как функции обобщенных |
|
координат |
Таким образом, величины |
могут быть |
|
выбраны в качестве новых обобщенных координат. Такие ко-
114
ординаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими гармонические колебания – нормальными колеба-
ниями (собственными колебаниями, модами) механической системы.
В результате такого преобразования координат система уравнений движения распадается на s независимых уравнений вида
Очевидно, функция Лагранжа рассматриваемой системы, выраженная через нормальные координаты и соответствующие обобщенные скорости , будет представлять собой сумму s функций Лагранжа, соответствующих одномерным гармоническим осцилляторам с собственными частотами :
Отсюда мы можем сделать вывод, что линейное преобразование (8.68) от координат к нормальным координатам
– это такое преобразование, которое приводит квадратичные формы (8.57) и (8.54) кинетической и потенциальной энергий к диагональному виду.
Нормальные |
координаты обычно выбирают так, чтобы |
коэффициент при |
в функции Лагранжа был равен ½. Обо- |
значим такие координаты через , тогда
и
115
В случае вырождения частот, когда имеются кратные корни характеристического уравнения (8.66), общее решение будет иметь тот же вид (8.68) с тем отличием, что коэффициенты , соответствующие вырожденным частотам, уже не будут минорами определителя (миноры в этом случае обращаются в нуль). Каждой вырожденной частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих координат неоднозначен. Нормальные ко-
ординаты с одинаковыми собственными частотами |
входят |
||
в выражения для T и U в виде одинаково преобразующихся |
|||
сумм |
и |
, поэтому их можно подвергнуть любому ли- |
|
нейному преобразованию, оставляющему неизменной сумму квадратов.
Задачи
8.1. Найти частоту малых колебаний частицы в поле
([12], задача 5.1, а).
8.2. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на рис. 8.8. Система вращается в поле тяжести вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ([12], задача 5.2).
8.3. Найти свободные колебания системы, изображенной на рис. 8.9, при которых частицы движутся вертикально. Найти нормальные координаты и выразить через них функцию Лагранжа ([12], задача 6.1).
116
Рис. 8.8 |
Рис. 8.9 |
117
Часть III. ФОРМАЛИЗМ ГАМИЛЬТОНА
§9. Канонические уравнения Гамильтона
9.1.Уравнения Гамильтона
Вформализме Лагранжа механическое состояние системы описывается путем задания обобщенных координат и обобщенных скоростей. Альтернативной теоретической формулировкой механики является формализм Гамильтона, в котором такое описание осуществляется заданием обобщенных координат и обобщенных импульсов.
Получим отвечающие такой формулировке механики уравнения движения. Запишем полный дифференциал функции Лагранжа как функции обобщенных координат и обобщенных скоростей:
По определению обобщенного импульса,
и, согласно уравнениям Лагранжа,
поэтому (9.1) можно переписать следующим образом:
Представив вторую сумму в виде
118
из (9.2) получим
Величина, стоящая в левой части под знаком дифференциала, представляет собой полную энергию системы (см. выражение (5.24)). Будучи выраженной через обобщенные координаты и обобщенные импульсы, она называется функцией Гамильтона или гамильтонианом системы:
Соотношения (9.2) и (9.7) составляют известное из математики преобразование Лежандра, путем которого осуществ-
ляется переход от набора независимых переменных , |
и |
||
функции |
к набору переменных , |
и функции |
|
.
Как было показано в п. 5, для системы с голономными стационарными связями и потенциальной энергией U, зависящей только от координат частиц и (возможно) времени, функция может быть записана в виде
Итак,
Из последнего равенства следуют уравнения
119
и
Уравнения (9.10) есть искомые уравнения движения в переменных и , их называют уравнениями Гамильтона или
каноническими уравнениями. Они образуют систему 2s диффе-
ренциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций и .
Исследуем функцию Гамильтона. Запишем ее полную производную по времени:
Последние два слагаемых исчезнут в соответствии с уравнениями (9.10), т.е. остается
Отсюда следует, что если функция (а соответственно и функция , см. соотношение (9.11)) явно не зависит от времени, то является интегралом движения, т.е. мы снова пришли к закону сохранению энергии.
Заменив во втором уравнении (9.10) на |
|
(в соответ- |
|
||
ствии с (9.3)), получим |
|
|
Таким образом, циклические обобщенные координаты, не
120