Методическое пособие 551
.pdfрядка для трех компонент вектора :
Для решения системы (1.14) необходимо задать началь-
ные значения координат |
и |
скоростей |
. Совокуп- |
ность данных о системе, задание которых в некоторый момент времени является необходимым и достаточным для однозначного определения ее последующей эволюции, называют состоянием системы. Таким образом, состояние материальной точки в любой момент времени определяется заданием ее ра- диус-вектора и вектора ее скорости.
Согласно третьему закона Ньютона, силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки. Отметим, что данный закон несправедлив в некоторых важных случаях, например, для силы Лоренца. Третий закон Ньютона предполагает мгновенное распространение взаимодействия между телами.
1.3. Принцип относительности
Существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Опыт показывает, что все законы механического движения в этих системах полностью эквивалентны. Так, пассажир в поезде, который едет прямолинейно и равномерно, видит все явления в поезде такими же, как если бы по-
езд стоял. Утверждение, что любое механическое явление происходит во всех инерциальных системах отсчета одинаковым образом, составляет содержание т.н. принципа относительно-
сти Галилея – одного из важнейших принципов механики. Выберем две инерциальные системы отсчета K и K', из
11
которых вторая движется с постоянной скоростью V относительной первой, которую будем условно считать неподвижной. Пусть R – вектор, соединяющий начала координат O и O' этих систем. Тогда радиус-векторы и одной и той же точки в выбранных системах, очевидно, связаны друг с другом соотношением
Пусть в момент времени t = 0 начала координат систем K и K' совпадают, тогда
.
При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих системах отсчета, т.е. время абсолютно (в нерелятивистской механике):
Формулы (1.16) и (1.17) называют преобразованиями Га-
лилея. Принцип относительности можно сформулировать как требование инвариантности (т.е. неизменности) законов природы по отношению к этому преобразованию.
Взяв производную по времени от выражения (1.15) (или
(1.16)), получим закон сложения скоростей:
Взяв еще раз производную по времени, получим
т.е. ускорение тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Так как во втором законе Ньютона фигурирует именно ускорение тела, то он удовлетворяет принципу относительности Галилея.
Из опыта известно, что по отношению к инерциальной
12
системе отсчета пространство и время обладают определенными свойствами симметрии: пространство является однородным и изотропным, а время – однородным. Свойство однородности пространства заключается в том, что движение не изменяется при параллельном переносе всех движущихся тел на одинаковое расстояние в один и тот же момент времени. Свойство изотропности пространства состоит в том, что все направления в пространстве эквивалентны: движение не изменяется при повороте всех движущихся тел на одинаковый угол. Свойство однородности времени заключается в том, что законы движения не изменяются с течением времени.
Из абсолютности времени и принципа относительности следует, что взаимодействия между телами в классической механике «распространяются» мгновенно. Если бы взаимо-
действие распространялось не мгновенно, а с некоторой конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных, движущихся друг относительно друга, инерциальных системах отсчета, т.к. ввиду абсолютности времени стандартное правило сложения скоростей применимо ко всем явлениям. Но тогда законы движения были бы различны в разных инерциальных системах отсчета, что противоречит принципу относительности.
1.4. Закон сохранения импульса. Центр инерции
Из уравнения (1.13) следует теорема о сохранении импульса материальной точки: если сила F равна нулю, то ,
т.е. импульс материальной точки p остается неизменным.
Отметим также, что даже при отличной от нуля силе F может оставаться неизменной проекция вектора импульса на некоторую ось z, при условии, что равна нулю проекция силы на ту же ось.
Рассмотрим теперь систему из N материальных точек (частиц). Действующие на материальные точки силы будем разделять на внешние, источники которых находятся вне системы, и внутренние, с которыми материальные точки системы
13
действуют друг на друга. Тогда уравнение движения i-й точки можно записать в следующем виде:
где - равнодействующая внешних сил, действующих на i-ю точку, – сила, с которой j-я точка действует на i-ю. Составив такие уравнения для каждой материальной точки системы и просуммировав их, получим
Будем полагать, что внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона, тогда и вторая сумма в правой части уравнения (1.21) обращается в нуль. Обозначим через суммарную силу, действующую на систему:
и перепишем (1.21) в виде
Определим центр инерции (центр масс) системы как точку, положение которой определяется радиус-вектором
где – полная масса системы. Подставляя (1.24) в (1.23), получим уравнение движения для центра инерции системы:
14
из которого следует теорема о движении центра инерции:
центр инерции системы массы M движется так, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием силы, равной сумме внешних сил, действующих на систему.
Определим полный импульс механической системы как сумму импульсов всех материальных точек, составляющих эту систему. Как следует из (1.24), он будет равен произведению полной массы системы на скорость движения ее центра инерции:
Таким образом, полный импульс системы можно рассматривать как импульс ее центра инерции, считая, что в нем сосредоточена вся масса системы, а скорость центра инерции
– как скорость движения системы «как целого».
При рассмотрении относительного движения частиц внутри системы, без учета поступательного движения системы как целого, удобно использовать систему центра инерции – систему координат, жестко связанную с центром инерции и движущуюся поступательно (без вращения) относительно инерциальных систем отсчета. Очевидно, относительно своего центра инерции полный импульс механической системы равен
нулю, т.е. она покоится как целое. |
|
|
Перепишем уравнение (1.25) |
в виде |
|
откуда следует, что если |
, то |
Итак, мы мо- |
жем сформулировать теорему о сохранении полного импульса механической системы: если сумма внешних сил, действующих на материальные точки системы, равна нулю, то полный импульс системы остается неизменным.
15
1.5. Момент импульса
Под моментом импульса материальной точки относительно центра O понимается вектор
где r – радиус вектор, направленный из центра O к материальной точке.
Моментом силы F относительно точки O (вращательным моментом этой силы) называют вектор
Для момента силы и момента импульса можно получить уравнение, аналогичное уравнению Ньютона (1.13) для силы и импульса:
где было учтено, что |
Итак, |
Уравнение (1.31) называют уравнением моментов. Из него следует теорема о сохранении момента импульса матери-
альной точки: если результирующий момент сил N равен нулю, то , т.е. момент импульса сохраняется неизменным.
Полный момент импульса L системы материальных точек определяется как сумма моментов импульса отдельных точек, определенных относительно одной и той же точки O:
16
Умножив уравнение движения i-й точки (1.20) векторно на и просуммировав по всем точкам системы, получим
Покажем, что левая часть уравнения (1.33) есть производная по времени от полного момента импульса системы:
Здесь было использовано равенство . Первая сумма в правой части выражения (1.33) есть полный момент внешних сил:
Предположим, что силы взаимодействия материальных точек системы подчиняются третьему закону Ньютона, тогда и вектор направлен вдоль прямой, соединяющей j – ю и i-ю точки. В этом случае вторая сумма в выражении
(1.33) обращается в нуль. Действительно, ее можно переписать в виде
где было учтено, что ввиду коллинеарности векторов |
и |
17
их векторное произведение равно нулю.
С учетом соотношений (1.34), (1.35) и (1.36) уравнение (1.33) можно переписать в виде
Из уравнения (1.37) следует теорема о сохранении момента импульса механической системы: если полный момент внешних сил равен нулю, то полный момент импульса системы остается постоянным.
Закон сохранения момента импульса справедлив для замкнутых систем. Однако и в случае незамкнутой системы, если проекция внешней силы на некоторую ось Oz равна нулю, то проекция момента Lz на данную ось будет сохраняться.
Момента импульса системы L зависит от выбора начала координат O, относительно которого он определяется. Если начало координат смесить на вектор a, то координаты и i- й материальной точки в исходной и смещенной системах отсчета связаны выражением , таким образом
Из этого соотношения видно, что значение момента системы не зависит от выбора начала координат только в том случае, когда система покоится как целое, т.е. ее полный импульс
равен нулю.
Получим соотношение между полными моментами импульса L и L' в системах отчета K и К', из которых вторая движется с постоянной скоростью V относительно первой. Пусть в данный момент времени начала координат систем K и К' совпадают, тогда координаты одной и той же материальной точки в этих системах будут равны, а скорости связаны соотношени-
ем |
, поэтому |
|
18 |
или, используя выражение для центра инерции (1.24),
Пусть K' является системой отчета, относительно которой рассматриваемая механическая система покоится (например, система центра инерции), тогда относительно системы K скорость V есть скорость центра инерции системы, а – ее импульс, поэтому получим
Из этого выражения следует, что момент импульса меха-
нической системы складывается из ее собственного момента относительно системы отсчета, в которой она покоится,
и момента , связанного с ее движением как целого.
1.6. Работа. Консервативные силы
Работа, совершаемая силой F при бесконечно малом пе-
ремещении |
материальной точки, определяется скалярным |
произведением |
: |
На конечном пути из положения 1 в положение 2 вдоль некоторой кривой (рис. 1.6) работа силы определяется как сумма элементарных работ (1.42), т.е. криволинейным интегралом, взятым от силы вдоль пути материальной точки:
19
Такой интеграл можно рассматривать |
F |
|
||||||||
как скалярную характеристику полно- |
2 |
|||||||||
го действия силы при перемещении |
|
|
||||||||
материальной точки. |
Учитывая урав- |
1 |
dr |
|||||||
нение движения |
и соотноше- |
|
||||||||
|
|
|||||||||
ние |
, для точки с постоянной |
|
|
|||||||
массой получаем: |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак,
где скалярная величина называется кинетиче-
ской энергией материальной точки. Таким образом, работа силы при перемещении точки равна разности кинетических энергий в конечном и начальном состояниях.
Заметим, что если сила все время перпендикулярна к траектории материальной точки, то она не может производить работу (если угол между векторами и равен /2, то
). Поэтому, как следует из (1.45), такая сила не изменяет модуль скорости, она может вызвать лишь изменение направления вектора .
Ограничимся далее силами, которые зависят только от положения материальной точки, тогда можно вычислить инте-
грал (1.43), подставляя в него известную функцию |
. Если |
20 |
|