Методическое пособие 551
.pdf
|
Задача |
2.1 Бревно весом |
положено на два цилиндрических катка, |
вес каждого из которых |
(рис. 2.3). Ис- |
пользуя принцип виртуальных перемещений, найти силу , с которой надо тянуть
бревно, чтобы удержать его в равновесии |
|
на наклонной плоскости при угле наклона |
|
. Трение катков о бревно и плоскость |
|
обеспечивает отсутствие |
скольжения |
([11], задача 165). |
Рис. 2.3 |
§ 3. Уравнения Лагранжа
3.1. Вывод уравнений Лагранжа
Доказав принцип Даламбера-Лагранжа, мы исключили из уравнений силы реакции связей. Чтобы получить теперь уравнения движения в обобщенных координатах, следует перейти от виртуальных перемещений ri к вариациям обобщенных ко-
ординат qi.
Пусть s – число степеней свободы. Запишем декартовы
радиус-векторы |
как функции от обобщенных |
координат |
: |
Для скорости получаем выражение
Величины называют обобщенными скоростями. Согласно (2.13), виртуальные перемещения ri связаны с вариациями обобщенных координат qj соотношением
41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим виртуальную работу сил |
(первую сумму, |
||||
входящую в (2.23)) через qj: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
где Qj – так называемые обобщенные силы, равные
Как видно из определения (3.5), размерность обобщенной силы Qj определяется как размерность работы (энергии), деленная на размерность соответствующей обобщенной координаты .
Рассмотрим другую сумму, входящую в уравнения (2.23):
C учетом выражения (3.2),
и
42
поэтому соотношение (3.6) можно переписать в виде
где T – кинетическая энергия системы:
Подставив (3.4) и (3.9) в (2.23), получим
В предположении, что связи голономные, все qj будут независимы, соответственно независимы и вариации qj (в отличие от ). Поэтому равенство (3.11) возможно только тогда, когда
равны нулю все коэффициенты при qj, т.е.
Уравнения (3.12) называют уравнениями Лагранжа второго
43
рода1 или просто уравнениями Лагранжа.
Итак, от уравнений движения Ньютона (1.12), выраженных в декартовых координатах, мы перешли к уравнениям движения в обобщенных координатах (3.12). Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат. Решая систему уравнений Лагранжа с учетом начальных условий для qj и , можно найти законы движения в обобщенных координатах qj =
qj(t).
Удобство использования уравнений Лагранжа связано с тем, что число таких уравнений всегда равно числу степеней свободы, можно заранее исключить реакции связей, а также выбирать обобщенные координаты с учетом симметрии конкретной задачи.
3.2. Уравнения Лагранжа для консервативной системы
Для консервативной системы уравнения движения в обобщенных координатах значительно упрощаются. В этом
случае силы |
могут быть представлены в виде |
где – потенциальная энергия системы. Тогда для обобщенных сил имеем
1 Уравнения Лагранжа первого рода представляют собой уравнения движения системы со связями в декартовых прямоугольных координатах, они могут использоваться для нахождения реакций связей (см. [3], §4).
44
Таким образом, для консервативных систем обобщенные силы равны взятым с обратным знаком производным от потенциальной энергии по соответствующим обобщенным координатам:
После подстановки (3.14) в уравнения (3.12) получим
Так как U зависит только от положения системы, т.е. от обобщенных координат , и не зависит от обобщенных скоростей
, производную |
|
можно заменить на |
|
. Далее, введя |
|
|
|||
функцию |
|
|
|
|
–
из (2.27) получим уравнения Лагранжа для консервативной системы:
Функцию называют функцией Лагранжа или лагранжианом.
3.3. Функция Лагранжа. Порядок составления уравнений Лагранжа
В лагранжевом формализме механическая система характеризуется функцией Лагранжа . Составив эту функцию и вычислив частные производные от нее по всем обобщенным координатам и обобщенным скоростям , можно составить s уравнений движения (3.18).
45
В уравнения Лагранжа входит не сама функция , а ее производные. Очевидно, что умножение функции на постоянную величину или добавление к ней постоянной не сказывается на уравнениях движения. Более того, функция Лагранжа определена с точностью до прибавления к ней полной производной по времени от любой функции обобщенных координат
и времени |
. Докажем это непосредственной |
||
подстановкой функции |
|
|
в уравнения |
|
|
||
(3.18): |
|
|
|
Здесь выражение в квадратных скобках совпадает с левой частью уравнений (2.29), таким образом, остается показать, что справедливо равенство
Из выражения для полной производной функции f по времени
видно, что
следовательно, как и требовалось показать,
46
Рассмотрим консервативную систему, содержащую N частиц, на которую наложены k голономных связей. Общий метод составления уравнения Лагранжа для этой системы состоит в выполнении следующих операций:
1) Определить число степеней свободы и выбрать набор независимых обобщенных координат.
2) Выразить декартовы координаты частиц через обобщенные координаты и (если связи нестационарные) время:
Путем дифференцирования этих равенств выразить скорости частиц через обобщенные координаты и обобщенные скорости:
3)Выразить потенциальную энергию U через обобщенные координаты:
4)Используя соотношение (3.25), выразить кинетическую энергию T через обобщенные координаты и обобщенные скорости:
После возведения в квадрат получим, что кинетическая энергия как функция обобщенных координат и обобщенных скоростей имеет вид
47
где , и |
представляют собой следующие функции от ко- |
ординат и времени:
Если наложенные на систему голономные связи стационарные, то уравнения преобразования декартовых координат к обобщенным (3.24) не содержат явно времени и коэффициенты a и aj обратятся в нуль. Тогда T будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей1:
5) Вычислить производные |
|
|
|
для всех степеней сво- |
|
|
боды и составить уравнения Лагранжа (3.18).
3.4. Функция Лагранжа в криволинейных координатах
При решении некоторых задач оказывается удобным перейти к криволинейной системе координат (сферической, цилиндрической и др.). Рассмотрим сферическую систему координат, в которой положение материальной точки задается тре-
1 Однородной называется функция f одного или нескольких переменных, удовлетворяющая соотношению
для любого допустимого значения ; число m называется показателем однородности.
48
мя координатами r, , , где r – расстояние от точки до начала координат, – полярный угол, – азимут (см. рис. 3.1, а). Как видно из рис. 3.1.а, проекция радиус-вектора на плоскость xOy равна
и формулы для перехода от декартовых координат к сферическим имеют вид
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
а) |
б) |
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
Получить функцию Лагранжа |
свободной ма- |
||
териальной точки в сферических координатах можно стандартным образом: выразить согласно (3.25) декартовы составляющие скорости в сферических координатах, после чего подставить их в выражение для кинетической энергии
49
В данном случае имеется другой, менее громоздкий способ – использовать выражение для квадрата скорости
Как видно из построения на рис. 3.1.б, перемещение точки может быть разложено на три взаимно перпендикулярных со-
ставляющих: , |
и |
. Следовательно, |
|
Умножив это выражение на |
и разделив на |
, получим |
|
выражение для кинетической энергии, равной для свободной (U = 0) материальной точки функции Лагранжа:
Аналогично, в цилиндрической системе координат (рис. 3.2)
откуда
z
|
y |
|
x
Рис. 3.2
50