Методическое пособие 551
.pdf
Приравнивая нулю коэффициенты при |
и , получим |
уравнения |
|
Аналогичным образом можно получить уравнения кано-
нических |
преобразований для производящих |
функций |
и |
. |
|
Заметим, что производящая функция |
соответ- |
|
ствует тривиальному каноническому преобразованию, которое сводится ко взаимному преобразованию обобщенных координат и импульсов: . Это наглядно показывает, что инвариантность уравнений Гамильтона по отношению к каноническим преобразованиям приводит к тому, что в формализме Гамильтона деление независимых переменных на обобщенные координаты и обобщенные импульсы становится условным. Поэтому их часто называют просто канонически сопряженными величинами.
9.5. Скобки Пуассона и канонические преобразования
Докажем следующую теорему: скобки Пуассона инвари-
антны по отношению к каноническим преобразованиям, т.е. справедливо равенство
Непосредственное доказательство этой теоремы с использованием формул канонических преобразований является довольно громоздким. Вместо него выполним следующее рассуждение. Пусть функции и , входящие в (9.57), не зависят
131
от времени явно. Положим, что функция есть «гамильтониан» некоторой фиктивной (воображаемой) механической системы. Тогда, согласно (9.24), . Но величина не может зависеть от выбора переменных, она определяется только свойствами нашей воображаемой системы. Таким образом, и скобка Пуассона не изменится при преобразовании от одних канонических переменных к другим. Остается заметить, что время входит в уравнения канонических преобразований (9.53) не в качестве переменной, а в качестве параметра, поэтому, раз теорема (9.57) верна для независящих от времени величин и , то она будет верна и в общем случае.
С помощью скобок Пуассона можно записать условия,
которым должны удовлетворять новые переменные |
и , |
|
чтобы преобразование |
было каноническим. Из |
|
теоремы (9.57) и формул (9.35)-(9.37) получим |
|
|
Задачи
9.1.Система содержит n частиц массой m и одну частицу массой M. Найти выражения для функций Лагранжа и Гамильтона в системе центра инерции (см. [2], задача к § 13 и задача 3 к § 40).
9.2.Найти скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса и момента импульса материальной точки.
9.3.Найти скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент полного момента импульса системы n частиц ([13], задача
77).
9.4. Показать, что , где – произвольная скалярная функция координат и проекций импульса частицы ([13], задача 78).
9.5. Найти условие, при котором линейное преобразование
переменных p и q будет каноническим ([13], задача 79).
132
§ 10. Уравнение Гамильтона-Якоби
При рассмотрении принципа Гамильтона мы рассматривали варьирование действия
сравнивая его значения для близких траекторий с одними и теми же положениями системы и в моменты времени и . Согласно данному принципу, истинной является та
траектория, для которой действие S принимает экстремальное значение.
Рассмотрим теперь действие |
|
||
S как величину, характеризующую |
|
||
движение вдоль истинной траек- |
|
||
тории, зависящую от координат |
|
||
точки |
(при |
), а |
|
также от |
времени |
, т.е. будем |
|
рассматривать действие как функ- |
Рис. 10.1 |
||
цию |
|
|
|
|
|
|
|
где q – координаты конечного положения, t – момент времени, когда это положение достигается (рис. 10.1)
При переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории изменение действия будет равно
133
Здесь и – разности значений обобщенных координат и скоростей для двух рассматриваемых траекторий в один и тот же момент времени . Проинтегрировав по частям второе слагаемое в подынтегральном выражении, получим
Мы рассматриваем истинные траектории, поэтому в выражении (10.4) величина в круглых скобках равна нулю в силу
уравнений Лагранжа, а частная производная есть обобщенный импульс . Начальные точки траектории совпадают, по-
этому |
, разность |
координат в конечной точке |
|
обозначим просто через |
. Таким образом, мы полу- |
чаем |
|
|
Из этого выражения следует, что частные производные действия по обобщенным координатам равны соответствующим обобщенным импульсам:
Теперь предположим, что верхний предел не фиксирован, т.е. траектории заканчиваются в фиксированных точках , но в различные моменты времени . Действие тогда бу-
дет функцией верхнего предела интегрирования:
134
Из этого определения следует, что
С другой стороны, рассматривая S как функцию координат и времени (10.2) и учитывая соотношение (10.6), мы можем записать
На основании двух последних соотношений заключаем,
что
Величина в круглых скобках представляет собой гамильтониан , таким образом
В соответствии с формулами (10.6) и (10.11) полный дифференциал функции (10.2) можно представить в виде
Заменив в (10.11) импульсы на |
|
(см. (10.6)), получим |
|
дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому должно удовлетворять функция S:
135
его называют уравнением Гамильтона-Якоби.
Подобно уравнениям Лагранжа и Гамильтона, уравнение (10.13) может использоваться для нахождения законов движения . Для этого требуется найти т.н. полный интеграл данного уравнения1, представляющий собой функцию, зависящую от произвольных постоянных :
Далее, функцию f примем за производящую функцию канони-
ческого преобразования, а величины |
– за новые импульсы, |
новые координаты обозначим через |
. Тогда, в соответствии с |
(9.56) получаем соотношения |
|
Но, с учетом (10.13) и (10.14), новый гамильтониан будет тождественно равен нулю:
Поэтому, согласно уравнениям Гамильтона,
откуда следует, что новые канонические переменные являются интегралами движения. С другой стороны, алгебраических уравнений
1 Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби может быть найден в тех частных случаях, когда это уравнение допускает разделение переменных и задача его интегрирования сводится к квадратурам (см. [2], § 48).
136
позволяют найти функций |
), т.е. закон движе- |
ния. |
|
Для консервативной системы со стационарными голономными связями задача о нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби упрощается. В этом случае
, и, в соответствии с (10.13),
Подставляя (10.19) в (10.13) получим уравнения Гамиль- тона-Якоби для функции , которую называют укорочен-
ным действием:
Отметим в заключение, что уравнение Гамильтона-Якоби лежит в основе оптико-механической аналогии, которая привела Шредингера к формулированию основного уравнения нерелятивистской квантовой механики.
Задача
10.1. Проинтегрировать уравнение Гамильтона-Якоби для одномерного гармонического осциллятора и найти закон движения
(см. [1], п. 10.2).
.
137
Часть IV. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 11. Кинематика твердого тела
11.1.Ортогональные преобразования
Вмеханике твердым телом называют систему материальных точек, расстояния между которыми в процессе движения не изменяются. Иначе говоря, твердое тело представляет собой систему материальных точек, на которую наложены голономные связи вида
где – расстояние между i-й и j-й точками, – произвольные постоянные. Сплошное твердое тело можно свести к указанной системе жестко связанных точек, разбив его на элементарные объемы массой dV, где – плотность тела.
Рассмотрим сначала вопрос об определении пространственного положения твердого тела. Выберем внешнюю неподвижную (инерциальную) систему отсчета K, связанную с окружающим пространством, и внутреннюю подвижную систему K', жестко связанную с телом. В качестве систем координат будем использовать ортогональные декартовы системы, оси которых обозначим соответственно , , и
,, (рис. 11.1).
Положение внутренней системы координат относительно внешней полностью определяет положение твердого тела. Это положение можно задать шестью независимыми параметрами: тремя внешними координатами начала координат O' внутренней системы, а также тремя независимыми углами, задающими ориентацию внутренней системы координат относительно системы, оси которой параллельны осям , , , а начало отсчета совпадает с O' (пунктирные линии на рис. 11.1). Таким образом, твердое тело в отсутствие дополнительных ограничений (связей) имеет шесть степеней свободы.
138
Рис. 11.1
Задать ориентацию одной декартовой системы координат относительно другой можно при помощи матрицы направляющих косинусов
элементы которой представляют собой косинусы углов между координатными осями различных систем (первый индекс относится к «штрихованной» системе, второй к «нештрихованной»):
Пусть , , – компоненты некоторого вектора p во внешней системе координат (рис. 11.2). Запишем компоненты этого вектора во внутренней «штрихованной» системе, про-
ецируя вектор |
на соответствующие оси этой |
|
139 |
системы:
или
Здесь и далее при запи- |
|
|
си выражений |
используется |
|
эйнштейновское соглашение |
|
|
о суммировании по индексу, |
|
|
дважды повторяющемуся в |
|
|
одном и том же члене. Таким |
|
|
индексом |
суммирования |
|
(«немым» индексом) в выра- |
|
|
жении (11.7) является индекс |
|
|
, т.е. |
. |
|
Выражение (11.7) пред- |
|
|
ставляет собой закон преоб- |
Рис. 11.2 |
|
разования компонентов век- |
|
|
тора при переходе от «старой» системы координат к «новой» системе координат . Матрицу (11.2) называют матрицей преобразования. Аналогично, для обратного преобразования из «новой» системы в «старую» можно записать
Предположим для простоты, что начала систем координат O и O' совпадают. Поскольку координаты некоторой точки есть компоненты ее радиус-вектора, то, согласно (11.7), при переходе к новой системе , , эти координаты будут равны
140