Методическое пособие 551
.pdf
или, поделив на ,
где и – скорости изменения вектора , наблюдаемые в системах отсчета и соответственно.
Выясним, как изменятся величины и , если в качестве начала подвижной системы координат выбрать новую точку , смещенную относительно точки на вектор (эту новую
систему отсчета обозначим K''). В этом случае
где - радиус-вектор точки относительно начала . Подставляя (11.45) в (11.42), получим
С другой стороны, по аналогии с (11.42), мы можем запи-
сать
где – скорость движения точки O'' относительно неподвижной системы отсчета K, – угловая скорость твердого тела относительно оси, проходящей через точку O''. Сравнивая два последних равенства, заключаем, что
Таким образом, вектор угловой скорости не зависит от выбора жестко связанной с твердым телом подвижной системы координат, т.е. все такие системы будут вращаться вокруг параллельных между собой осей с одинаковой угловой скоростью .
151
Разложим скорость V точки O' на две составляющие:
где |
– составляющая, параллельная вектору |
, а |
– пер- |
|||
пендикулярная к нему. Сделав то же самое для скорости |
||||||
точки O'', мы можем записать |
|
|
|
|
||
Так как векторы |
и |
коллинеарны, |
вектор |
всегда |
||
можно выбрать так, чтобы составляющая |
оказалась равной |
|||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
Если в данный момент времени векторы |
и |
взаимно |
|||
перпендикулярны ( |
), то, |
как следует из (11.48), они ос- |
||||
танутся взаимно перпендикулярными при любом выборе начала подвижной системы координат (точки O'). При этом точку O' можно выбрать так, чтобы ее скорость была равной нулю. Тогда движение тела в данный момент времени может рассматриваться как чистое вращение вокруг оси, проходящей через точку O'. Такую ось называют мгновенной осью вращения тела. Направление мгновенной оси вращения в общем случае непрерывно изменяется (относительно и внешней, и внутренней систем координат).
Если в данный момент времени векторы и |
не явля- |
ются взаимно перпендикулярными, то точку O' можно выбрать |
|
так, чтобы они были коллинеарными ( |
). В этом |
случае движение тела в данным момент времени будет являться суммой двух движений: вращения вокруг некоторой оси с угловой скоростью и поступательного движения со скоростью вдоль этой же оси.
Угловую скорость можно выразить через углы Эйлера и их производные по времени, представив ее в виде
152
где угловая скорость |
соответствует вращению вокруг не- |
||||
подвижной оси |
, |
– вращению вокруг линии узлов и |
– |
||
вращению вокруг подвижной оси |
, связанной с телом, |
при |
|||
этом |
, |
и |
. |
|
|
|
Найдем компоненты вектора |
в подвижной системе ко- |
|||
ординат K'. Вектор |
направлен вдоль неподвижной оси |
, |
|||
поэтому его координаты в неподвижной системе будут равны (0, 0, ). Получим его координаты в системе K', используя матрицу преобразования (11.30):
Вектор |
направлен вдоль линии узлов, его координаты |
|||
в системе осей |
, |
, |
(см. рис. 9.14) будут равны ( , 0, |
|
0). Чтобы получить координаты этого вектора в системе K', |
||||
воспользуемся матрицей преобразования |
[см. (11.27)]: |
|||
Вектор направлен вдоль оси наты в системе K' будут равны (0, 0, вующие координаты векторов
, поэтому его коорди- ). Складывая соответст-
и, получим
153
|
11.5. Полярные и аксиальные векторы |
|||
Векторное произведение двух |
|
|||
векторов |
и по модулю равно |
|
||
площади параллелограмма, по- |
|
|||
строенного на этих векторах, а его |
|
|||
направление зависит от направле- |
|
|||
ния обхода вокруг контура парал- |
|
|||
лелограмма, определяемого поряд- |
Рис. 11.6 |
|||
ком сомножителей |
и (рис. 9.5). |
|||
|
||||
Схожим |
образом |
вектор угловой |
|
|
скорости |
направлен вдоль оси вращения в сторону, завися- |
|||
щую от направления обхода вокруг этой оси.
Подобные векторы, зависящие от направления некоторо-
го обхода, называют аксиальными, осевыми или псевдовекто-
рами. К псевдовекторам относятся вектор бесконечно малого
поворота |
, угловая скорость , момент импульса |
, |
момент силы |
, вектор индукции магнитного поля B и |
|
т.д. |
|
|
Обычные векторы называют полярными векторами (примеры полярных векторов – радиус-вектор , вектор скорости
, сила F, напряженность электрического поля E). Определить, является ли некоторый вектор полярным или
аксиальным, можно следующим образом. Если при отражении явления в плоскости, перпендикулярной вектору, направление, в котором протекает это явление, не изменяется, то такой вектор является аксиальным. Если же направление, в котором протекает явление, изменится на противоположное, то такой вектор является полярным. Обратная зависимость будет наблюдаться, если отражать явление в плоскости, в которой лежит данный вектор.
Например, отражая явление вращения в плоскости, пер-
пендикулярной вектору угловой скорости |
, мы не |
изменим |
направление вращения, поэтому вектор |
является |
аксиаль- |
ным. Если же мы отразим вектор линейной скорости в перпендикулярной к этому вектору плоскости, то направление
154
движения изменится на противоположное, т.е. вектор – полярный.
Компоненты полярных векторов при ортогональном преобразовании системы координат преобразуются по закону (11.7). Выясним, по какому закону преобразуются компоненты
аксиального вектора |
(где |
и – полярные векто- |
ры). |
|
|
В векторном анализе векторное произведение |
||
обычно определяется как вектор, |
модуль которого равен |
|
, а направление перпендикулярно векторам |
||
и и выбрано так, чтобы вектора |
образовывали правую |
|
тройку (если и |
неколлинеарны). |
При этом, через компо- |
ненты сомножителей векторное произведение выражается как
где знак « » выбирается при использовании правой системы координат, и знак « » – при использовании левой, – орты координатных осей.
Если же считать, что знак перед определителем в выражении (11.56) не изменяется при изменении ориентации системы координат, т.е. соотношения
остаются неизменными при переходе от правой системы координат к левой, то при таком переходе будет изменяться направление вектора на противоположное и тройка векторов станет левой. В этом случае правило правого винта (или правой руки), по которому определяется направление вектора , после перехода к левой системе координат изменяется на
155
правило левого винта (левой руки).
В соответствии с (11.57) и (11.7), имеем
Учитывая, что величина в скобках меняет знак при перестановке местами индексов и и равна нулю при , а также соотношения (11.57), в развернутом виде получим
где – алгебраические дополнения элементов матрицы . Как известно из линейной алгебры, справедливо соотношение
где – матрица, союзная к матрице , равная
Матрица ортогональна, поэтому должно также выпол-
няться условие (11.23): |
. Следовательно, |
, |
и соотношение (11.59) можно переписать в виде |
|
|
Повторяя те же рассуждения для и , окончательно получим закон преобразования компонентов аксиального век-
156
тора, который отличается от аналогичного закона для поляр-
ного вектора (11.7) множителем |
: |
Как мы выяснили ранее, |
для несобственных ор- |
тогональных преобразований, при которых правая (левая) система координат переходит в левую (правую). При собственных преобразованиях и компоненты аксиального вектора преобразуются так же, как и компоненты полярного вектора.
Задачи
11.1. Составить матрицу направляющих косинусов для поворота системы координат вокруг оси на угол 600, совершаемого против часовой стрелки, если смотреть с конца оси . Проверить выполнение условий ортогональности (11.17). Как изменится эта матрица, если поворот будет осуществляться по часовой стрелке?
11.2. Показать, что проекции вектора угловой скорости твердого тела на оси неподвижной системы координат выражаются через углы Эйлера и их производные по времени следующим образом
([1], глава 4, упр. 15):
§12. Динамика твердого тела
12.1.Кинетическая энергия и момент импульса
твердого тела
Если твердое тело рассматривать как систему, состоящую из отдельных материальных точек, то его кинетическая энергия запишется в виде
157
С учетом (11.42) получим
где - радиус вектор a-й точки, проведенный из начала подвижной системы координат K'.
Преобразуем по отдельности каждую из сумм:
где |
– масса твердого тела, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158
В дальнейшем будем полагать, что начало связанной с телом подвижной системы координат K' (точка ) совпадает с центром инерции тела . Здесь мы сразу видим преимущество
такого выбора: в этой системе |
и выражение (12.4) |
||||
обращается в нуль. В результате получим |
|
||||
|
|
|
|
|
|
или, переходя к проекциям векторов на оси подвижной системы координат и опуская для упрощения записи индекс ,
где индексы i, k, l могут принимать значения 1, 2, 3 и обозначают номера координатных осей, – проекция угловой скорости на ось . Напомним также, что по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование, например,
|
, |
. В послед- |
нем выражении |
мы учли |
также очевидное соотношение |
, где |
– символ Кронекера (единичный тензор). |
|
Введем обозначение |
|
|
тогда
Итак, если начало подвижной системы координат совпадает с центром инерции тела, то кинетическая энергия тела
159
может быть представлена в виде суммы двух независящих друг от друга частей: кинетической энергии поступательного движения тела
которая зависит только от скорости центра инерции , и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции,
которая зависит только от угловой скорости .
Девять величин образуют тензор второго ранга, называемый тензором моментов инерции твердого тела (или просто тензором инерции). Подробнее понятие тензора второго ранга рассматривается далее в п. 10.2.
Чтобы получить функцию Лагранжа твердого тела, вычтем из выражения (12.9) потенциальную энергию :
Потенциальная энергия твердого тела является функцией координат , , центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию тела в пространстве (например, углов Эйлера ).
Как было показано ранее, момент импульса механической системы равен сумме ее «собственного момента», связанного с движением точек системы относительно центра инерции, и момента, связанного с движения системы как целого (см. формулу (1.41)). Поскольку мы выбрали начало координат в центре инерции тела, его момент совпадает с собственным моментом. Согласно формуле (11.42), скорость -й точки относительно центра инерции равна , поэтому для мо-
160