Методическое пособие 556

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

Н.Н. Некрасова В.В. Горяйнов В.А. Попова

МАТЕМАТИКА: ВВОДНЫЙ КУРС

Учебное пособие

для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения

Воронеж 2017

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

Н 48

Н48 Некрасова, Н.Н.

Математика: вводный курс : учебное пособие для иностранных граждан слушателей подготовительного отделения / Н.Н. Некрасова, В.В. Горяйнов, В.А. Попова. – Воронеж : ВГТУ, 2017. – 99 с.

ISBN 978-5-7731-0539-8

Учебное пособие содержит подробное изложение материала по элементарной математике. Теоретический материал сопровождается подробными решениями примеров и задач. По каждой теме представлены задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для вводного адаптационного этапа преподавания математики на русском языке для иностранных учащихся подготовительного факультета.

Ил. 11. Библиогр.: 12 назв.

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

Рецензенты:

В.В. Обуховский, д.ф.-м.н., проф., зав. кафедрой высшей математики Воронежского государственного педагогического университета; С.А. Шабров, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета

Печатается по решению учебно-методического совета ВГТУ

2

1.4.Наименьшее общее кратное (НОК)………………………... 11

1.5.Арифметические действия…………………………………. 11

Тема 2. Порядок действий. Сравнение чисел……………………….. 15

2.1.Порядок действий…………………………………………… 15

3.1.Основные понятия. Отрицательные числа………………... 21

3.2.Арифметические действия…………………………………. 22

Тема 4. Рациональные числа (Q)……………………………………... 24

4.1.Обыкновенные дроби……………………………………….. 25

4.1.3.Сокращение дробей………………………………….. 29

4.1.4.Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю………………………………………… 30

4.1.5.Сравнение дробей……………………………………. 31

4.1.6.Сложение и вычитание обыкновенных дробей……. 33

4.1.7.Сложение и вычитание смешанных чисел…………. 33

4.1.8.Умножение обыкновенных дробей…………………. 34

4.1.9.Умножение смешанных чисел………………………. 34

4.2.Десятичные дроби…………………………………………... 40

4.2.1.Сложение и вычитание десятичных дробей……….. 41

4.2.2.Умножение десятичных дробей на 10, на 100,

3

4.2.8.Обыкновенные и десятичные дроби и действия

сними………………………………………………… 48

4.3.Противоположные числа…………………………………… 52

4.4.Абсолютная величина числа……………………………….. 52

4.5.Числовая ось………………………………………………… 53

4.6. Сравнение рациональных чисел…………………………… 54

4.7.Возведение в степень рационального числа………………. 57

4.7.1.Возведение в степень рационального числа……….. 58

4.7.2.Извлечение корня из рационального числа………... 59

4.7.3.Порядок выполнения действий……………………... 60

Тема 5. Иррациональные числа………………………………………. 65 Раздел II. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ………………………. 66 Тема 1. Действия над многочленами…………………………………. 66

1.1.Формулы сокращенного умножения………………………. 69

1.2.Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене…... 71

Тема 2. Разложение многочлена на множители…………………….. 72

2.1.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители…………………………………………………... 73

2.2.Разложение многочленов старших степеней на множители…………………………………………………... 72

Раздел III. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ……………………. 78 Тема 1. Линейные уравнения ………………………………………... 78

Тема 2. Квадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся

кквадратным……………………………………………………. 80

Тема 3. Алгебраические уравнения высших степеней…………….. 84 Тема 4. Уравнения с модулем…………………………………………. 86 Тема 5. Иррациональные уравнения……………………………….... 89

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ………... 92

Заключение………………………………………………………………. 99

Библиографический список…………………..……………………….. 99

4

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие предназначено для работы с иностранными учащимися на этапе довузовской подготовки в первом семестре для изучения курса математики на русском языке как иностранном. Содержание пособия полностью отвечает соответствующим разделам программы довузовской подготовки иностранных учащихся по математике.

Вучебном пособии рассматриваются основные темы арифметики – это числовые множества и арифметические операции на множестве рациональных чисел. Вводятся математическая терминология и специфическая символика, представляющие основу языка математики. Теоретический материал изложен в доступной языковой форме и содержит большое количество разнообразных примеров и задач, расположенных по возрастающей степени трудности.

Основной целью пособия является формирование и развитие у учащихся языковых и речевых навыков, необходимых для чтения и понимания математических текстов, а так же подготовить иностранных учащихся к успешному освоению последующих разделов курса математики на русском языке.

Вданном учебном пособии при раскрытии содержания вводимых понятий и терминов широко используется международный символический язык математики: обозначения, рисунки, таблицы и т.д. Посредством знакомой учащимся математической символики создается смысловая опора, облегчающая понимание и усвоение материала.

Пособие содержит теоретический материал и примеры как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.

Вконце каждого раздела приводится список слов и словосочетаний, которые впервые встречаются учащимися по рассматриваемой теме.

Предлагаемое учебное пособие окажет помощь иностранным учащимся в подготовке к сдаче экзамена по математике первого сертификационного уровня.

Авторы выражают благодарность кандидату физ.-мат. наук, доценту А.Б. Кущеву, внимательно прочитавшему рукопись. Его ценные замечания и рекомендации помогли улучшить содержание пособия.

5

Раздел I. АРИФМЕТИКА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

Тема 1. Числа. Натуральные числа (N)

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – это цифры. Цифры – это знаки; + (плюс), =

(равно), (принадлежит), - (минус) – это тоже знаки. Например, знак 5 (пять)

– это цифра и число; 23 – это не цифра, а число.

Понятие натуральных чисел возникло из потребностей счета. Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел. У каждого натурального числа есть свое место в этом ряду.

6

Числа 1; 2; 3; 4; … 9; 10; 11; … 47; 48; 49; … - это натуральные числа.

Например, 27 – это натуральное число.

Множество натуральных чисел обозначают большой буквой N , а сами числа маленькой буквой n , или n N .

Основные законы сложения и умножения натуральных чисел

Рассмотрим новое число – нуль. Нуль не является натуральным числом, и считается числом, предшествующим всем натуральным числам.

Ряд натуральных чисел вместе с числом нуль называют расширенным натуральным рядом и обозначают Z0 .

В Z0 можно доопределить действия сложения и умножения для нуля:

0 n n 0 n, 0 0 0,

0 n 0 (0 0 0) .

Деление на нуль и возведение нуля в нулевую степень являются запрещенными действиями в арифметике.

Все натуральные числа можно записать как множество:

N 1; 2; 3; ... 241; 242; 243; ... .

N – это множество натуральных чисел, = – это знак равно. Натуральные числа 1; 2; 3; ... называют элементами множества N. Число 241 – это натуральное число, или 241 – элемент N. Это можно записать так: 241 N . Нуль – не натуральное число, или 0 – не элемент N, или 0 N .

Каждое из натуральных чисел или чётное или нечётное.

Натуральные числа, которые делятся на два, называют чётными, а числа не делящиеся на два – нечётными.

2; 4; 6; 8; 10; 12; … – это чётные числа; 1; 3; 5; 7; 9; 11; … – это нечётные

7

1.1.Признаки делимости

1.Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная или нуль.

52738 – делится; 761 – нет.

2.Признак делимости на 4: число делится на 4, если 2 последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

31700 – делится; 2134 – нет (34 не делится нацело на 4).

3.Признак делимости на 8: число делится на 8, если 3 последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

120000 – да; 111120 – да; 170004 – нет.

Можно указать подобные признаки для деления на 16, 32, 64, но они не имеют практического значения.

4.Признак делимости на 3 и 9: на 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.

17835 – делится на 3 и не делится на 9 (1 7 8 3 5 24) ; 106499; (1 0 6 4 9 9 29) не делится на 3 и на 9; 52632; (5 2 6 3 2 18) делится на 3 и 9.

5.Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3.

126, делится на 2 и на 3 делится на 6.

6.Признак делимости на 5: на 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5.

240; 395 – делятся на 5.

7.Признак делимости на 25: числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т.е., числа, оканчивающиеся на 00; 25; 50 или 75) делятся на 25.

7150 делится на 25, а число 4855 – нет.

8.Признак делимости на 10, 100, 1000: на 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль; на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули; на 1000 – три последние цифры нули.

8

9. Признак делимости на 11: на 11 делятся все числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

составных чисел.

N число, большее единицы называется простым, если оно не имеет делителей, кроме единицы и самого себя (7, 11 , 19, 41, 53,…). Те числа, которые имеют другие делители, называются составными (число 21 делится на

1, 3, 7, 21, а число 81 имеет делители 1, 3, 9, 27, 81).

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Простых чисел – бесконечно много: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, …

Все четные числа кроме 2 являются составными.

Разложение составного числа на простые множители

Всякое составное число можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей (основная теорема арифметики).

36 4 9 2 2 3 3 22 32

(показатель степени 2 равен количеству множителей двоек и троек).

1421 7

1237600 12376 100.

100 10 10 2 5 2 5 22 52.

9

Когда числа небольшие, их НОД легко определять подбором. А если число большое? Тогда разлагаем каждое на простые множители и выписываем те из них, которые входят во все данные числа. Каждый из таких множителей берем с наименьшим показателем, с которым он входит в данное число. Производим умножение.

Например, найти НОД (252, 441, 1080).

Может случиться, что общих простых множителей для данных чисел не будет, тогда НОД = 1.

Например, 15, 10, 6.

15 3 5; 10 2 5; 6 2 3 НОД =1.

Два числа, у которых НОД=1, называют взаимно простыми, например

(15, 22).

10