Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 556

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

	2		2		b	b		2		b 2		b2
x		bx c x		2		x			c x		c		.
					2		2					4
										2

Это представление называют выделением полного квадрата в квадратном трехчлене.

На практике удобно пользоваться стандартным приемом в математике «прибавить – отнять» и «умножить – разделить». Рассмотрим этот подход на примерах.

Выделим полный квадрат в трехчленах:

1. x2 6x 1 ( x2 6x ) 1 (x2 2 x 3 32 ) 32 1 (x 3)2 8;

	представим	сворачиваем в формулу
	в виде суммы
		квадрата суммы
	трех слагаемых


																	5		5	2			5	2				5	2	9
		2									2						5		5				5					5		9
2. x			5x					4		x				2 x										4		x					;
2. x			5x					4		x				2 x										4		x					;
	представим																2		2				2					2		4
	в виде суммы												домножим и
	трех слагаемых												разделим на 2
													разделим на 2
				2								2			7			2				2			7	7	2		7	2		2
3.		3x			7x				2	3 x						x			3	x			2 x
3.		3x			7x				2	3 x					3	x		3	3	x			2 x		6							3
															3			3							6	6			6			3

						7	2		49		24								7 2		73
	3	x												3			x						.
	3	x				6								3			x				36		.
						6			36 36										6		36

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

55. Выделить полный квадрат:

1)	x2 2x 10;	6)	4x2 3x 6;				11)	2x2 4x 9;
2)	x2 8x 5;	7)	x2 2x 4;				12)	x2	13x;
3)	x2 10x;	8)	2x2 10x 3;				13)	x2	7x 5;
4)	2x2 3x 1;	9)	0,3x2			12x 125;	14)	x2	x 1;
5)	3x2 24x 43;	10)		1	x2	8x 3;	15)	5x2 20x 4.
5)	3x2 24x 43;	10)			x2	8x 3;	15)	5x2 20x 4.
			2

Тема 2. Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители – значит записать его как произведение одночленов и многочленов.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Рассмотрим каждый способ разложения отдельно:

1. Вынесение общего множителя за скобки;

9a2b 3ab2 27a 3a(3ab b2 9)	(3a – общий множитель);
(x y)2 3(x y) (x y)(x y 3) ,	(x y) – общий множитель.

2. Группировка членов;

ax xy am ym x(a y) m(a y) (a y)(x m);

группа группа

ac a bc b ac bc a b c(a b) (a b) (a b)(c 1).

группа группа

3. Применение формул сокращенного умножения;

a3 1 (a 1)(a2 a 1);

z4 t4 (z2 )2 (t2 )2 z2 t2 z2 t2 (z t)(z t) z2 t2 ;

2a 3 2 a 1 2 (2a 3) (a 1) (2a 3) (a 1)

(2a 3 a 1)(2a 3 a 1) (3a 2)(a 4).

4.Выделение полного квадрата;

a4 x2 1 x4 x2 x2 1 x2 (x2 ) 2 x2 1 12 x2

x2 1

x2 1 x

x2 x 1

x 1

(чтобы получить удвоенное произведение «прибавили» и «отняли» x2 , а затем воспользовались формулой сокращенного умножения для разности квадратов).

2.1.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Разложить квадратный трехчлен на множители – это значит представить его в виде:

ax2 bx c a(x x1)(x x2 ),

где x ,	x	–	корни уравнения		ax2 bx c 0 , которые определяются		по
1	2
формулам
					b
			x		b	D ,
				1,2	2a
					2a
где	D b2		4ac − дискриминант.
Если D 0 , уравнение ax2				bx c 0		имеет 2 (два) различных корня x		и
						1
x2 .
Если D 0 , уравнение ax2				bx c 0 имеет 2 (два) равных между собой
корня. Тогда разложение на множители принимает вид:

ax2 bx c a(x x1)2.

Если D 0 , то уравнение не имеет действительных корней. В этом случае оно имеет комплексно–сопряженные корни, и разложить на линейные множители с действительными числами квадратный трехчлен нельзя.

Рассмотрим примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1.	x2 8x 15
Решим	квадратное уравнение x2 8x 15 0 , для этого вычислим

дискриминант:

D b2 4ac 82 4 1 15 64 60 4 0.

Получим x2 8x 15 (x 3)(x 5).

2. 6x2 5x 6

Вычислим корни квадратного уравнения:

D 25 4 6 ( 6) 25 144 169 132

			3
	b D	8 2	3
x1,2				.
	2a	2	5

		18		3
	5 13
		12		2
x1,2		12		2		.
x1,2	12		8		4	.
	12		8		4
		12			3

	2			3		4
6x		5x 6 6	x		x		.
6x		5x 6 6	x	2	x	3	.
				2		3

3. x2 2x 1. Решим уравнение x2 2x 1 0 : D 4 4 0.

Отметим, что при D 0 будет полный квадрат и проще сразу получить ответ по соответствующей формуле сокращенного умножения.

(x 1)2 0, x1 x2 1. x2 2x 1 (x 1)(x 1) (x 1)2.

2.2.Разложение многочленов старших степеней на множители

Для приведенных многочленов с целыми коэффициентами

P (x)	xn	a	xn 1 ...	a x	a	(n	2,	n	N ),
n		n 1		1	0
ищут целый корень	x0	среди целых делителей свободного члена a0 , и если
такой корень есть, то делят уголком многочлен						Pn (x)		на (x	x0 ), при этом
остаток будет равен нулю.
Например, разложим многочлен				x3	3x2	4x	4 на множители.

Подбираем целый корень среди целых делителей свободного члена -4:

1, 2, 4.

Отметим, что в данном примере отрицательных корней нет, т.к. при x < 0 все четыре слагаемых будут отрицательными, поэтому осталось проверить


			x	1,	x 2, x 4.
Подставим		x 1 в многочлен x3				3x2 4x 4 : 1 3 4 4 2 0,
следовательно,	корнем многочлена x 1					не является.
Подставим		x 2 :	23 3 22		4 2 4 8 12 8 4 0,
следовательно,	по определению,			x 2		есть корнь многочлена.

Разделим уголком многочлен на x – 2:

_ x3 3x2 4x 4

x 2

x2 x 2

x3 2x2

_ x2 4x

x2 2x

_ 2x 4

2x 4

Так

как

второго

множителя,

квадратного

трехчлена

x2 x 2 дискриминант

D 1 8 7

0, то его на множители разложить

нельзя. Следовательно,

3x2

4 (x

2)(x2

x 2).

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

56. Разложить квадратный трехчлен на множители:


1) x2 5x 6;		6)	x2 4x 3;
2)	10x2 17x 3;	7)	7x2 8x 1;
3)	x2 5x 4;	8)		1	x2		3	x 3;

			6			2
4)	0,3x2 2, 4x 6;	9)	4x2 4x 1;
5)	5x2 23x 10;	10)	3x2 5x 2.

57. Разложить на множители путем вынесения общего множителя за скобки:

1)	8m2n3 10mn2 ;	6)	ym 1 y;	11) 15x2n 3 25xn 1;
2) 18ab3 9b4 ;		7)	5xm 2 10x2 ;	12)	4ax 8ay 12a;
3)	3x3 y3 15x2 y2 ;	8)	a3n a2n ;	13)	2ax3 4ax2 ;
4)	am am 1;	9)	amb2n ambn ;	14) 20xy 25zx 35cx;
5)	xm n xm ;	10) 4xn 2 20xn ;		15)	x5 2x4 3x3 4x2 .

58. Разложить на множители способом группировки:

1) 2a(x y) x y;

9) m(x y) ( y x);

2) 4x(m n) m n;

10) m2n2 mn m3 n3 ;

3) 2y(x y) x y;

11) 4x2 y2 5xz3 20yz2 x3 yz;

4) ax ay bx by;

12) 5(7 x)2

8x 56;

5) 3a 3b ax bx;

13) a3 ab2 a2b b3 ;

6) a2 ab 3a 3b;

14) y2 x2

9y 9x;

7) ax2 bx2 ax cx2 bx cx;

15) 3x

xy.

8) 12a2b2 6abc 3ac2 6a2bc c 2ab;

59. Применяя формулы сокращенного умножения, разложить на

множители:

25 x2 ;

11)

(x y)2 x2 y2 ;

21)

p3 q3 ;

1 m2 ;

12)

y2 (x y)2

;

22)

p3 q3 ;

m2 4n2 ;

13)

16(x y)2 25(x y)2 ;

23)

a3 8;

y2 ;

14)

4ab(a b)2 (a b);

24)

a3 27;

16b4 9c2 ;

15)

x2 2x 1;

25)

a3 1;

a4 b4 ;

16)

m3 6m2n 12mn2 8n3 ;

26)

x3 8;

(m n)2 p2 ;

17)

4a2 4a 1;

27)

m3 27;

x4 16;

18)

9 p4 6 p2q q2 ;

28)

x 4 16 y 6 ;

c4 1;

19)

6a a2 5;

29) 16(x y)2 25(x y)2 ;

10) 1 16a4 ;

20)

64 96a 48a2

8a3 ;

30)

6x2 12x 6 .

60. Применяя различные формулы, разложить на множители

многочлены:

16) a3 8 6a2 12a;

2)a3 a;

3)p4q2 p2q4 ;

4)5a2 10ab 5b2 ;

5)9a4b2 18a3b3 9a2b4 ;

6)a2 1 2 4a2 ;

7)4x2 4(7x 2 y)2 ;

8)9z2 4y2 4yz z2 ;

9)x3 x2 y xy2 y3 ;

10)x5 x3 x2 1;

11)a3 a2b ab2 b3 ;

12)a6 b6 ;

13)(a b)3 (a b)3 ;

14)(a b)4 (a b)4 ;

15)2a4 2a3 2a2 2a;

17)1 a5 a3 a2 ;

18)x2 xy 6y2 ;

19)x2 3xy 2y2 ;

20)a4 2a2b2 b4 ;

21)x3 4x2 3x 18;

22)x4 x3 6x2 11x 5;

23)x6 x4 2x3 2x2 ;

24)x3 3x 2;

25)x3 6x2 11x 6;

26)x3n y3n ;

27)81a4 16b4 ;

28)x8 x4 1;

29)x5 2x 1 (указание: 2x x x);

30)x5 x4 x3 x2 x 1.

61. Квадратный трехчлен а) разложить на линейные множители, используя формулу:

ax2 bx c a(x x1)(x x2 ) ;

б) выделить полный квадрат двучлена:

1)	x2 5x 6;	6)	x2 x 12;
2)	a2 7ab 12b2 ;	7)	x2 8x 15;
3)	x2 6x 8;	8)	x2 7x 12;
4) a2 7ab 12b2 ;		9)	2x2 9x 9;
5)	x2 x 12;	10) 3x2 4x 7.

Слова для запоминания

Одночлен	Коэффициент
Многочлен	Алгебраическая сумма
Алгебраическое выражение	Формула
Буквенное выражение	Формулы сокращенного умножения
Подобные члены	Линейный множитель
Выделить полный квадрат	Общий множитель
Деление многочленов уголком	Степень многочлена
Деление с остатком	Степень одночлена
Деление без остатка

Раздел III. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Тема 1. Линейные уравнения

Уравнения вида ах b 0, где a и b – действительные числа, называется линейным уравнением (или уравнением I степени).

1.	Если	а 0 ,	то линейное уравнение имеет единственный
действительный корень			x	b	.

				a
2. Если а 0, b 0 , то уравнение корней не имеет.
3.	Если а 0, b 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, т.е.
х R .
Пример.		Решить уравнение 2x 3 8.

Решение. 2х 8 3; 2х 5; х 52 2,5.

Ответ: х 2,5.

Пример. Решить уравнение 5х 3(3х 7) 49 . Решение. Раскроим скобки и приведём подобные члены:

5х 9х 21 49;	14х 28;	х		28	2.
			14

Ответ: х 2.

Пример.

Решить уравнение

х 4

2х 1

Решение. Умножим обе части уравнения на 12:

4(х 4) 60 3(2х 1).

Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём

корень уравнения:

4х 16 60 6х 3 0;

2х 79 0;

2х 79;

39,5.

Ответ: х 39,5.

Пример.

Решить уравнение 5(х 4) 2х 20 7х .

Решение. Раскроим скобки и приведем подобные члены:

5х 20 2х 20 7х 0 ;

7х 7х 0

или (7 7)х 0;

0 x 0 ,

т.е. любое число является его решением.

Ответ: х R .

Пример.

Решить уравнение 12х 1 3(х 2) 15х .

Решение. Раскроем скобки, получим:

12х 1 3х 6 15х 0;

15x 15х 5 0

или 0 х 5

–

это уравнение, а значит и исходное уравнение не имеет

корней.

Пример.

Решить уравнение

х2

х 4

Решение.

Заметим, что

х 4 0 при

х 4 (т.к. на нуль делить нельзя).

Запишем уравнение под общий знаменатель:

х2 16

0 . Дробь равна нулю,

х 4

если числитель дроби равен нулю, а знаменатель х 4 0,

х2 16 0;

(х 4)(х 4) 0;

т.е.

х 4

х 4.

Откуда х1 4 ;

х2 4 , т.к.

х 4

то х 4

–

корень уравнения.

Ответ: х 4

Пример.

Решить уравнение

2х 2 1

2х2 .

Решение.

Заметим х 0, представим первое слагаемое в левой части

уравнения

в виде:

2х2

2х

. Тогда уравнение примет вид:

2х

2х2 ;

2х 2х2 ;

2х2 2х 0 ; х2

х 0 ;

х(х 1) 0 . Откуда

х 0 ,

х2 1.

Т.к. х 0 (на нуль делить нельзя), то уравнение имеет единственный корень х 1.

Ответ: х 1.

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

62.Решить уравнения:

1)9х (х 5) 8;

2)3х 0,4 2х 1,8;

3)11 3(х 1,5) 4 2х;

4)8х 5х 1;


5)		1			3		3 х			;
			х 2				х 2

	1 1			5	х
							5
	8
6)						1			х;
	6,5							8

7) х(х 5) (х 2)2 13 х;


8)		3х 1						1				3х	;
8)							1 4х2						;
		6х 3					1 4х2				2х 1
9)		10			7 у 2					2		3у 1		;
9)	3				6 у 18					2		4 у 12		;
	3				6 у 18							4 у 12
10)			4	х		19			4	х 0;
10)				х						х 0;
	3				36		9

11)4 у 3 2,8 0,2(5 4 у); 5

12)0,3(х 1) 0,6(х 5) 12 х 2;

13)(х 3)(х 4) 2(3х 2) (х 4)2 ;

14)			1				3						3 х				;
14)		х					3										;
		х			2								х 2
15)		4 у 33									17 у							;
15)																		;
			21									14
									4			1
		2х 3
16)		2х 3										2		;
16)														;
			0,8						6			1
									6			3
17)		х				х			х						х				х	1;
17)																				1;
	3				9			12				4						72
18)	8				3			0;
18)		х				х2		0;
		х				х2
19)	(х 1)2 2(х 2)2 1 3х х2 ;
20)				х 1						5 х						2.
20)																2.
			4									8

Тема 2. Квадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнение вида ах2 bх с 0 , где а, b, с – некоторые числа, причём а 0 называется квадратным.

Ранее в разделе II было описано разложение квадратного трёхчлена на

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.3 Mб8Методическое пособие 551.pdf
#
30.04.20222.31 Mб3Методическое пособие 552.pdf
#
30.04.20222.31 Mб1Методическое пособие 553.pdf
#
30.04.20222.32 Mб7Методическое пособие 554.pdf
#
30.04.20222.33 Mб4Методическое пособие 555.pdf
#
30.04.20222.33 Mб3Методическое пособие 556.pdf
#
30.04.20222.35 Mб12Методическое пособие 557.pdf
#
30.04.20222.35 Mб13Методическое пособие 558.pdf
#
30.04.20222.36 Mб3Методическое пособие 559.pdf
#
30.04.2022299.52 Кб5Методическое пособие 56.doc
#
30.04.2022325.2 Кб4Методическое пособие 56.pdf