Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 556

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

дробной части 1, 5 и 4 – это десятичные знаки.

Целую и дробную части числа 12,154 разделяет запятая(,).

12,154

целая часть дробная часть

запятая

Свойства десятичной дроби

1) Величина десятичной дроби не изменится, если написать нули справа.

0,7 0,70 0,700 0,7000 ..., потому что

107 10070 1000700 100007000 ... .

2) Величина десятичной дроби не изменится, если написать нули слева.

0,7 00,7 000,7 0000,7 ..., потому что

0,7 107 ; 00,7 107 ; 000,7 107 ; 0000,7 107 ... .

4.2.1. Сложение и вычитание десятичных дробей

Рассмотрим примеры:

1. Сложим дроби 0,7 и 0,2. Они имеют одинаковые знаменатели 10.

0,7 0,2		7		2	7 2		9	0,9; или 0,7+0,2=0,9.
	10		10		10	10

2. Сложим дроби 0,3 и 0,12. Они имеют разные знаменатели 10 и 100. Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю 100. Дробь 0,3 можно записать как 0,30. Получим дроби 0,30 и 0,12. Они имеют одинаковое число знаков в дробной части (после запятой), следовательно, мы уравняли число знаков после запятой.

Сложим эти дроби:

0,3 0,12 0,30 0,12 0,42 .

Сложение можно записать и так:

0,30 +0,12 0, 42

3. Сложим дроби 0,2; 0,05 и 0,023.

Сначала нужно уравнять число знаков после запятой, а потом сложить дроби:

0,2 0,05 0,023 0,200 0,050 0,023 0,273.

		4. Выполним вычитание дробей 3,2															и 1,57.
								3,2 1,57 3,20 1,57 1,63.
		Вычитание можно записать и так:
												3, 20
												1,57
												1, 63
		4.2.2. Умножение десятичной дроби на 10, на 100, на 1000
		Рассмотрим примеры:
1)		0,357 10		357			10		357 10				357			3		57		3,57 или 0,375 10 3,57 .
1)		0,357 10					10									3				3,57 или 0,375 10 3,57 .
		1000							1000			100					100
		Множитель 10 имеет один нуль. Мы перенесли запятую вправо на один
знак.
2)	0,357 100		357			100				357 100				357			35		7		35,7 или 0,357 100 35,7 .
2)	0,357 100					100											35				35,7 или 0,357 100 35,7 .
		1000							1000			10					10
		Множитель 100 имеет два нуля. Мы перенесли запятую вправо на два
знака.
3)	0,357 1000				357			1000			357 1000				357,0 или 0,357 1000 357,0 357 .
3)	0,357 1000							1000							357,0 или 0,357 1000 357,0 357 .
		1000							1000

Множитель 1000 имеет три нуля. Мы перенесли запятую вправо на три знака.

При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. можно делать так: если множитель – это число 10 (имеет один нуль), то нужно перенести запятую вправо на один знак; если множитель – число 100 (имеет два нуля), то нужно перенести запятую вправо на два знака; если множитель – это число 1000 (имеет три нуля), то нужно перенести запятую вправо на три знака и так далее.

Правило: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей имеет множитель.

Например, 1,27 10 12,7; 0,354 100 35,4 .

4.2.3. Деление десятичной дроби на 10, на 100, на 1000


Рассмотрим примеры:
27,6 :10				276		1			276	2,76	или 27,6 :10 2,76 .

		10			10		100
Делитель 10 имеет один нуль,										перенесли запятую влево на один знак.
27,6 :100	276		1		276			0,276 или			27,6 :100 027,6 :100 0,276 .

10		100			1000

Делитель 100 имеет два нуля. Запятая переносится влево на два знака.

27,6 :1000	276		1		276	0,0276 .
	10	1000		10000

Делитель 1000 имеет три нуля, мы перенесли запятую влево на три знака.

27,6 :1000 0027,6 :1000 0,0276 .

Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей имеет делитель.

4.2.4. Умножение десятичных дробей

Рассмотрим произведение:
0,4 0,13		4		13	4 13		52	52 :1000 0,052.
	10		100		10 100	1000

Теперь посмотрим, как можно найти произведение, если десятичные дроби не записывать как обыкновенные. Сначала нужно найти произведение числителей: 4 13 52. Затем число 52 нужно разделить на произведение знаменателей . Делитель 1000 имеет три нуля, поэтому частное 52 :1000 0,052 имеет три десятичных знака.

Множители 0,4 и 0,13 вместе тоже имеют три десятичных знака (1+2=3)

0,4 0,13 0,052 .

Найдем произведение 0,003 1,2 . Сначала нужно найти произведение целых чисел: 3 и 12 (эти числа мы получим, если не будем смотреть на запятые)

0003 12 3 12 36 .

Потом найдем, сколько десятичных знаков имеют множители вместе, получим 3+1=4, следовательно, в произведении нужно отделить запятой 4 десятичных знака:

0,003 1,2 0,0036 .

Правило. При умножении десятичных дробей не смотрим на запятые и умножаем дроби как целые числа. В полученном произведении отделяем запятой столько десятичных знаков, сколько десятичных знаков имеют множители вместе.

Например, а) 0,7 0,8 0,56 ;	б) 1,235 4 4,940 4,94 ;
в) 0,125 0,8 0,1000 0,1;	г) 0,3 0,04 1,2 0,0144 .

4.2.5. Деление десятичных дробей

Рассмотрим на примере деление десятичной дроби на целое число:

1)	17,52 : 3	1752		1	1752	584	5,84 .

			100	3	100 3	100

Деление ещё можно записать так:

_17,52 3

15 5,84

_ 25 24 _12

2) 0,34:5= 0,34 : 5	34	1	34		340		68	0,068 или
2) 0,34:5= 0,34 : 5			100 5		1000 5			0,068 или
	100	5	100 5		1000 5	1000
				_ 0,340		5
				_ 0,340		5

0 0,068

_ 34 30

_ 40 40 0

Правило. Десятичную дробь делим на целое число, как делим целое

число на целое. Сначала нужно разделить целую часть и написать запятую, потом продолжать делить дробную часть.

Теперь рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную дробь.

Например,
1)	0,36 : 0, 4	0,36	0,36 10	3,6	3,6 : 4 0,9 .
1)	0,36 : 0, 4	0, 4	0, 4 10	4	3,6 : 4 0,9 .
		0, 4	0, 4 10	4

Умножили делимое и делитель на 10 и получили делитель 4 – целое число. Потом выполнили деление на целое число. Деление десятичной дроби на десятичную дробь можно записать так:

0,36 : 0,4 3,6 : 4 0,9.

2)	0,125 : 0,05	0,125	0,125 100	12,5		12,5 : 5 2,5 .
		0,05	0,05 100		5

Умножили делимое и делитель на 100 и получили делитель 5 – целое число. Потом выполнили деление на целое число.

0,125: 0,05 12,5: 5 2,5 .

3) 0,72 : 0,008	0,72	0,72 1000	720	90	или
	0,008	0,008 1000	8

0,72 : 0,008 0,720 : 0,008 720 :8 90 .

Если делитель – десятичная дробь, то сначала нужно умножить

делимое и делитель на число 10, или 100, или 1000 и т. д., получить целый делитель, а потом выполнить деление на целое число.

4.2.6. Обращение десятичной дроби в обыкновенную в дробь

Десятичную дробь можно обратить в обыкновенную дробь: для этого нужно записать десятичную дробь как обыкновенную и сократить ее, если это возможно.

Рассмотрим примеры:

1)	0,4	4	2	;		3) 4,23 4	23	;
1)	0,4			;		3) 4,23 4		;
	10		5				100
2)	0,75	75		3	;	4) 17,025 17		25	17	1	.
2)	0,75				;	4) 17,025 17			17		.
		100		4			1000			40

4.2.7. Обращение обыкновенной дроби в десятичную дробь

Возьмем дробь	3	и разделим ее числитель на знаменатель
Возьмем дробь		и разделим ее числитель на знаменатель
5
3
3		5
						3
_ 30 0,6			или			3	3: 5 0,6 .
30			или		5		3: 5 0,6 .
30					5
0
Мы обратили обыкновенную дробь				3	в десятичную дробь 0,6.
Мы обратили обыкновенную дробь				5	в десятичную дробь 0,6.
				5

Для того чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную дробь, необходимо числитель дроби разделить на ее знаменатель.

Рассмотрим примеры:
1)	7	7 :8 0,875;		2)	13	13: 20 0,65 .

8					20
3)		5	5: 33 0,151515...;	4)	7	7 :12 0,58333... .

33					12

В примерах 1 и 2 получили конечные десятичные дроби 0,875 и 0,65, в прмерах 3 и 4 – бесконечно периодические десятичные дроби. Их можно записать так:

0,151515... 0,(15) ;			0,58333... 0,58(3) .
Число в скобках – это период десятичной дроби. Периодические дроби
читаем так:
0,(15)	-	ноль целых и 15 в периоде;
0,58(3)	-	ноль целых, пятьдесят восемь и три в периоде.

Следовательно, обыкновенную дробь можно обратить в конечную десятичную или в бесконечную периодическую дробь.

Определим, когда получается конечная десятичная дробь и когда – бесконечно периодическая десятичная дробь.

Знаменатели десятичных дробей – это числа 10, 100, 1000 и т.д. Разложим их на простые множители:

10 2 5; 100 2 2 5 5 ; 1000 2 2 2 5 5 5 и т.д.

Видим, что разложение на простые множители чисел 10, 100, 100 и т.д. имеют только множители 2 и 5.

Рассмотрим знаменатели дробей из вышеприведенных примеров и

	13	. Разложим их на простые множители:			8 2 2 2,		20 2 2 5. Разложение
20		. Разложим их на простые множители:			8 2 2 2,		20 2 2 5. Разложение
20
на простые множители содержат только множители 2 и 5.
			7	0,875 ;	13	0,65.
		8		0,875 ;	20	0,65.
		8			20

Следовательно, если разложение знаменателя обыкновенной дроби на простые множители содержит только множители 2 и 5, то обыкновенную дробь можно записать как конечную десятичную дробь.

А теперь разложим на простые множители знаменатели дробей	5	и		7	:
	33		12

33 3 11,	12 2 2 3 . Видим, что их разложения содержат множители 3 и 11,
которые не равны 2 и 5.
		5	0,151515... 0,(15)	;		7	0,58333... 0,58(3) .
					12
	33

Следовательно, если разложение знаменателя обыкновенной дроби на простые множители имеет множители, которые не равны 2 или 5, то обыкновенную дробь можно записать как бесконечную периодическую десятичную дробь.

4.2.8. Обыкновенные и десятичные дроби и действия с ними

Рассмотрим, как можно вычислить выражения, которые содержат обыкновенные и десятичные дроби.

Пример. Вычислить сумму 34 0,012 .

Решение. Здесь обыкновенную дробь 3 можно записать как конечную

десятичную дробь, потому что разложение её знаменателя на множители

(4 2 2) имеет только множители 2. Запишем дробь 34 как десятичную дробь

0,75 и сложим две десятичные дроби:

34 0,012 0,75 0,012 0,750 0,012 0,762 .

Пример.	Вычислить произведение		7	0,3 .
		15

Решение.	Обыкновенную дробь	7		нельзя записать как конечную

		15

десятичную дробь, потому что разложение ее знаменателя на множители (15 3 5) содержит множитель 3. Эту дробь можно записать только как

бесконечную периодическую десятичную дробь. Поэтому запишем десятичную

дробь 0,3 как обыкновенную дробь						3			и умножим две обыкновенные дроби:
дробь 0,3 как обыкновенную дробь									и умножим две обыкновенные дроби:
			10
	7	0,3		7	3		7 3						7		7	0,14 .
		0,3										5 10				0,14 .
15			15 10			15 10						5 10		50
Пример. Вычислить выражение									5	: (	3		0,35) .
Пример. Вычислить выражение								12		: (	5		0,35) .
								12			5

Решение. Сначала делаем действие в скобках (вычитание):

					3	0,35 0,6 0,35 0,60 0,35 0,25;
			5			0,35 0,6 0,35 0,60 0,35 0,25;
			5
затем делим		5	на 0,25:
затем делим	12		на 0,25:
	12
				5		: 0,25		5	:		25		5	:	1	5 4	5	1	2	.
			12			: 0,25	12		:	100		12		:	4	12 1	3	1	3	.
			12				12			100		12			4	12 1	3		3

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

34. Прочитайте десятичные дроби:

0,5;	1,3;	0,0048;
0,43;	2,75;	0,5497;
0,019;	6,042;	0,01735.

35. Напишите десятичные дроби цифрами:

1)одна целая девять сотых;

2)одна целая, два нуля, сто девяносто один;

3)ноль целых семь десятых;

4)ноль целых тринадцать сотых;

5)ноль целых сто пятьдесят четыре тысячных;

6)три целых сорок семь тысячных.

36. Вычислите:

а)	1) 5,2 3,5 ;		2)	0,12 1,7 ;	3)	4,037 1,71;
	4)	2,15 1,934 ;	5)	1,3 0,7 ;	6)	5,9 3,42 ;
	7)	0,834 0,27 ;	8)	3,21 2,756 ;	9) 12,01 9,352 ;
б)	1) 3,12 10 ;		2)	0,7 10 ;	3)	0,154 100;
					3)	0,154 100;
	4)	2,3 100 ;	5)	0,0173 1000;	6)	0,015 1000;
	7)	0,00254 10000	8)	0,4005 10000	9)	23,7 100 ;
в)	1) 0,5 :10 ;		2)	1,73:10 ;	3)	24,1:100 ;
	4)	0,47 :100;	5)	12,3:1000 ;	6)	312,71:1000 ;
	7)	0,7 :10000;	8)	15,3:10000 ;	9)	7,2 :100;
г)	1) 0,3 0,3;		2)	1,5 0,4 ;	3)	2,3 0.02 ;

4)	7,25 0,06 ;	5) 12 0,3;		6)	0,54 1,2 ;
7)	0,013 1,5;	8)	3,72 0,01;	9)	2,5 0,008 ;
д) 1) 0,24 : 6 ;		2)	0,756 : 3 ;	3)	12,5 : 5 ;
4) 432,24 :12;		5)	0,12 : 0,2 ;	6)	0,56 : 0,07 ;
7) 1,69 :1,3;		8)	3,6 : 00,8;	9)	1,7 : 0,1;
10)	3,5 : 0,01;	11) 47,04 : 0,0084;		12) 0,654 :10,9 .

37. Запишите обыкновенные дроби как десятичные:

									1		;	5					; 1			1		;	7		; 2						3		;	7	;	5	; 1	11	;			8			.
											;						; 1					;			; 2								;		;		; 1		;						.
						4						8					2						10					16						12		18	15			7
38. Выполните действия:
1)	2,3				1	;																	2)		7				0,5					;				3) 0,15										2	;
1)	2,3					;																	2)						0,5					;				3) 0,15									3		;
		4																						12																							3
4)	2		1	0,04						;													5)		2,88							35		;			6) 4				1			: 0,65 ;
4)	2			0,04						;													5)		2,88						72			;			6) 4							: 0,65 ;
		2																													72									8
7)	6,075 :					3				;													8)	1		1			: 0,2 ;								9)			(3			4			3,68) : 2							1	;
7)	6,075 :									;													8)	1					: 0,2 ;								9)			(3						3,68) : 2								;
						20																		4																5													2
10)		3,06 : 7						1			3			2				0,38;																				(Ответ: 1,7).
10)		3,06 : 7									3							0,38;																				(Ответ: 1,7).
						2						5
11) 3,075:1,5													1			(			1		3,26)																	(Ответ:									1		9			).
11) 3,075:1,5																(					3,26)																	(Ответ:									1					).
												4					25																														40
12)		(6,72 :					3			1		1			0,8) :1,21 6												3			.								(Ответ:									3			5	).
12)		(6,72 :								1					0,8) :1,21 6															.								(Ответ:									3				).
						5						8												8																									8

39. Прочитайте тексты и ответьте на вопросы.

ТЕКСТ 1 Сложим две десятичные дроби 0,12 и 0,035. Дробь 0,12 имеет два знака

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.3 Mб8Методическое пособие 551.pdf
#
30.04.20222.31 Mб3Методическое пособие 552.pdf
#
30.04.20222.31 Mб1Методическое пособие 553.pdf
#
30.04.20222.32 Mб7Методическое пособие 554.pdf
#
30.04.20222.33 Mб4Методическое пособие 555.pdf
#
30.04.20222.33 Mб3Методическое пособие 556.pdf
#
30.04.20222.35 Mб12Методическое пособие 557.pdf
#
30.04.20222.35 Mб13Методическое пособие 558.pdf
#
30.04.20222.36 Mб3Методическое пособие 559.pdf
#
30.04.2022299.52 Кб5Методическое пособие 56.doc
#
30.04.2022325.2 Кб4Методическое пособие 56.pdf