Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 556

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

после запятой, а дробь 0,035 имеет три знака после запятой. Уравняем число знаков после запятой. Возьмем дробь 0,12 и напишем один нуль справа. Получим дроби 0,120 и 0,035. Сложим дроби:

0,12 0,035 0,120 0,035 0,155 . Сумма равна 0,155.

Вопросы к тексту 1

1)Сколько знаков после запятой имеет дробь 0,12?

2)Сколько знаков после запятой имеет дробь 0,035?

3)Как мы уравняем число знаков после запятой?

4)Чему равна сумма?

ТЕКСТ 2 Умножим дробь 7,28 на 10. Множитель 10 имеет один нуль. Поэтому

нужно перенести запятую вправо на один знак. Получим: 7,28 10 72,8 . Произведение равно 72,8.

Разделим 7,28 на 100. Делитель 100 имеет два нуля. Поэтому нужно

перенести запятую влево на два знака. Возьмем дробь 7,28	и напишем два нуля
слева. Потом перенесем запятую влево на два	знака. Получим:
7,28:100 0,0728 .
Частное равно 0,0728.

Вопросы к тексту 2

1)Сколько нулей имеет множитель 10?

2)Почему нужно перенести запятую вправо на один знак?

3)Чему равно произведение?

4)Сколько нулей имеет делитель 100?

5)Почему нужно перенести запятую влево на два знака?

6)Чему равно частное?

ТЕКСТ 3 Найдем произведение 0,02 5,3. Множитель 0,02 имеет два знака после

запятой, а множитель 5,3 – один знак. Множители 0,02 и 5,3 вместе имеют три знака после запятой, поэтому произведение должно иметь три знака после запятой. Найдем это произведение: 0,02 5,3 0,106 .

Вопросы к тексту 3

1)Сколько знаков после запятой имеет первый множитель ?

2)Сколько знаков после запятой имеет второй множитель ?

3)Сколько знаков после запятой имеют оба множителя вместе ?

4)Чему равно произведение?

	4.3. Противоположные числа
Рассмотрим числа	2 и 2 . Это противоположные числа. Число									2
противоположно числу	2 . Число 2 противоположно числу							2 .
Рассмотрим ещё примеры противоположных чисел:
7 и 7 ;	3, 2 и 3,2;	4	и	4	; 2	3	и 2	3	.
						4		4
	7		7

Если а – любое действительное число, то ( а) – это противоположное

ему число.

Если а – положительное число, то ( а) – отрицательное число. Например, а 5 , тогда а ( 5) 5 .

Если а – отрицательно число, то ( а) – положительное число. Например, а 7 , тогда а ( 7) 7 .

4.4. Абсолютная величина числа

Абсолютная величина или модуль числа а обозначается а .

1 – это абсолютная величина числа 1 или модуль числа 1; 3 – абсолютная величина числа 3 или модуль числа 3 ; m – это абсолютная величина m или модуль m .

Определение.

Абсолютная величина положительного числа а равно числу а:

а а , если а R .

Например,	3	3;	1,4	1,4;			7		7	.
							7		7
						12		12
Определение.						12		12
Определение.
Абсолютная величина числа 0					равна				0 (нулю):		0	0 .
Абсолютная величина числа 0					равна				0 (нулю):		0	0 .

Определение.

Абсолютная величина отрицательного числа а равно противоположному положительному числу ( а)

а а, если а R .

Например,	2	( 2) 2;	7,2	( 7,2) 7,2.
Например,	2	( 2) 2;	7,2	( 7,2) 7,2.

Из определений, записанных выше, сформулируем общее определение абсолютной величины числа а:

a, при а 0, a а, при а 0.

Абсолютная величина любого действительного числа больше или равна 0 (неотрицательное число):

				0.						а	0.			0 . Противоположные числа
										а	0.
Если а 0 ,	то	а				Если		а 0, то					а
Если а 0 ,	то	а				Если		а 0, то					а
имеют равные абсолютные величины.
Например,	5		5		5,		7,1		7,1			7,1.
Например,	5		5		5,		7,1		7,1			7,1.

4.5. Числовая ось

Рассмотрим прямую линию (рис. 6). Обозначим её направление вправо знаком .

Будем рассматривать это направление как положительное, а противоположное направление (влево) как отрицательное.

О	Е
		х
0	1

	Рис. 6. Числовая ось

Возьмём на ней любую точку и обозначим её буквой О . Точка О изображает число 0 – это начало отсчёта. Возьмем любую точку справа от точки О и обозначим ее буквой Е . Будем считать, что ОЕ – это единичный отрезок (то есть длина отрезка ОЕ равна 1). Точка Е изображается числом 1. Получили числовую ось. Каждая её точка изображает единственное действительное число

х R.
На рис. 7 точка			А изображает положительное число а , если длина
отрезка ОА равна числу а . Например, точка М и				N изображают числа 2 и
3,5 , потому что длина отрезка ОМ равна 2 , а длина отрезка ОN равна 3,5 .
Точка слева от О изображают отрицательные числа. Точка В изображает

отрицательное число b ,			если длина отрезка ОВ равна			b	(модулю числа b ).
Например, точки C и D изображают числа 1				и 2 , потому что длина
отрезка ОС равна	1	1, а длина отрезка ОD равна		2	2.

-2

-1

3,5

Рис. 7. Изображение положительных и отрицательных чисел на числовой оси

Любое действительное число можно изобразить точкой на числовой оси. Эта точка единственная. Например, изобразим на числовой оси числа

2; 3; 4;

; 1;

2,8 (рис. 8).

-2,8

-4 -3	-2	-1 0 1	1	2	3	4	x
		2
Рис. 8.	Изображение действительных чисел на числовой оси

4.6. Сравнение рациональных чисел

Сравним два рациональных числа. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Если а и b – положительные числа, то мы сравниваем их как натуральные числа или обыкновенные дроби (смотри 4.1.5).

Например: 4 1;

7 15,2;

2. Если а – положительное число, то а

больше чем 0 : а 0.

Например:

0; 10 0; 4,475 0.

3. Если а

– отрицательное число, то а

меньше чем 0 : a 0.

Например: 7 0;

0; 10,23 0.

4. Если а

– положительное число, а b – отрицательное, то а больше чем

b .

Например: 3 1; 7,2 103,1;

5. Если

и b – отрицательные числа, то сравниваем их абсолютные

величины:

а) если

, то a b ;

б) если a b , то a b ; в) если a b , то a b .

Например: 3 5; 12 0,5; 2 1.

Точки числовой оси называют числами.

Если а b , то число а находится справа от числа b на числовой оси. Этот общий случай изображен на верхней числовой оси рис. 1.9, а конкретные примеры ( 5 2 , т.к. число 5 находится справа от числа 2 ; 0 3, т.к. число 0 находится справа от числа 3 ) на нижней числовой оси рис. 9.

b a x

-3	0	2	5	х
Рис. 9.	Расположение чисел на числовой оси,			если а b

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

40. Запишите предложения с помощью знаков N, Z, Q, R, R , R , , :

1)	5 –	натуральное число;	2)	3 – целое число;
3) 12		– положительное число;	4)		2	– не целое число;
			4)	7		– не целое число;
				7
5)	2	– не положительное число;	6)	7,1 – отрицательное число;
7)	4, 2	– рациональное число;	8)	8		– действительное число;
9) –		не рациональное число;	10) 0			– не натуральное число.

41. Напишите знак			или вместо точек:
3...N; 5...N;	3	...Z;	7	...Q; 2...Z; 2,8...R;	3,14...Z; 0,12...Q.
3...N; 5...N;	4	...Z;	8	...Q; 2...Z; 2,8...R;	3,14...Z; 0,12...Q.
	4		8
42. Найдите число, противоположное числу a :
1) a 2;			2) a 4,7;		3)	a	17		;
1) a 2;			2) a 4,7;		3)	a		30	;
								30

4)	a 64,57;								5) a 1;						6) a					2			;
4)	a 64,57;								5) a 1;						6) a				5				;
																			5
7)	a								8) a 2,(47);						9) a 0.
7)	a			17,1;											9) a 0.
43. Найдите абсолютную величину (модуль) числа:
1) 5 ;				2) 7,3;						3)	1	;					4) 10							2		;
1) 5 ;				2) 7,3;						3)		;					4) 10							3		;
										2														3
5) 1;						6)	2	;		7) 5,7 ;							8)					3			.
5) 1;						6)	5	;		7) 5,7 ;							8)								.
							5												4
44. Изобразите на числовой оси числа:
0 ; 1; 2 ;		3 ; 5 ; 10 ; 1;					2		; 3 ;	5 ; 10 ; 0,8;			1	1	; 2,75 ;			1	;					1, 4 ;						2,6 .
0 ; 1; 2 ;		3 ; 5 ; 10 ; 1;					2		; 3 ;	5 ; 10 ; 0,8;			1	2	; 2,75 ;			3	;					1, 4 ;						2,6 .
														2				3
45. Сравните числа:
1)	7		и	5 ;					5) 0	и 1,5;					9) 2,34 и 2,37 ;
2)		3	и		5	;			6) 2 и 1;						10)	5	и				4			;
	4			7											6				5
3)	2,34			и 2,37 ;					7) 3,7 и 1,75;						11) 12		1	и 12									1		;
3)	2,34			и 2,37 ;					7) 3,7 и 1,75;						11) 12		5	и 12									4		;
																	5										4
4)	0		и 1,5 ;						8) 2	и 1 ;					12) 27		3	и 27										2	.
4)	0		и 1,5 ;						8) 2	и 1 ;					12) 27		8	и 27									5		.
																	8										5

46. Прочитайте тексты и ответьте на вопросы:

		ТЕКСТ 1
Число 2	–	это натуральное число,
		это целое число,
		это рациональное число,
		это действительное число.
Число 3	–	это целое число,
		это рациональное число,
		это действительное число,
		это не натуральное число.
Число 10,3	–	это рациональное число,
		это действительное число,
		это не натуральное число,
		это не целое число.

Вопросы к тексту 1

1)Число 2 – это рациональное число?

2)Число ( 3) – это натуральное число?

3)Число ( 10,3) – это действительное число?

4.7. Возведение в степень рационального числа

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например, 2 2 2 8. Произведение 2 2 2 можно записать как 23 . Выражение 23 – это степень (два в третьей степени).

Следовательно, 2 2 2 23 8.

Умножение одинаковых множителей – это операция возведения в степень.

Например, возвести число 3 в четвёртую степень (34 ) – это значит найти произведение 3 3 3 3, то есть 34 3 3 3 3 81.

Определение. Если а Q и n N , n 1, то

аn a a ... a .

n множителей

Выражение аn ( a в энной степени) – это степень, a – основание степени, n – показатель степени.

Читаем степени так:

а2	« а во второй степени», « а в квадрате», « а квадрат»;
а3	« а в третьей степени», « а в кубе», « а куб»;
а4	« а в четвёртой степени»;
а12	« а в двенадцатой степени»;
аn	« а в энной степени», « а в степени эн»;

Определение. Если а Q , то а1 а .

Рассмотрим примеры возведения в степень рациональных чисел:

1.Возведём число 3 в квадрат, получим 32 3 3 9 ;

2.Возведём число 2 в куб, получим ( 2)3 ( 2) ( 2) ( 2) 8;

3. Возведём дробь	1	в четвёртую степень, получим
3. Возведём дробь	5	в четвёртую степень, получим
	5
			1	4	1	1	1	1	1	;


			5		5	5	5	5	625

4. Возведём дробь ( 0, 2) в пятую степень, получим

( 0,2)5 ( 0,2) ( 0,2) ( 0,2) ( 0.2) ( 0,2) 0.00032.

Рассмотрим другие примеры:

5) ( 3,7)1 3,7;	6) 14 1 1 1 1 1;
7) ( 1)3 ( 1) ( 1) ( 1) 1;	8) 05 0 0 0 0 0 0.
4.7.1. Возведение в степень рационального числа
Пусть а 0, тогда а 0 ( а – отрицательное число):		а	а	а.
Пусть а 0, тогда а 0 ( а – отрицательное число):		а	а	а.
Рассмотрим степени ( а)2n	и ( а)2n 1, где n N ( 2n – чётное число;
(2n 1) – нечётное число):

( а)2n ( a) ( a) ... ( a) a 2n a2n ;

2n множителей

( a)2n 1 ( a) ( a) ... ( a) a 2n 1 a2n 1.

2n 1 множителей

Следовательно, чётная степень отрицательного числа равна положительному числу, а нечётная степень отрицательного числа равна отрицательному числу.

Рассмотрим примеры:

1)	( 2)6 26 64;					2)	( 5)3 53		125;
	( 0,3)	4	(0,3)	4	0,0081;			1 3	1 3	1
3)						4)					;

								4	4	64

5) ( 1)42 142	1;	6)	( 1)75 175 1.
		Свойства показателей степеней
1. a1 a;	ao 1	(кроме числа нуль);

2. am an am n ;
3.	ak	ak m ,	k m,	a 0;
	am

4.(ak )m akm ;

5.a1m a2m (a1 a2 )m ;

		k	k
	a1
6.			a1	,	(a2 0) .
			k
a2			a2

4.7.2. Извлечение корня из рационального числа

Рассмотрим равенство 24 16. Здесь 2 – это основание степени, 4 – показатель степени, 16 – степень. Основание степени 2 можно назвать как корень четвёртой степени из числа 16 . Это арифметический корень. Его

записывают так: 4 16 2.

4 16 2.

Определение.

Если

аn b ,

где

а 0,

b 0, n N (n 1),

то число а

−

это

арифметический корень энной степени из числа b. Его обозначают знаком

n b.

Тогда

n b a.

Число n

– это показатель

корня, число

b –

это

подкоренное число. Число a – это корень.

Читаем корни так:

а 2а

3а

4а

107

nа

квадратный корень из а кубический корень из а корень четвёртой степени из а корень пятой степени из двух корень шестой степени из трёх

корень десятой степени из семи корень энной степени из числа а

Извлечь корень – это значит найти корень, а операция извлечения корня –

это нахождение корня.

Извлечение корня – это операция, обратная возведению в степень:


					n b a an b			(a 0, b 0)			.
		Рассмотрим примеры извлечения корней:
					потому что 62 36;
1)	36 6,				потому что 62 36;
						5	2		25
2)	25		5	,		5	2		25
					потому что					;
					потому что					;
	49		7			7			49

		потому что 0,23 0,008;
3)	3 0,008 0, 2 ,
		потому что 34 81;
4)	4 81 3,
		потому что 0,25 0,00032;
5)	5 0,00032 0, 2,
		потому что 17 1;
6)	7 1 1,

7) 18 0 0,		потому что 018 0.

4.7.3. Порядок выполнения действий

Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня – это арифметические операции или арифметические действия.

Вычислим выражение

								2 2
								2 2
		( 4) 3 27	( 16) : ( 2)3		81				.						(1)
		( 4) 3 27	( 16) : ( 2)3		81				.						(1)
								3
Выражение		(1) содержит	различные	действия.				Вначале				выполняем
действия возведения в степень и извлечение корня:
		2) ( 2)3	8;										2	2	4
1) 3 27 3;				3)	81 9;						4)		2	2	4	.


													3		9
Получаем выражение:
		( 4) 3 ( 16) : ( 8) 9				4	.								(2)
		( 4) 3 ( 16) : ( 8) 9					.								(2)
					9
Потом действия умножения и деления:
	5) ( 4) 3 12;		6) ( 16) : ( 8) 2;					7) 9		4	4.
	5) ( 4) 3 12;		6) ( 16) : ( 8) 2;					7) 9		9	4.
										9

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.3 Mб8Методическое пособие 551.pdf
#
30.04.20222.31 Mб3Методическое пособие 552.pdf
#
30.04.20222.31 Mб1Методическое пособие 553.pdf
#
30.04.20222.32 Mб7Методическое пособие 554.pdf
#
30.04.20222.33 Mб4Методическое пособие 555.pdf
#
30.04.20222.33 Mб3Методическое пособие 556.pdf
#
30.04.20222.35 Mб12Методическое пособие 557.pdf
#
30.04.20222.35 Mб13Методическое пособие 558.pdf
#
30.04.20222.36 Mб3Методическое пособие 559.pdf
#
30.04.2022299.52 Кб5Методическое пособие 56.doc
#
30.04.2022325.2 Кб4Методическое пособие 56.pdf