Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 556

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

В результате получим выражение:

			12 2 4.				(3)
Выражение (3) – это алгебраическая сумма вычислим её:
	8) 12 2 4 14 4 10.
Следовательно,
				2	2	4
				2	2	4
( 4) 3 27 ( 16) : ( 2)3		81			( 4) 3 ( 16) : ( 8) 9
( 4) 3 27 ( 16) : ( 2)3		81			( 4) 3 ( 16) : ( 8) 9
				3		9

12 2 4 14 4 10.

Правило: Если выражение содержит различные действия (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня), то сначала делаем действия возведение в степень и извлечение корня, потом делаем действия умножение и деление, и, наконец, находим алгебраическую сумму.

Порядок выполнения действий в выражении показан на рис. 10.

аn ; na

Рис. 10. Порядок выполнения действий

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

47. Выполните действия сложение и вычитание:

1) ( 4) ( 7);					7)	( 12) ( 5);
2)	( 5) ( 3);				8)	( 3) ( 8);
3)	( 9) ( 4);				9)	( 8) ( 4) ( 5) ( 7) ( 3);
		3	7				2	4		5
4)				;	10)				0,3		0,7;
4)				;	10)				0,3		0,7;
		4	8				3	5		6
								61

		3		5	3
5) ( 3) ( 7);	11)		0,75			;

		4		12	8

6) ( 9) ( 4);													12) ( 0,38) 0,27 ( 0,41) ( 0,38) ( 0,54).
		48. Выполните действия умножение и деление:
1)	( 12) ( 2);													10)	( 5) : ( 20);
																								1
2)	( 4) ( 13);													11)	( 14) :												;
2)	( 4) ( 13);													11)	( 14) :												;
																									2
3)	( 7) ( 19);													12)	( 0,8) : ( 0,2);
4)	( 6) 0;													13)	( 4) ( 2) ( 3);
5)	0 ( 7);													14)	( 18) ( 4) : ( 6);
				3					5
6)										;				15)	( 36) : ( 9) ( 3);
6)										;				15)	( 36) : ( 9) ( 3);
				4					9
	3					7								16)	( 1) ( 3) ( 2) ( 5);
7)								;
7)								;
	8				15
8)	( 0,2) ( 0,4);													17)	( 15) ( 3) : ( 5) : ( 1);
																			7				3			5			4
9)	( 24) : ( 6);													18)							:						:			.
9)	( 24) : ( 6);													18)							:						:			.
																			20				4			7			5
49. Выполните действия возведение в степень и извлечение корня:
1) ( 2)3;											2) 152 ;			3) ( 3)4 ;														4) ( 4)2 ;
5) ( 3)						5	;					2		7)					2	4								12
											6) 12		;							;								8) 0			;
											6) 12		;							;								8) 0			;
																			3
9) ( 1)26 ;											10) ( 1)17 ;			11) (0,2)4 ;														12) ( 0,7)3;
13) ( 0,1)5;											14) ( 11)2 ;
13) ( 0,1)5;											14) ( 11)2 ;			15)			81;											16) 3 27;

17)			256;								18)	169;		19)		4 16;												20)			0,04;

																			81

21)			0.09;								22) 3 0,008;			23)				4				;						24) 5 1.
21)			0.09;								22) 3 0,008;			23)				4	625			;						24) 5 1.
																			625

50.Выполните действия:

1)( 3,2) ( 5,4) : ( 0,9);

;

3) 18 ( 32) : ( 16) : ( 8) ( 12) : ( 6);

4) ( 24) ( 3) 4 81 ( 12) : 3 8 ( 2) ( 3)2;

5) ( 13)

( 4) ( 2)

;

( 8)

( 3)

6) 0,17 0,3

0,04 ( 0,48) : ( 2)4.

51. Прочитайте тексты. Ответьте на вопросы.

ТЕКСТ 1

Суммы чисел 5 4

и 4 5

равны: 5 4 4 5 9. Если а и b – любые

числа, то a b b a. Это коммутативный закон сложения.

Сумму трёх чисел 2 3 4

можно найти так (2 3) 4 5 4 9 или так:

2 (3 4) 2 7 9. Поэтому (2 3) 4 2 (3 4) 9.

Если a, b и c

–

любые

числа,

то

(a b) c a (b c).

Это

ассоциативный закон сложения.

Произведение чисел 2 5 и

5 2 равны: 2 5 5 2 10.

Если

a и

любые числа, то a b b a.

Это коммутативный закон

умножения.

Произведение трёх чисел 2 3 4

можно найти так: (2 3) 4 6 4 24 или

так: 2 (3 4) 2 12 24. Поэтому (2 3) 4 2 (3 4) 24.

Если

a, b и c – любые числа, то (a b) c a (b c). Это ассоциативный

закон умножения.

Умножим

сумму

(3 4)

на

число

5 ,

получим (3 4) 5 7 5 35.

Умножим каждое слагаемое 3 и 4

на 5 и сложим произведения, получим

3 5 4 5 15 20 35. Поэтому (3 4) 5 3 5 4 5 35.

Если

–

любые

числа,

то

(a b) c a c b c.

Это

дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Вопросы к тексту 1

1) a b b a. Какой это закон?

2) (a b) c a (b c). Какой это закон?

3) a b b a. Какой это закон?

4) (a b) c a (b c). Какой это закон? 5) (a b) c a c b c. Какой это закон?

6) Какие здесь числа a, b,	c ?
	ТЕКСТ 2
Рассмотрим выражение	5 5 5 это произведение одинаковых

множителей. Умножение одинаковых множителей – это возведение в степень. Произведение 5 5 5 содержит три одинаковых множителя. Его можно записать как степень 53 (пять куб): 53 5 5 5 125.

Выражение 53 или число 125 – это степень; число 5 – это основание степени; число 3 – это показатель степени.

Пусть основание степени неизвестно, а показатель степени и степень известны, то есть x3 125.

Тогда число x можно найти с помощью действия извлечения корня: x 3125 5.

Выражение 3125 или число 5 – это кубический корень из числа 125 ; число 3 – это показатель корня. Число 125 – это подкоренное число.

Вопросы к тексту 2

1)Сколько множителей содержит произведение 5 5 5?

2)Какие это множители?

3)Как называется действие умножения одинаковых множителей?

4)Как можно записать произведение 5 5 5?

5)Как называется выражение 53 ?

6)Как называется число 5 в выражении 53 ?

7)Как называется число 3 в выражении 53 ?

8)Как можно найти неизвестное основание x , если показатель степени и степень известны?

9)Как называется выражение 3125 ?

10)Как называется число 125 в выражении 3125 ?

11)Как называется число 3 в выражении 3125 ?

12)Как вы прочитаете равенство 3125 5?

	Слова для запоминания
Дробь	Правильная дробь
Рациональное число	Неправильная дробь
Числитель дроби	Смешанное число
Знаменатель дроби	Модуль
Сократить дробь	Числовая ось
Общий знаменатель	Координата

Приведение к общему знаменателю	Начало отсчёта
Десятичная дробь	Направление
Тема 5. Иррациональные числа
В связи с понятием степени	числа возникает задача: для k N и

положительного числа a1 найти другое положительное число a2 Q такое, что a2k a1 . Эта задача не всегда имеет решение.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.

То есть возникает необходимость ввести новые числа, отличные от рациональных.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической дроби. Иррациональным числом называют число, которое может быть записано в виде непериодической десятичной дроби.

Множество рациональных и иррациональных чисел называют множеством действительных чисел и обозначают R.

N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ..} – множество натуральных чисел;

Z = {…; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} – множество целых чисел;

Q = {… 5 12 ; -5; -2; 2; - 12 ; 0; 0,5; 4; 5 34 … } – множество рациональных

чисел; {…; 15 ; -3,14…; 2 ; 3 , 2; 1828…} – множество иррациональных

чисел;

R = {-5; 15 ; -4.01; -4; -3; 2 ; -1; 0; 1 23 ; 2; 3,14… } – множество действительных чисел.

На рис. 11 изображено множество действительных чисел, которое включает в себя множество натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел.

N Z Q R

Множество

иррациональных

чисел

Рис. 11. Схематическое изображение множества рациональных чисел

	Слова для запоминания
Иррациональное число	Показатель, основание
Показатель степени	Квадрат (в квадрате)
Степень	Куб (в кубе)
Возведение в степень	Корень (знак корня)

Раздел II. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ

Тема 1. Действия над многочленами

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое содержит два действия: умножение и возведение в степень с натуральным показателем.

2a; b2 ;	3abc; 4a3 ; x2 y5 – это одночлены.
6a2b2c ‒	это одночлен, где a2b2c – буквенные выражения одночлена;

6 – числовой коэффициент.

Степень одночлена – эта сумма степеней букв:

2 – одночлен степени 0 (нуль);

3a – одночлен степени 1 (первой); 3а2 – одночлен степени 2 (второй);

4abc – одночлен степени 3 (третьей: 1+1+1=3); 5a2bc3 – одночлен степени 6 (шестой: 2+1+3=6).

Многочлен – это алгебраическая сумма одночленов.

Степень многочлена – это наибольшая степень одночлена:

5x3 y 3x2 y 2xy x – многочлен, содержит четыре одночлена.

Степень многочлена 5x3 y 3x2 y 2xy x равна 4 (четырем); степень

многочлена	14x3 2x2 7x 5 равна 3 (трем).
Действиями над многочленами называются следующие действия:
1.	Приведение	подобных	членов,	например,	многочлен
4x2 y 3xy2 x2 y 8xy2 5		имеет подобные одночлены: (4x2 y)			и ( x2 y) ;
( 3xy2 ) и ( 8xy2 ) . Можно привести подобные члены, тогда получим

4x2 y 3xy2 x2 y 8xy2 5 (4x2 y x2 y) (3x2 y 8xy2 ) 5=

=4 1 x2 y 3+8 xy2 5 3x2 y 11xy2 5.

2.Сложение и вычитание, например,

а) (8x2 yz 3mn) (4mn – x2 yz 1) 8x2 yz 3mn 4mn x2 yz 17x2 yz 7mn 1;

б) 4a2 3ab 4b2 4b2 b2 2ab 4a2 3ab 4b2 4b2 b2 2ab

4a2 5ab 9b2 .

3. Умножение, например,

5a b 3a2 2a 3b 5a·3a2 5a·2a 5a·3b b·3a2 b·2a b·3b

15a3 10a2 15ab 3a2b 2ab 3b2 15a3 10a2 17ab 3a2b 3b2 .

4. Деление (деление уголком):

а) деление без остатка

5a3 14a2 10a 4	a2	4a 2
a 2

_ 5a3 14a2 10a 4		a 2

5a2 4a 2

5a3 14a2

_ 4a2 10a

4a2 8a

_ 2a 4 2a 4

б) деление с остатком

	x3 2x2 3x 4				x2	5x 18	58
			x 3		x2	5x 18	x 3
			x 3				x 3
	_ x3 2x2 3x 4					x 3
	_ x3 2x2 3x 4					x 3
					x
					x	2 5x 18
	x3 2x2
		_	5x2	3x
		_
			5x2	15x
			_18x 4
				18x 54
				58
–58 – остаток; x2		5x 18 – целая часть или частное.

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

52. Привести подобные члены:

1) 3a2 4a2 5a2 3a2 3a2 ;

4) xy 4ab 3xy ab 2xy;

m2 n 4m2 3n 2m2 ;

abc 1 2b2

3abc a 4b2 .

3) p3q q3 p 4p3q q3 p 3p2q;

53. Выполнить умножение и деление многочленов:

1) (2a 3b)· a b ;

9) 2x 3b · 4x b ;

xy 1 ·

;

10)

b · 4a2

2a 1 ;

3) (a 1)·(a 1)·(a 1);

11)

a2 1 · a2 1 ;

2x2

2x 12 : x 3 ;

12) 32a2

16a 6 : 4a 3 ;

6a2

7a 5

3a 5

;

13)

2x2

2x 1 :

1 ;

2a2

3a 3ab 6b 2 : a 2 ;

14)

3x2

6x 6 : x 2 ;

6x2 +11x

6) :

;

15)

x2 y

1 · xy

2 2

8) x4 2x3 13x2 14x 24 : x 4 ;

1.1.Формулы сокращенного умножения

I.Квадрат суммы и квадрат разности двух чисел:

(a b)2 a2 + 2ab b2 и

(a b)2 a2 2ab b2 ,

т.е. квадрат суммы (разности) двух чисел равен квадрату первого числа (a2 ) плюс (минус) удвоенное произведение первого на второе 2ab , плюс квадрат второго числа b2 .

1.	Выполнить действия:
a) x 3y 2 x2 2 x·3y 3y 2 x2 6xy 9y2 ;
б) 2x 3y 2 2x 2 2 2x·3y 3y 2 4x2 12xy 9y2 ;
в)	3m5 4n2 2 3m5 2 2 3m5·4n2 4n2 2 9m10 24m5n2 16n4 .
2.	Представить в виде квадрата двучлена следующие трехчлены:
а) x2 2x 1 x 2 2 x·1 1 2 x 1 2 ;
б) m2 4mn 4n2 m 2 2 m·2n 2n 2 = m 2n 2 ;
в) 25x2 20xy 4y2 5x 2 2 5x·2y 2y 2 5x 2y 2 .
II. Куб суммы и куб разности двух чисел:
	(a b)3 a3 + 3a2b 3ab2 b3 и (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ,

т.е. куб суммы (разности) двух чисел равен кубу первого числа (a3 ) , плюс (минус) утроенное произведение квадрата первого числа на второе ( 3a2b) , плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго (3ab2 ) , плюс (минус) куб второго числа ( b3 ) .

Выполнить действия:

a 2b 3 a3 3a2·2b 3a· 2b 2 2b 3 a3 6a2b 12ab2 8b3 ;

5a b 3 5a 3 3 5a 2·b 3 5a· b 2 b3 125a3 75a2b 15ab2 b3 ;

2a 3b 3 2a 3 3 2a 2· 3b 3 2a· 3b 2 3b 3 8a3 36a2b 54ab2 27b3.

III. Разность квадратов двух членов:

a2 b2 (a b)(a b),

т.е. разность квадратов двух чисел равно произведению суммы чисел на их разность.

Выполнить действия:

2a 3 2a – 3 2a 2 – 32 4a2 – 9 ;

m3 – n5 m3 n5 m3 2 – n5 2 m6 n10 ;

3m2 – 5n2 3m2 5n5 3m2 2 – 5n2 2 9m4 – 25n4 .

IV. Сумма и разность кубов двух чисел:

a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) и a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ),

т.е. сумма (разность) кубов равна произведению суммы (разности) этих чисел, на неполный квадрат разности (суммы) этих чисел.

Выполнить действия:
x y x2 – xy y2	x3 y3 ;
x 3 x2 – 3x 9	x3 27 ;
(2x – 3)(4x2 6x 9) (2x)3	– 33 8x3 – 27 .

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

54. Используя формулы сокращенного умножения, вычислить:

1) 29·31;	2) 7,2·6,8;			3) 352 – 252 ;	4)19,9·20,1;		5) 642 – 362 ;
6) 372 – 232 ;	7) 4,02·3,98;			8) 33·27;	9)15,2·14,8		10) 862 142.
1.2. Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена
Многочлен ax2 bx c				называют квадратным трехчленом.
Если коэффициент		a 1,		квадратный	трехчлен	x2 bx c называют
приведенным;	если a 1,		то	ax2 bx c	– не приведенный квадратный
трехчлен.
Используя	формулу	сокращенного умножения				(a b)2	a2 + 2ab b2 ,

квадратный трехчлен представим в виде:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.3 Mб8Методическое пособие 551.pdf
#
30.04.20222.31 Mб3Методическое пособие 552.pdf
#
30.04.20222.31 Mб1Методическое пособие 553.pdf
#
30.04.20222.32 Mб7Методическое пособие 554.pdf
#
30.04.20222.33 Mб4Методическое пособие 555.pdf
#
30.04.20222.33 Mб3Методическое пособие 556.pdf
#
30.04.20222.35 Mб12Методическое пособие 557.pdf
#
30.04.20222.35 Mб13Методическое пособие 558.pdf
#
30.04.20222.36 Mб3Методическое пособие 559.pdf
#
30.04.2022299.52 Кб5Методическое пособие 56.doc
#
30.04.2022325.2 Кб4Методическое пособие 56.pdf