Методическое пособие 551
.pdf
входящие явно в функцию Лагранжа, не будут входить явно и в функцию Гамильтона.
Функции |
и |
содержат, помимо динамических пере- |
менных ( , и |
, |
соответственно) различные параметры, ха- |
рактеризующие свойства механической системы или внешнего поля. Рассматривая такой параметр как переменную, вместо (9.4) получим
а вместо (9.9) –
Отсюда находим соотношение
где индексы указывают величины, которые считаются постоянными при вычислении данных частных производных.
Полученные нами уравнения Гамильтона, как правило, не дают преимуществ по сравнению с уравнениями Лагранжа при решении конкретных задач механики. Однако, как мы покажем далее, уравнения Гамильтона допускают более широкий класс преобразований независимых переменных (т.н. канонические преобразования), по отношению к которым эти уравнения инварианты. Инвариантность уравнений Гамильтона относительно канонических преобразований дает возможность для различных обобщений, играющих важную роль в электродинамике, квантовой механике и статистической физике.
121
9.2. Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа
Как и уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона. Напомним, что согласно этому принципу истинное движение системы в промежутке времени от t1 до t2 происходит так, что действие S имеет экстремальное значение. Это соответствует условию
или, с учетом (9.7),
Напомним, что в принципе Гамильтона, выражаемом условием (9.18), рассматриваются варьированные траектории в s- мерном конфигурационном пространстве. Поскольку в га-
мильтоновом методе обобщенные импульсы и обобщенные координаты рассматриваются как равноправные независи-
мые переменные, то в вариационном принципе мы должны рассматривать варьирование траектории в -мерном фазовом пространстве, координатными осями которого являются s обобщенных координат и столько же обобщенных импульсов. Как и в обычном принципе Гамильтона, концы траекторий в фазовом пространстве при варьировании остаются неизменными, т.е. вариации координат фазового пространства на пре-
122
делах интегрирования равны нулю. Соотношение (9.19), ино-
гда называемое модифицированным принципом Гамильтона,
представляет собой условие экстремальности функционала
.
Первое слагаемое в (9.19) проинтегрируем по частям:
Здесь первое слагаемое обращаются в нуль, поскольку вариации координат на пределах интегрирования равны нулю. Таким образом, (9.19) можно переписать в виде
Поскольку вариации и произвольны, это равенство возможно только тогда, когда выражения в круглых скобках равны нулю. Таким образом, мы приходим к уравнениям Гамильтона (9.10).
9.3. Скобки Пуассона
Выясним, при каких условиях некоторая функция канонических переменных и времени будет интегралом движения. Запишем полную производную по време-
ни от этой функции c учетом уравнений Гамильтона (9.10):
123
Выражение
называют скобками Пуассона для функций и
. При необходимости, у скобок Пуассона указывают индексы, указывающие на переменные, по которым осуществляется дифференцирование, например . Очевидно, что
.
Используя скобки Пуассона, перепишем (9.22) в виде
Следовательно, функция |
будет интегралом |
движения, если выполняется условие |
|
Если интеграл движения f не зависит от времени явно, то, как видно из (9.25), его скобки Пуассона с функцией равны нулю.
Очевидны следующие свойства скобок Пуассона:
124
и, в частности,
Как следует из соотношений (9.33) и (9.34), канонические уравнения (9.10) с помощью скобок Пуассона можно представить в виде
Для сложных скобок Пуассона, составленных из трех функций , и , справедливо тождество Якоби:
Докажем это тождество непосредственным вычислением для случая одной степени свободы. Раскроем первое слагаемое в
(9.39):
125
Отсюда путем циклической перестановки функций f, g и h получим две другие сложные скобки Пуассона в (9.39):
Сумма выражений (9.40) – (9.42), как легко убедиться, равна нулю.
Теперь, чтобы доказать тождество Якоби для любого числа степеней свободы, воспользуемся методом математической индукции. Будем рассуждать следующим образом. Очевидно, что в сложных скобках Пуассона каждый член будет содержать частную производную второго порядка от одной из трех функций f, g или h. Но в тех двух сложных скобках, которые содержат вторые производные от одной и той же функции, например g, такие члены будут входить с противоположными знаками. Так, сложные скобки будут содержать член
, а скобки {h,{f,g}} – точно такой же член, но со знаком минус. Таким образом, при сложении трех сложных
126
скобок с циклически переставленными функциями соответствующие члены взаимно уничтожаются, т.е. мы приходим к тождеству (9.39).
Согласно теореме Пуассона, если функции и |
являют- |
ся интегралами движения, то их скобки Пуассона |
так |
же будут интегралом движения. |
|
Докажем эту теорему. Согласно (9.24), мы можем запи-
сать
Используя свойство (9.31) и заменив скобки суммой двух других скобок согласно тождеству Якоби, получим
Если |
и |
– интегралы движения, то |
|
|
|
и |
|
|
что и требовалось доказать.
Далее мы покажем еще одно важное свойство скобок Пуассона – их инвариантность по отношению к каноническим преобразованиям.
Отметим в заключение, что квантовый аналог скобок Пуассона (коммутатор квантово-механических операторов) широко используется в квантовой механике. Выражения (9.35)– (9.37) представляют собой классический аналог перестановочных соотношений Гейзенберга для операторов координаты и импульса.
127
9.4. Канонические преобразования
Уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к пре-
образованию обобщенных координат |
к новым |
обобщенным координатам |
, в качестве которых |
могут быть выбраны любые независимые величины, однозначно определяющие пространственное положение системы. Уравнения преобразования от переменных к переменным имеют вид
Такие преобразования называют точечными.
В формализме Гамильтона обобщенные импульсы играют роль таких же независимых переменных, как и координаты,
поэтому к преобразованиям (9.45) |
должны быть добавлены |
преобразования к новым импульсам |
: |
Однако, не при любых таких преобразованиях уравнения Гамильтона сохранят свой вид. Найдем условия, которым должны удовлетворять преобразования (9.46), чтобы уравнения движения при переходе к новым переменным сохранили свою структуру, т.е. могли бы быть записаны так:
где – некоторая новая функция Гамильтона. Как было показано в п. 9.2, уравнения Гамильтона можно
получить из вариационного принципа, записанного в виде
128
Чтобы новые переменные и удовлетворяли уравнениям Гамильтона, для них должно выполняться аналогичное условие:
Два вариационных принципа (9.48 и (9.49) эквивалентны друг только в том случае, когда их подынтегральные выражения отличаются только на полную производную по времени от некоторой произвольной функции F координат фазового пространства. Действительно, учитывая, что вариации координат и импульсов на пределах интегрирования равны нулю,
Итак, уравнения Гамильтона будут инвариантны относительно таких преобразований переменных, которые удовлетворяют условию
Такие преобразования называют каноническими.
Функция называется производящей функцией преобразования. Она может быть функцией 4s переменных , однако, в силу соотношений (9.46), из них только 2s переменных будут независимы. Функция F будет точно определять форму канонических преобразований, если половина (не считая времени) ее переменных будет старыми координатами или импульсами, а другая половина – новыми. Таким образом, возможны четыре варианта: , , ,
, выбор из которых зависит от условий конкретной
задачи.
129
Пусть |
. Перепишем (9.51), раскрыв пол- |
ную производную |
: |
Так как переменные и независимые, то это равенство возможно только при равенстве нулю коэффициентов при
и. Отсюда мы получаем соотношения, устанавливающие
связь между старыми |
и новыми |
переменными, а |
также между гамильтонианами и : |
|
|
Получим теперь формулы канонических преобразований,
если производящая функция задана как |
. Заметим, |
|||
что, согласно (9.53), |
|
|
, поэтому функцию |
|
|
|
|||
можно получить из функции |
в результате преобра- |
|||
зования Лежандра (см. п. 9.1), т.е.
Выражая отсюда функцию и подставляя в (9.52), полу-
чим
130