Методическое пособие 551
.pdf
Соответствующее уравнение движения запишется в виде
Найдем частные производные, входящие в (13.7):
Подставляя (13.8) и (13.9) в (13.7), получим уравнение движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета K':
Данное уравнение отличается от второго закона Ньютона наличием силы инерции, складывающейся из следующих частей:
- поступательной силы инерции – |
, связанной с ус- |
|
коренным поступательным движением системы отсчета; |
||
- силы инерции |
, связанной с неравномерностью |
|
вращения системы отсчета; |
|
|
- силы Кориолиса |
, связанной с вращением |
|
системы отсчета и зависящей от скорости движения частицы;
- центробежной силы инерции |
, по мо- |
181 |
|
дулю равной (где – расстояние от частицы до оси вращения системы отсчета), ее направление перпендикулярно
и лежит в плоскости векторов и .
Задачи
13.1 Показать, что вращение системы отсчета приводит появ-
лению в энергии материальной точки члена – |
, назы- |
ваемого центробежной энергией. |
|
13.2Тело свободно падает на поверхность Земли. Найти его отклонение от вертикали, обусловленное вращением Земли.
13.3Определить, какое влияние оказывает вращение Земли на колебания маятника (маятник Фуко, см. [2], §39, задача 3).
182
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В образовательную программу направления подготовки «Материаловедение и технологии материалов» (профиль «Физическое материаловедение») входит курс «теоретической физики», целью которого является подготовить студентов к дальнейшему изучению таких базовых дисциплин, как «Физика конденсированных сред», «Физические свойства твердых тел» и др. Начальной частью курса «теоретической физики», как правило, является изучение основных методов аналитической механики, которым и посвящено настоящее учебное пособие.
Для более глубокого изучения механики рекомендуется самостоятельно (воспользовавшись учебниками, указанными в библиографическом списке) рассмотреть некоторые вопросы, не вошедшие в настоящее пособие (применение метода Лагранжа для электромеханических систем, теорема Нётер, ангармонические колебания, теорема Лиувилля и др.), а также дополнительно решать задачи из сборников [12-14].
183
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Голдстейн, Г. Классическая механика / Г. Голдстейн, Ч. Пул, Дж. Сафко. – М.–Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ижевский институт компьютерных иссле-
дований, 2012. – 828 с.
2.Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. I. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. –
224 с.
3.Иос, Г. Курс теоретической физики. Ч. 1. Механика и электродинамика / Г. Иос. – М. : Государственное учебнопедагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1963. – 780 с.
4.Коткин, Г. Л. Лекции по аналитической механике / Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, А. И. Черных – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2017. – 236 с.
5.Лич, Дж. У. Классическая механика / Дж. У. Лич. – М. : Издательство иностранной литературы, 1961. – 172 с.
6. Медведев, Б. В. Начала теоретической физики / Б. В. Медведев. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. –
496с.
7.Компанеец, А. С. Курс теоретической физики. T. I. Элементарные законы / А. С. Компанеец. – М. : Просвещение,
1972. – 512 с.
8.Савельев, И. В. Основы теоретической физики. Т. 1. Механика и электродинамика / И. В. Савельев. – М. : Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 496 с.
9.Добронравов, В. В. Основы аналитической механики / В. В. Добронравов. – М. : Высшая школа, 1976. – 264 с.
10.Ольховский, И. И. Курс теоретической механики для физиков / И. И. Ольховский. – М. : Издательство московского университета, 1978. – 575 с.
11.Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики / C. М. Тарг. – М. : Высшая школа, 1986. – 416 с.
12.Коткин, Г. Л. Сборник задач по классической механи-
184
ке / Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо. – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2017. – 360 с.
13.Сборник задач по теоретической физике / Гречко Л. Г. [и др.]. – М. : Высшая школа, 1984. – 319 с.
14.Ольховский, И. И. Задачи по теоретической механике для физиков / И. И. Ольховский, Ю. Г. Павленко, Л. С. Кузьменков. – М. : Издательство московского университета, 1977. – 392 с.
185
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение ......................................................................................... |
3 |
Часть I. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА............................................ |
4 |
§ 1. Основные понятия и законы механики Ньютона............ |
4 |
1.1. Основная задача механики. Кинематика |
|
материальной точки......................................................... |
4 |
1.2. Законы Ньютона .............................................................. |
9 |
1.3. Принцип относительности............................................ |
11 |
1.4. Закон сохранения импульса. Центр инерции.............. |
13 |
1.5. Момент импульса .......................................................... |
16 |
1.6. Работа. Консервативные силы...................................... |
19 |
1.7. Энергия системы материальных точек........................ |
24 |
§ 2. Обобщенные координаты. Принцип |
|
Даламбера-Лагранжа......................................................... |
31 |
2.1. Связи ............................................................................... |
31 |
2.2. Обобщенные координаты ............................................. |
35 |
2.3. Принцип Даламбера-Лагранжа .................................... |
38 |
§ 3. Уравнения Лагранжа......................................................... |
41 |
3.1. Вывод уравнений Лагранжа ......................................... |
41 |
3.2. Уравнения Лагранжа для |
|
консервативной системы ............................................. |
44 |
3.3. Функция Лагранжа. Порядок составления |
|
уравнений Лагранжа...................................................... |
45 |
3.4. Функция Лагранжа в криволинейных |
|
координатах................................................................... |
48 |
3.5. Обобщенно-потенциальные силы ................................ |
51 |
§ 4. Уравнения Лагранжа и вариационные принципы.......... |
54 |
4.1. Принцип Гамильтона .................................................... |
54 |
4.2. Решение основной задачи вариационного |
|
исчисления...................................................................... |
56 |
4.3. Вывод уравнений Лагранжа из |
|
принципа Гамильтона ................................................... |
59 |
186
4.4. Определение вида функции Лагранжа ........................ |
60 |
§ 5. Законы сохранения и свойства симметрии ..................... |
64 |
5.1. Интегралы движения ..................................................... |
64 |
5.2. Обобщенный импульс. Циклические |
|
координаты..................................................................... |
65 |
5.3. Закон сохранения импульса и однородность |
|
пространства................................................................... |
66 |
5.4. Закон сохранения момента импульса и |
|
изотропность пространства .......................................... |
68 |
5.5. Закон сохранения энергии и однородность |
|
времени ........................................................................... |
71 |
Часть II. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ |
|
ЛАГРАНЖА ................................................................................. |
74 |
§ 6. Одномерное движение. Задача двух тел ......................... |
74 |
6.1. Движение с одной степенью свободы ......................... |
74 |
6.2. Задача двух тел .............................................................. |
77 |
§ 7. Движение в центральном поле......................................... |
79 |
7.1. Движение частицы в центральном поле...................... |
79 |
7.2. Задача Кеплера............................................................... |
84 |
7.3. Рассеяние частиц в поле центральной силы. |
|
Сечение рассеяния ......................................................... |
91 |
7.4. Формула Резерфорда ..................................................... |
95 |
§ 8. Малые колебания............................................................... |
97 |
8.1. Свободные колебания системы с одной |
|
степенью свободы.......................................................... |
97 |
8.2. Вынужденные колебания............................................ |
100 |
8.3. Затухающие колебания ............................................... |
104 |
8.4. Вынужденные колебания при наличии трения......... |
107 |
8.5. Малые колебания системы с многими |
|
степенями свободы ...................................................... |
110 |
Часть III. ФОРМАЛИЗМ ГАМИЛЬТОНА .............................. |
118 |
§ 9. Канонические уравнения Гамильтона........................... |
118 |
187
9.1. Уравнения Гамильтона ............................................... |
118 |
9.2. Вывод уравнений Гамильтона из |
|
вариационного принципа............................................ |
122 |
9.3. Скобки Пуассона ......................................................... |
123 |
9.4. Канонические преобразования ................................... |
128 |
9.5. Скобки Пуассона и канонические |
|
преобразования ............................................................ |
131 |
§ 10. Уравнение Гамильтона-Якоби ..................................... |
133 |
Часть IV. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ............................. |
138 |
§ 11. Кинематика твердого тела ............................................ |
138 |
11.1. Ортогональные преобразования............................... |
138 |
11.2. Углы Эйлера............................................................... |
144 |
11.3. Бесконечно малый поворот. Теорема Эйлера ......... |
147 |
11.4. Угловая скорость ....................................................... |
150 |
11.5. Полярные и аксиальные векторы ............................. |
154 |
§ 12. Динамика твердого тела ............................................... |
157 |
12.1. Кинетическая энергия и момент импульса твердого |
|
тела . 157 |
|
12.2. Тензоры второго ранга. Главные оси тензора......... |
162 |
12.3. Тензор инерции.......................................................... |
166 |
12.4. Свободное вращение симметричного волчка ......... |
170 |
12.5. Уравнения движения твердого тела......................... |
172 |
12.6. Уравнения Эйлера ..................................................... |
175 |
§ 13. Неинерциальные системы отсчета .............................. |
179 |
Заключение ................................................................................. |
183 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................... |
184 |
188
Учебное издание
Ожерельев Виктор Вадимович Юрьев Владимир Александрович
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Учебное пособие
Компьютерная верстка В. В. Ожерельева
Редактор Н. В. Кулакова
Подписано к изданию 15.05.2019. Объем данных 2,3 Мб.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14