Методическое пособие 551
.pdf
го волчка. Пусть координатная ось |
совпадает с осью сим- |
метрии волчка. Тогда = ≠ и |
|
или, в векторной форме, |
|
Из последнего выражения следует, что векторы , и ось волчка (ось ) всегда лежат в одной плоскости (см. рис. 12.4). Линейная скорость конца единичного вектора будет равна
Отсюда видно, что ось симметрии
волчка равномерно ( |
|
) враща- |
|
ется вокруг вектора , описывая при этом конус. Данное движение называ-
ют регулярной прецессией волчка. Уг-
ловая скорость прецессии равна
Рис. 12.4
Как видно из (12.44), одновременно с прецессией симметричный волчок равномерно враща-
ется вокруг собственной оси. Это движение называют собст-
венным (чистым) вращением, его угловая скорость
Результирующая угловая скорость твердого тела равна
сумме векторов |
и |
|
171 |
Выразим движение свободного симметричного волчка через углы Эйлера . Пусть ось неподвижной системы координат совпадает с направлением постоянного вектора момента импульса . Ось подвижной системы координат, как и прежде, направим вдоль оси симметрии волчка.
При указанном выборе осей координат угол Эйлера есть угол между осью волчка и вектором . Движение симметричного волчка, соответствующее изменению этого угла, называют нутацией, а сам угол углом нутации. Как показано выше, для свободного симметричного волчка
Угол , очевидно, будет характеризовать поворот волчка вокруг вектора , т.е. прецессию, его называют углом прецессии. Угол будет описывать поворот волчка вокруг его оси симметрии, его называют углом собственного (или чистого)
вращения. Легко показать, что
12.5. Уравнения движения твердого тела
Поскольку твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, скрепленных жесткими связями, для него должны выполняться полученные нами ранее законы для изменения во времени суммарного импульса и момента импульса (см. уравнения (1.27) и (1.37)):
и |
|
|
где |
– сумма внешних сил , приложенных к каж- |
|
дой точке тела, а |
– суммарный момент внеш- |
|
172
них сил.
Уравнения (12.50) и (12.51) дают шесть независимых уравнений движения твердого тела. Чтобы убедиться в этом, покажем, что их можно получить как уравнения Лагранжа для соответствующих обобщенных координат.
Пусть оси подвижной системы координат совпадают с главными осями инерции. Тогда функция Лагранжа (12.12) твердого тела запишется в виде
Выберем в качестве обобщенных координат три внешние
координаты центра инерции |
и три угла Эйлера |
|||||
. Подставляя в функцию Лагранжа (12.52) проекции уг- |
||||||
ловой скорости |
, |
, |
, выраженные согласно форму- |
|||
лам (11.55) через углы |
|
и их производные по времени, |
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Лагранжа, соответствующие координатам имеют вид
Эти три уравнения, очевидно, соответствуют векторному уравнению (12.50).
Проекции угловой скорости можно представить в виде
, где |
– угол поворота вокруг главной оси инерции |
|
. Рассматривая |
как обобщенные координаты, запишем |
|
173
соответствующие им уравнения Лагранжа:
Как было показано в п. 5.4, соответствующий «вращательной координате» обобщенный импульс
будет представлять собой проекцию момента импульса на ось поворота, а обобщенная сила
будет проекцией суммарного момента сил |
на ту же ось. |
||||||||
Для твердого тела к таким же выводам мы можем прийти |
|||||||||
непосредственным дифференцированием |
функции Лагранжа |
||||||||
(12.52)1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
– бесконечно малый угол поворота тела вокруг глав- |
|
ной оси |
, |
– изменение потенциальной энергии при таком |
повороте. Последнее будет равно взятой с обратным знаком работе приложенных к телу сил:
1 В уравнениях (12.58) и (12.60) суммирование по индексу не производится.
174
где суммирование ведется по всем к приложенным к телу силам, – перемещение точек приложения этих сил. Таким образом,
Подставляя (12.61) и (12.58) в уравнения Лагранжа (12.55), получим
Таким образом, векторное уравнение (12.51), спроециро-
ванное на оси подвижной системы координат |
, совпадает с |
|
уравнениями Лагранжа для угловых координат . |
|
|
Напомним, что из эйлеровых углов |
только угол |
|
соответствует повороту вокруг одной из подвижных осей ( |
), |
|
угол соответствует повороту вокруг неподвижной оси |
, а |
|
угол – вокруг линии узлов.
Как следует из вида функции Лагранжа (12.53), уравнения Лагранжа, соответствующие углам Эйлера, оказываются достаточно сложными. В некоторых случаях вместо этих уравнений удобнее использовать уравнения Эйлера, рассматриваемые далее.
12.6.Уравнения Эйлера
Вуравнения движения твердого тела (12.50) и (12.51)
входят производные и характеризующие изменение векторов и относительно неподвижной системы координат . Получим вместо них уравнения, справедливые в движущейся вместе с телом системе отсчета .
В уравнении
175
величина представляет собой наблюдаемое в системе приращение вектора за промежуток времени . Согласно формуле (11.44),
где и – скорости изменения вектора , наблюдаемые в
системах K и K' соответственно, – угловая скорость вращения тела. Запишем аналогичное соотношение для вектора :
т.е. скорости изменения вектора , наблюдаемые в системах K и K', одинаковы.
Подставив (12.64) в (12.63), получим
или, в проекциях на оси подвижной системы координат |
(с |
учетом (12.39)), |
|
Учитывая (12.65), последнее равенство можно переписать в виде
176
Проекции |
равны |
Пусть оси системы координат направлены по главным осям инерции. Тогда, с учетом (12.69) и (12.39), уравнения (12.68) примут вид
Уравнения (12.70) называют уравнениями Эйлера. Применим уравнения Эйлера к вращению свободного
симметричного волчка. |
Пусть |
(т.е. ось |
совпада- |
|
ет с осью |
симметрии |
волчка). |
Для свободного движения |
|
|
. Из |
третьего |
уравнения (12.71) |
следует |
и |
. Из двух первых уравнений получим |
|||
где введено обозначение
Продифференцировав первое уравнение (12.72) по , получим
177
Подставляя во второе уравнение, для получаем уравнение гармонических колебаний
общее решение которого имеет вид
Подставляя это решение в первое уравнение (12.72), находим
Величина |
представляет собой проекцию уг- |
|
ловой скорости на плоскость |
, перпендикулярную к оси |
|
волчка. Как следует из (12.75) и (12.76), эта проекция вращает-
ся в плоскости |
с постоянной угловой скоростью |
. Так |
|
как проекция |
на ось волчка также постоянна, мы можем |
||
сделать вывод, |
что вектор |
вращается вокруг оси волчка с |
|
постоянной скоростью . Поскольку проекции векторов |
L |
||
связаны соотношениями (12.39), такое же вращательное движение совершает и вектор L. Разумеется, указанные особенности движения согласуются с результатами анализа движения свободного симметричного волчка относительно неподвижной системы координат, проведенного в п. 12.4.
Задачи
12.1 Определить главные моменты инерции сплошных одно-
родных тел: |
|
|
|
а) тонкий стержень длиной l; |
H |
|
H |
б) цилиндр радиуса R и высотой h; |
|
|
|
в) конус с высотой h и радиусом |
|
|
|
основания R. |
|
2α |
a |
12.2 Вычислить тензор момента |
|
|
|
инерции молекулы Н2O, структура ко- |
|
O |
|
торой показана на рис. 12.5. ([13], за- |
|
|
|
дача 90). |
|
Рис. 12.5 |
|
178 |
|
|
|
12.3Привести к квадратурам задачу о движении симметричного волчка c неподвижной нижней точкой в поле тяжести ([2], §35, задача 1).
12.4Определить движение «быстрого» тяжелого симметричного волчка, когда кинетическая энергия собственного вращения велика по сравнению с потенциальной энергией ([2], §35, задача 3).
§ 13. Неинерциальные системы отсчета
Рассмотренные выше системы отсчета, жестко связанные с вращающимися телами (например, вращающейся Землей), являются неинерциальными. Использование неинерциальных систем приводит к усложнению уравнений движения из-за появления дополнительных сил инерции, характеризующих не взаимодействие тел, а свойства самой неинерциальной системы отсчета. Тем не менее, во многих случаях требуется получить решение именно в неинерциальной системе отсчета (например, движение тела в атмосфере Земли, колебания маятника в вагоне движущегося с ускорением поезда, движение спутника относительно земной поверхности и т.д.).
Найдем выражение для функции Лагранжа и вид уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета.
Пусть неинерциальная система отсчета K' совершает движение (с ускорением) относительно инерциальной системы K. Это движение в данный момент времени t можно разложить на две составляющие: поступательное движение со скоростью
и вращательное с угловой скоростью .
Функцию Лагранжа материальной точки в системе K' проще получить в два приема. Для этого введем третью систему (неинерциальную) K'', которая движется относительно системы K поступательно со скоростью . При этом система K'' вращается относительно системы K' с угловой скоростью (начала координат систем K' и K'' совпадают).
179
Скорости материальной точки в системах K и K'' связаны соотношением
Получим функцию Лагранжа в системе K'':
Член , очевидно, может быть представлен в виде полной
производной от некоторой функции времени t, поэтому он может быть исключен из функции Лагранжа. Учитывая, что
, мы можем также записать
Подставив (13.3) в (13.2), отбрасывая полную производную и введя обозначение для ускорения системы K', получим
Таким образом, поступательное ускоренное движение системы отсчета приводит к появлению дополнительного «силового поля» .
Применяя соотношение (11.44) к радиус-вектору , получим соотношение между скоростями материальной точки относительно систем K' и K'':
Подставляя (13.5) в (13.4), получим окончательное выражение для функции Лагранжа материальной точки в произвольной неинерциальной системе отсчета K':
180