fd02aed

Таблица 2.8

Определение функции распределения F(ti)

Решение.

1. Для этого случая эмпирическую функцию распределения можно вычислить по формуле

F(ti )= 1 ∑i n(ti ).

N r =1

2.Вероятность безотказной работы определится как Q = 1 – P(t).

Например, для t0 = 4 ч P(4) = 1– F(4) = 1– 0,314 = 0,686.

3.Вероятность отказа за время t0 = 4 ч Q(4) = F(4) = 0,314.

4. Вероятность безотказной работы в интервале времени отt = 2 чдоt = 6 чприусловии, чтоэлементпроработалбезотказно2 ч:

5. Вероятность отказа в интервале времени от t = 2 ч до t = 6 ч при условии, что элемент проработал безотказно 2 ч,

Q(2; 6) = 1 – P(2; 6) = 1– 0,28 = 0,72.

6. Среднее время до отказа находим по формулам (2.71) и (2.72) соответственно:

10

T1 = ∑[ F(ti+1 )− F(ti ) ]ti+1 = 2 0,086 +3(0,172 − 0,086) +

i=0

+4(0,314 − 0,172) + 5(0,543 − 0,314) + 6(0,743 −0,543) + 7(0,914 − 0,743) +

+8(0,971− 0,914) +9(1− 0,971) ≈ 5,257 ч.

151

10

T1 = t∑P(ti ) =1+1+ 0,914 + 0,828 + 0,686 + 0,457 +

i=0

+0,257 + 0,086 + 0,029 = 5,257 ч.

7.Интенсивность отказов (как функцию времени) удобнее всего вычислять в этом случае из данных испытаний по формуле

2.7. Метод равномерного распределения

При использовании равномерного распределения для обеспечения требуемого уровня надежности системы задается одинаковая надежность всех подсистем. Предполагается, что система состоит из n последовательно соединенных подсистем элементов. Основным недостатком этого метода является то, что заданный уровень надежности подсистем устанавливается без учета степени трудности его достижения.

Пусть Ртр(t) − требуемая вероятность безотказной работы системы, а Рi – вероятность безотказной работы i-й подсистемы. Тогда

Пример 2.21. Рассмотрим систему связи, состоящую из трех подсистем (передатчик, приемник и кодирующее устройство). Чтобы система работала, должна работать каждая из этих подсистем. Какие требования к надежности каждой подсистемы должны быть заданы, чтобы получить вероятность безотказной работы, равную

0,8573?

152

Решение. С помощью уравнения (2.74) получаем

Рi(t) = (Ртр(t))1/3 = (0,8573)1/3= 0,95.

Таким образом, для каждой подсистемы этой системы связи должна быть задана вероятность безотказной работы, равная 0,95.

Пример 2.22. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Pтр(t) = 0,95. Система состоит из n = 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Вероятность безотказной работы элемента в этом случае определится, следуя формуле (2.74). Поскольку вероятность Pтр(t) близка к единице, удобнее вычислить вероятность отказа системы по формуле (2.8). Тогда вероятность отказа каждого элемента системы

Qтр = 1–Pтр(t) = 1 – 0,95 = 0,05.

Тогда

pi (t)=1− QтрN(t) =1− 0120,05 ≈ 0,9996 .

2.8.Расчет проектной надежности систем

сучетом восстановления резервных элементов

При выводе уравнения коэффициента готовности для восстанавливаемых систем с общим резервированием использовалось предположение о том, что все резервные элементы работают в начале выполнения задания, и если происходит отказ, то немедленно проводят обслуживание.

Приняв экспоненциальный закон восстановления отказов и предположение об установившемся процессе, коэффициент готовности определим по формуле

153

где n − число резервных элементов (включая основной); λ − интенсивность отказов элемента; Т − время, за которое определяется коэффициент готовности; μ − интенсивность восстановления элемента. Когда же допускается некоторое предельное время обслуживания, то коэффициент готовности

Из этого уравнения следует, что система работоспособна, если один из элементов может быть восстановлен до нормального режима работы в течение времени t.

Общее уравнение для определения коэффициента технического использования имеет вид

где t = Tрем + Tто + Tв; Т = Tр + Tрем + Tто +Tв; Tрем, Tто, Tв − соответст-

венно суммарное время, затраченное на ремонт, техническое обслуживание и восстановление за тот же период времени Т; Tр − суммарная наработка изделия в рассматриваемый промежуток времени Т.

Среднее время безотказной работы резервной группы из n элементов (включая основной) в стационарном режиме выражается уравнением

154

где Тв и Т1 − среднее время восстановления элемента и его жизни. Формула (2.77) справедлива для нагруженного резерва при условии, что законы распределения времени жизни и восстановления элементов произвольны.

Вероятность безотказной работы резервной группы в течение времени t определяют по формуле

Пример 2.23. Определить вероятность безотказной работы системы автоматики, состоящей из пяти параллельно соединенных подсистем, если известны вероятности безотказной работы этих подсистем: Р1= 0,99; Р2 = 0,995; Р3= 0,994; Р4= 0,996; Р5 = 0,997.

Система автоматики является дублированной, т. е. имеет общее резервирование, причем невосстанавливаемой.

Решение. Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой

P(t) =1− (1− P1 )(1− P2 )(1 − P3 )(1− P4 )(1− P5 ) =

=1− 0,01 0,005 0,006 0,004 0,003 ≈1.

Пример 2.24. Система энергоснабжения объекта имеет трехкратное резервирование (n = 3), включая основную систему. Известно, что среднее время восстановления одной системы составляет Тв = 5 ч, среднее время безотказной работы одной системы – Т1= 200 ч. Определить среднее время безотказной работы всей резервной группы Тn, коэффициент готовности Kг за время t = 1000 ч и вероятность безотказной работы за время t = 1000 ч.

Решение. По формуле (2.77) вычислим среднее время безотказной работы системы:

155

Коэффициент готовности определим по формуле (2.75):

Вероятность безотказной работы найдем по формуле (2.78):

2.9.Метод распределения требований по надежности

сучетом относительной уязвимости элементов

При использовании метода предполагается, что элементы системы соединены последовательно и имеют постоянную интенсивность отказов. В этом случае отказ любого элемента вызывает отказ всей системы, и заданная наработка элементов будет равна заданной наработке системы. При использовании этого метода необходимо выразить требуемую надежность через интенсивность отказов. Задача состоит в том, чтобы выбрать такие требуемые интенсивно-

сти отказов λтрi , что

i=1

где λтрi , λтр – требуемые интенсивности отказов соответственно i-го

элемента и системы.

Метод решения включает следующие этапы.

1. Определение интенсивности отказов элементов λi по результатам наблюдений или на основе оценок по данным за прошлое время.

156

2. Задание весового множителя ωi для каждого элемента в соответствии с интенсивностями отказов, определенными на первом этапе; ωi определяется по формуле

λтрi = ωiλтр , i = 1, 2, …, n,

когда формула (2.79) рассматривается как равенство.

Этот метод позволяет задать новые значения интенсивности отказов на основе весовых множителей, которые являются функциями интенсивностей отказов элементов за прошлое время.

Пример 2.25. Рассмотрим систему, состоящую из трех элементов, для которых получены следующие оценки интенсивности отказов: λ1 = 0,005, λ2 = 0,003 и λ3 = 0,001. Требуемая вероятность безотказной работы системы за 20 ч составляет 0,95. Определите требования к вероятности безотказной работы элементов.

Решение. С помощью формулы (2.80) вычисляем весовые множители:

157

Известно, чтоPтр(20)= exp[−λтр(20)]= 0,95 , отсюда получаем

λтр = 0,00256. Следовательно, интенсивности отказов для элементов имеют следующий вид:

λтр1 = ω1λтр = 0,555 0,00256 = 0,00142 ;

λтр2 = 0,333 0,00256 = 0,000852 ;

λтр3 = 0,111 0,00256 = 0,000284 .

Соответствующие заданные значения вероятностей безотказной работы элементов определяются следующим образом:

P1тр(20)= exp(−0,00142 20)= 0,97;

P2тр(20) = exp(−0,000852 20) = 0,98;

P3тр(20) = exp(−0,000284 20) = 0,99.

2.10. Определение вида и параметров закона распределения времени до отказа

Наиболее распространенными законами распределения отказов изделий являются:

•экспоненциальный;

•усеченный нормальный;

•логарифмически-нормальный;

•Вейбулла;

•гамма.

Поэтому при определении вида закона распределения рекомендуется аппроксимировать экспериментальные характеристики этими законами в той последовательности, которая указана выше.

При выявлении закона распределения целесообразно соблюдать следующий порядок:

• подготовка опытных данных;

158

•построение гистограмм (полигонов) какой-либо количественной характеристики надежности;

•проверка допустимости предполагаемого закона распределения отказов, при которой используются определенные критерии согласия (Пирсона, Колмогорова и др.).

Подготовка опытных данных включает выборку исходных результатов из отчетных документов, составление вариационного ряда и заполнение таблицы отказов.

При составлении вариационного ряда исследуемого времени безотказной работы или времени восстановления оно записывается

впорядке возрастания значений, причем одинаковые значения не исключаются, а повторяются друг за другом. По полученным данным заполняется табл. 2.10. В ней приняты следующие обозна-

чения: хi – значение члена вариационного ряда (наработка до отказа, наработка между соседними отказами и т.п.); ni – число наблю-

даемых однозначных отказов i-го интервала времени; Σni – общее

i

число отказов; Hi – накопленное число отказов, являющееся суммой ni отказов второго столбца, начиная с первого числа ni и кончая i-м

числом ni; Нi / Σni – частость отказов.

i

Таблица 2.10

Форма таблицы для определения закона распределения графическим способом

Приведенная таблица предназначена для определения закона распределения графическим способом при помощи координатной сетки. При таком способе вид закона распределения оценивается, как это следует из табл. 2.10, по виду кривой вероятности безотказ-

ной работы 1– Нi / Σni . Координатные сетки для различных законов

i

распределения приведены в прил. 2.

159

Если вид закона распределения оценивается не графическим способом, то удобно применять табл. 2.11, в которой используются обозначения: ti – длина i-го интервала времени; n( ti) – число отказов на участке ti; N0 – число образцов, первоначально установленных на испытание; Nр – среднее число исправно работающих элементов в промежутке ti.

По данным табл. 2.11 строятся гистограммы для количественных характеристик надежности (либо P (t), либо а (t), либо λ (t)) и аппроксимируются кривой, по виду которой можно установить

Проверка допустимости принятого закона распределения отказов осуществляется по критериям согласия. Наиболее употребительными критериями являются критерии χ2 (Пирсона) и Колмогорова. После установления вида распределения приступают к определению его параметров.

Пример 2.26. В результате опыта получен следующий вариационный ряд времен исправной работы изделия в часах:

2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119.

Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.

Решение.

1. Используя исходные данные и вычислив Σni = 28, заполняем

i

табл. 2.12 по форме табл. 2.10.

160