Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

або для iмпульсiв

k

→

2π

Z ∞ dk

X

L

−∞

Вiдповiдно до цього приp

→ 2π~

Z ∞ dp.

X

L

−∞

L → ∞

C(p)

îòæå,

|C(p)|2 →

∞ dp

,

p

Z−∞

r

2

X

L

L/2

C(p) → C(p)r

L

= r

L

1

Z−L/2 e−ipx/~ψ(x)dx

√

2π~

2π~

L

вигляд:¹мiщо мипросторуймали=. Âiïðè√2π~

Z−∞ e−

ψ(x)dx,

1

∞

~

äïîâi

ipx/

розглядiзамiниднi рухув частиноктривимiрномунеобмеженомувипадкумаютьоб'-

V

∞

V

∞

àчення:кавершення.

парагра а наведемо довiдку

про дельтаунк-

цiюОзнаНаДiр k →

(2π)3

Z

dk,

p

→

(2π~)3

Z

dp.

X

−∞

X

−∞

82

Za

−

0,

a > x0

àáî x0 > b.

b f (x)δ(x

x0) dx =

f (x0), a < x0

< b,

∞

∞

1◦.

1

Z

1

Z

δ(x)

=

eikxdk =

cos kx dk .

2π

π

−∞

0

cos 2πn x

2◦.

δ(x)

=

1

∞

ei 2πnL x =

1

∞

X

X

L

n=−∞

L

n=−∞

L

1 sin

π (2N + 1)x

=

lim

L

.

sin Lπ x

N →∞ L

3◦.

δ(x)

=

lim

sin xL

.

L→∞

πx

4◦.

δ(x)

=

lim

1

γ

=

1

lim Im

1

.

π x2 + γ2

π

γ→0

γ→0

x − iγ

5◦.

δ(x)

=

lim

1

e−x2/α.

α→0

√πα

Властивостi:

sin2 xτ

6◦.

δ(x)

=

lim

.

πτ x2

τ →∞

1◦.

ðîçìiðíiñòü

δ(x) = розмiрностi

1/x .

2◦.

δ(x) = δ( x).

−

3◦.

xδ(x) = 0.

4◦.

Z

f (x)δ′(x)dx = − Z

δ(x)f ′(x)dx.

5◦.

X

δ(x − xj )/|f ′(xj )|,

δ[f (x)] =

j≥1

xj

коренi рiвняння f (xj ) = 0.

6*

6◦.

δ(ax) = δ(x)/ a , a = const.

83

| |

Приклад. Знайти розподië çа iмпульсами для гарìîíiчного осцилятора з

хвильовою ункцi¹ю (основний стан гармонiчного осцèëятора)

r

r

~

ψ(x) = 4 mω e−x2/2l2 ,

l =

амплiтуда квантових коливань,π~

mω

1

p2

Z m маса осцилятора, ω частота,

Знаходимо амплiтуду

+∞

|ψ(x)|2dx = 1.

Z+∞

−∞ mω

1/4

1

Z+∞

~

2

2

C(p)

=

ψp (x)ψ(x)dx =

√

e−ipx/

−(1/2)x

/l dx

π~

2π~

p2

−∞

2

1

скористались

iнте ралом:Z

−2m~ω . r

Ìè

=

(π~mω)1/4 exp

+∞

e−

ax2

+bx

dx =

π

b2/4a

e

.

a

За означенням, шукана

ункцiя розподiлу

−∞

Очевидно, повнаZ ймовiрнiсть|C(p)|

=

√

exp

−

.

m~ω

π

ωm

p2

+∞

2

1

Z +∞

exp

dp = 1.

позначенняСереднi|C(p)| dpçíà=äëÿ√

~

−m~ω

н¹ знаУведемоченням,Ÿ 6.

ченняñåðå

координатиiх значенü:òçамiстьiмпульсуслiв серед-

−∞

π mω

−∞

будемо писати

hf i

àáî ¯

âåëè èíà

f

2

dx

f . Далi вихвипадок)димочастинкизго,що

êîëi

|ψ(x)|

рiвню¹ йм вiрностi перебування

â

îçíà

dx

точкисередн¹(р

одновимiрний

. Òîìó, çà

x

значеннязглянемокоординати

84

hxi = Z

x|ψ(x)|2dx = Z

ψ (x)xψ(x)dx.

äîâiëüíî¨

U (x)

частинкиI те руванняобмеженомувiдбува¹тьсяоб'¹мiпо всьому промiжку значень x: для

ìåæ îãî îá'¹ìó

x [−L/2, L/2], а у випадку без-

x (−∞, +∞). Очевидно

i взагалi дляhx2

= Z

x |ψóíêöi¨(x)| dx = Z ψ (x)x

2

ψ(x)dx

2

2

hU (x)i = Z

ψ (x)U (x)ψ(x)dx.

Нехай теперльсу цьому ж станi

значення iмпу

частинки

ψ(x) необхiдно знайти середн¹

кими хвилями:

hpi. озкладемо ψ(x) у ряд за плос-

Згiдно з принципом суперпозиц ¨,1âå ipx/ичина~

ψp

(x) =

√

e

L

вiрностi того, що частинка ма¹ iмпуëüñ

|C(p)|2 äîðiâíþ¹ éìî-

iмпульсу

óíêöié C(p):

p. Тому середн¹ значення

X

2

X

величинувираздля середнього знач ння

iмпульсу,Спробуймобезпосередньщобтpïåð=зрахтакpовуватизаписатиC(p) =

C (p)pC(p).

h

|

|

p

p

ðåäí¹

î

C(p), а знайти цå ñå-

кое iцi¹нтних

ψ(x). Скористаймось явним виглядом дл

hpi =

X

Z dx′ψp(x′)ψ (x′) Z dx pψp (x)ψ(x) .

85

p

символiчне

−i~ dx ψ(x). ïîõiäíî¨

hp =

Z dx ψ (x)

Уведемо

позначення для

d

операцi¨

pˆ =

−

i~

d

i обiзвемо цей оператор

dx iмпульсу. Таким чином,

оператором

äîhpi =

Z

dx ψ (x)pψˆ (x).

Формула подiбна

середнього значення координати,

ë øå ç òi¹þ ðiç èöåþ,hxùîi =

Z

dx ψ (x)xψ(x),

iìïó

äëÿ

äè Аналогiчноренцiванíдоводимо,я. що

hpi ма¹мо пiд iнте ралом оператор

оператораhp

2

= Z

dx ψ (x)pˆ ψ(x),

де квадрат

ëüñó

2

2

d2

¹ çначення кiнетично¨ енер-

Миi¨частинкивжеможемомасирозраховуватиpˆ = pˆpˆ =середн−~ dx2 .

äå

m ó ñòàíi ψ:

p2

pˆ2

~2 d2

=

Z dx ψ (x)

ψ(x) = Z dx ψ (x) −

ψ(x),

2m

2m

2m

dx2

pˆ2

−

~2

d2

рiвню¹енероператорЯкщою частинкакiнетично¨руха¹тьсяенер2m i¨â.

2m dx2

=

зовнiшньому полi з потенцiальною

сумiU (xсереднiх), то середн¹значеньзначеннякiнетично¨повно¨та енерпотенцiально¨i¨ E в станiенерψ доiй:-

E = Z

ψ (x)

pˆ2

ψ(x)dx + Z

ψ (x)U (x)ψ(x)dx,

87

2m

àáî

де оператор повно¨ енерE =i¨Z

ψ (x)Hψˆ

(x)dx,

pˆ2

~2 d2

çíàазивченняомщеˆ . àþòй кiнетично¨ак:ь ак ж оператенåð iîðî¨ можнам амiльтона,записати,абоiнтепросру-

ЦейгамiльтонiаСередн¹операторчастинами,тоючи H =

2m

+ U (x) = −2m dx2

+ U (x).

pˆ2

~2

d2

= −

Z

ψ (x)

ψ(x) dx

2m

2m

dx2

~2

d

dψ(x)

= −

Z

ψ (x)

dx

2m

dx

dx

дорiвню¹ нулевi

=

щоiнтевнесокру¹моíåiíòåчас инамиальногоi врахододанкаâó¹ìî

,òå,

âíàñëiäîê óìîâ ïåðiîäè÷íдатноюñòi ,

2

~2

dψ (x) dψ(x)

~2

dψ(x)

Z

2m Z

çà

=

2m

dx

dx

dx =

dx

dx.

Бачимо,означеннямщо öÿ. Òâåперличинасередн¹завждизначеннядо повно¨ енерякi повинноi¨ бути

значенняУзагальнимоE = 2m

dx

dx +

|ψ(x)| U (x) dx.

~2

Z

Z

2

í¹

координатинашi резульстати на тривимiрний випадок. Серед-

r ó

àíi ψ(r)

88

hri = Z ψ (r)rψ(r)dr,

iìïó

äëÿ äîâiëüíî¨ óíêöi¨ U (r)

значенняhU (r)i = Z

ψ (r)U (r)ψ(r)dr.

Для середнього

iмпульсу

hp = Z

p

ψ (r)pˆψ(r)dr,

де вектор оператора

ëüñó

êiíåòè÷íî¨

pˆ

i¨

= pˆx + jpˆy + kpˆz ;

pˆx = − ~

∂

pˆy = − ~

∂

= −i~

∂

∂x ,

∂y

,

pˆz

∂z

;

Оператор

åíåð

pˆ = − ~ .

pˆ2

~2

2

~2

~2

∂2

∂2

∂2

à ãàìi2m

= −2m

= −2m

= −2m

+

∂y2

+

,

∂x2

∂z2

ëüòонiан частинки ç ïотенцiаëüíîþ åíåð i¹þ

U (r)

ˆ

pˆ2

величин,вхвiмпульсу,дiграютьКiлькiснайзенберово¨зокремаоператорiввинятковозрахункуункцi¨ат ких,т

iмовiрнiсноюквантовiйввелиенерзначеньпонянятеорi¨невизначеностейiнтерпретацi¹ючастинки,òòÿ.iзичнихоператораякi

обчисленнямважлкiнетТакимУŸзв'язкучно¨вучином,7.рольСпiввiдношетасереднiхзповно¨уми

H =

2m + U (r).

ÿê îîð

ò

льси части ок, виника¹ задача

þ

ðàê

вiдхилень цих

вiд середнiх значень.

теристикдинатию ак

дхилень ¹ середньокв др тичнi вiдхи ення.

У квантовiй механiцiмпу

âiäìiíó âiä òîãî, ùî

ìà¹ìî

ëàñè÷-

нiй теорi¨, цi величини,взаг

кажучи, не ¹ незалежними. Уп ше

öåé çâ'ÿçîê

для координат

алiт iмпульсiв установив В. айзенбåð

89

1927 ðîöi.

íåðiâíiñòü

нюютьавiдхиленнясереднiН айвiдповiднозначеннястан частинки¨¨ оординатиопису¹тьсаляньмоiмхвильульсуовоюцьомуункцi¹юстанi дорiвψ(x),

ïозченняачення для операторiв

iмпульсуhxiвiд середньhpˆi. Уведiмооззна

c

x = x = x − hx .

ординати

p = pˆ − hpˆi ê -

h

i

Z

ã

середн¹

c c

c c

Z

c

c

x

c= ψ (x) x pψ(x)dx = ( xψ(x)) pψ(x)dx

i застосуймоp до нього

Буняковського Шварца10

âèáð âøè

Z

f1 (x)f2(x)dx 2 ≤ Z

|f1(x)|2dx Z

|f2(x)|2dx,

Зауважи

о, що знак рiвностixψ(x), ì๠ñèëó çàpψумови,(x). ùî

f1(x) =

c

f2

(x) = c

f1(x) =

Z

|f1(x)|2dx = Z

c

c

ψ (x)( x)2

ψ(x)dx = h( x)2i,

c

c

iнте ру¹мо частинами

Z |f2(x)|2dx = Z ( pψ(x))

pψ(x)dx

= Z i~

d

íåðiâíiñòü

n

o

c

dx

− hpi ψ (x) pψ(x)dx =

d

c

= Z

ψ (x) −i~

dx

− hp

pψ(x)dx

Петербурзi

= Z

c

опублiкував

c

ψ (x)( p)2ψ(x)dx = h( p)2

2

2

2

Таким1804нерiвнiсть9010Вiкторроцi,чином,померуЯкович1859отриму¹моур.,1889Буняка.роцiА.xовськийШварц) ( pнародився) . Íàâx÷ਨìâ.pсяБарi1884в.ПарижiВiнницько¨. . Вiнобластiдовiвцюв

h( c

ih

c

≥ |h c c i|

h c c i

* c c

2

c c

c c

2

c c +

äàëi

x

p

=

x

p +

p

x

+

x p

−

p

x

,

h( c c

−

c c i

d

x

p

p

x)

= Z ψ (x)

x p − −i~ dx − hpi (x − hxi) ψ(x)dx

c c

− hpi ψ(x)dx

= Z

ψ (x)

x p + i~ − (x − hxi) −i~

dx

i покажемо, що це дiйñíI à=величинаh c c . cСправдi,c

d