Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

1

ˆ+

1

ˆ+

1

ˆ+

ψn(x) =

√

A

p~ω(n − 1) A . . .

√

A ψ0

(x)

~ωn

~ω

1

+ n

1

ˆ+ n

äå

=

(A ) ψ0(x) =

√

(b ) ψ0(x),

p

(~ω)nn!

n!

ˆ+

1

d

åíåð.

iÿ

частинки

i збiгаютьсяНехайтеперзiзнайденимипотенцiальнаb = â√

−dξ

+ ξ

,

Ÿ22

U =

U0

2

iкований

лi цевеличинитак званий ма¹мо,ди

−потенцiалch (x/a) Пешля Теллера, де ста-

U тознаункцi¹ю W записати останню в

акому виглядi:

Çà

ченням,

ùîW = W0th (x/a).

~

W ′ + ε

U = W 2 −

√

2m

=

W02 th2(x/a) − W0r

~2

1

+ ε

2ma2 ch2(x/a)

1

Якщо покласти=

W02 + ε − W0

W0 + r

!

.

2ma2

ch2(x/a)

212

W0 W0 +

~2

= U0,

2ma2

òîäi

α = W0

,r

,

2ma2

~2

W = r

α th ξ, ξ = x/a,

2ma2

2

2

α

2

2

α

+ n

~2

n−1

n

àáî

αn−1th ξ +

ch2ξ

= αnth ξ −

ch2ξ

2ma2

2

2

2

2

n

~2

(αn−1

− αn−1)th

ξ + αn−1 = (αn + αn)th

ξ − αn +

.

2ma2

Звiдси знаходимо, що

αn−1(αn−1 − 1) = αn(αn + 1),

~2

Перше рiвняння задоволь= íÿ¹ìî(αпiдстановкою+ α ). 4

n

2ma2

n−1

n

ïðè÷ ìó

αn

= const − n,

α0 = α, òîìó const = α. Пiсля цього знаходимо αn =

α − n, n = 0, 1, 2, . . .

n < α

αn > 0

нормована хвильова; ункцiя,оскiльки лише за умови

iñíó¹

n = (1 + 2α − 2n)

~2

2ma2 .

4Можна просто розкласти

ату. мiж кое iцi¹нтами

жзнайтирезультзв'язок

αn розкладу:ядза очстåпенямивидно,щоn прийдемоi з цього дорiвняннятакого213

знаходимо дискретнi енер етичнi2

ðiâíi

~2

2

E0 = ε = −W0

=

−2ma2

α

n

~2

X

En

= −α2 + n′=1(1 + 2α − 2n′)

2ma2

2

2

n < α

або, повертаючись= −α + (1äî+вихiдного2α)n − n(nпараметра+ 1) = −(α − n) ,

α = 2 s

U0,

остаточно ма¹мо

1 + U0

8ma2 − 2 ,

1

~2

1

2

En

= −

~2

~2

# ,

8ma2 "−(1 + 2n) + s1 + U0 8ma2

i îòæå, îñêiëüêè

√

x

2m

x0

ψ0(x)

=

C exp −

~

Z

W (x′) dx′

α

x

x

x0

àáî

=

C exp −

a

Z

th

a

dx = C

′ exp [−α ln(ch ξ)]

а сталу

ψ0(x) = C′

1

,

chα(x/a)

∞

214

|C′|22a Z0

dξ

= 1.

ch2αξ

∞

µ

µ+1

ν−µ

sh ξ

2

2

äîðiâíþ¹

i

ν+1

Re µ >

1, Re (µ

ν) < 0,

Z

ν

dξ =

−

−

ch

ξ

2

2

0

√

(α)/2 (α + 1/2), тому остаточно

π

1

(α + 1/2)

ункцiю першого

збудженого

стану

знаходимо iз за-

гально¨Хвильовуормули:ψ0(x) = s a√π (α) chα(x/a) .

1

ˆ+

ψ1(x) =

√

àáî

A (α)ψ0

(x; α1)

1

s

~

2ma2

d

~2

x

ψ1(x) =

−

√

+ r

α th

!

~2(2α − 1)

dx

2ma2

a

2m

Ураховуючи,×ùîs

chα1 (x/a) .

a√π (α1)

α1 = α − 1, одержу¹мо

вонанийЛегкiнтеокладемома¹перевiритиψ1 x) = s

a√π (α

1) chα(x/a) .

рал),динсуперпотенцiалвузолщо(якщоцяточцiункцiявзяти

¹донормовауваги

íоюаведений.Якi повинновищетабличбути,-

−

риклад

1.

Обчислити

ðiâíix = 0åíåð.

i¨

частинки в

ïîëi

2

U =

Ï

(x/a),

−π/2 ≤ x/a ≤

,

U0

äèìî, .

U0/ cos

π/2

> 0 a > 0

.p

ε = W02,

параметр α =

W0

, U0 = α(α − 1)/~2/2ma2

U0 > 0,

ма¹мо умову215

Хвильова ункцiя основного стану

√

Z

2m

ψ0(x)

=

C exp

−

W (x) dx

~

З граничних умов

=

C(cos x)A(sin x)B .

Приклад 3. За ψсуперсиметричним(0) = ψ(π/2) = 0, ма¹мопотенцiаломA > 0, B > 0.

вiдтвори авляючипотенцiальнуW = √

~ å

íåð(−Aiþcth частинкиx + B/A),

0 ≤ x < ∞,

2m

спектрПiдс.ò

U i

обчислити енер етичний

çíàõ äèìî:

W в рiвняння, яке зв'язу¹ його з потенцiальною енер i¹ю,

U =

~2

A(A − 1)

2B

− thx

енер iю акторизацi¨

2m

sh2x

~2

2

B2

спiввiдношенняε = −ä2m

A

+

.

A2

W (x; An, Bn) =

~

Ancthx +

äëÿ êîå

√2m

−

An

знаходимо рiвняння

iöi¹íòiâ

An, Bn i величини n:

An−1(An−1 + 1) = An(An − 1),

~2 B2

B2

Çâiäñè ìà¹ìî:

n =

2m

A2

An2

− An .

n−1

An = A + n, Bn = B,

~2

B2

−

B2

− 2A − 2n + 1 .

Тепер енер iя n =

Xn

~2

B2