Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

визнача¹мо з рiвняння

цi розв'язкиДругийрозв'язокнумеру¹моAi′( визнача¹εпарними) = 0, непарнучисламиn = 0 хвильову2,.4, . . . ; óíêöiþ

− n

íàê + äëÿ

ψn(x) = ±CAi(|ξ| − εn),

ç рiвняння

x ≥ 0, çíàê − äëÿ x ≤ 0, а рiвнi енер i¨ знаходимо

цi розв'язкиЗумовинормуваннянумеру¹моAi(−εn) = 0,

n =числами1, 3, 5, ... . ;

непарнимима¹мо

àáî

|C|2

Z∞ Ai2(|ξ| − εn) dx = 1,

i ïiñëÿ çàìiíè 2|C|2

−∞

Z0

(ξ − εn) dξ = 1,

2mα

Ai2

~2

1/3 ∞

íèêà

z = ξ −εn знаходимо з точнiстю до азового множ-

v

ункцi¨,Нарештiзалежно¨остаточнийC =âiä1

Ai (z) dz.

хвильово¨

,u mα

1/3

Z

u

4~2

∞

u

−

çàãàëüíий вигляд2 нормовано¨

t

верхнiй знак + для

Z∞ ψn2 (ξ) dξ = 1,

−∞

222

ξ ≥ 0, à íèæíié − äëÿ ξ ≤ 0.

44581

7297368321

09

726

6543210

4321.16330524087943301879208155

65

εn

n

7

7867

7

8

7

372

359

9

944

10

8.48848

673

αxöi ,

абувала áезмежного начення

â òî÷

x

= 0

стiнка),тобторозв'яçокточцiако¨

çàäà i

ψð(âíix) =åíåðCAi¨(ξ−εn) з умовою ψ(0) = 0

Ai(−εn) = 0. Причому

Ai(−z) =

1

2

z3/2 +

π

,

z1/4√

sin

Звiдси знаходимоAi′(−z)íóëi= − √π

cos

3 z

+ 4

, z → ∞.

z1/4

2

3/2

π

óí

êöi¨

Ai(−ε),

2

3/2

+

π

224

εk

= kπ,

k = 1, 2, 3, . . . ,

3

4

2

3/2

π

π

k = 0, 1, 2, . . . .

Öi äâi îðìóëèε îá'¹ä+ íó¹ìî= (2kîäíi¹þ+ 1) : ,

3

k

4

2

3π

2/3

1

2/3

,

n = 0, 1, 2, 3, . . .

εn = 4

níå+ï2

εn i äëÿ

квантових чисел

наближì ëèõ

не значення енерni¨.Зокрема äля основного стану n = 0,

чення-

äîðiâíþ¹

ε0 = (3π/8)2/3

= 1.115460,

точне зна

Прикладε0. Обчислити= 1.018793рiвнi.

енер i¨ частинки маси

2

2

2

m â ïîëi

àëi.

U = mωамiльтонiанx /2 + α|можнаx|; −∞записати< x < ∞;òàê:ω , α

ˆ

pˆ

mω

2

α

2

2

α

çíàê + äëÿ

H =

+

x ±

−

,

óíêöié)

2m

2

mω2

2mω2

(термiнологiю

породжено¨ модулемx > 0, çíàê − äëÿ x < 0. Якщо б не було цi¹¨ змiни знака,

осцилятор зi змiщенимсутт¹во|xðîçâ'ÿçê| точкуU , òî ìè

2

гармонiчний

мали б задачу про лiнiйний

величину

2

2

(−α/mω ) п ложен ям рiвноваги

зсунутими

ез точку

(−α /2mω )

внями енер i¨. З

iíà ç

àêó

ˆ

ехзнероздiче

H ïðè ïå

iвняння Шрединx = 0

ера, позмiдiбною¹якситуацiю,для i ми повиннi

íàõ ä òè ðî â'ÿçê

осциляторацилiндраера. з нашим гамiльтонi

ðiâíÿ

ня-Шредин

параболiчногоом

аномОтже,¹добрезагальнимвiдомi ункцi¨

|x|

D

z), äå

p

óìîâ(äèâ.

2

2

2

. Ç

розрахункiвийнявизнахвильовихтекстi цьогоквазiточнупарагракцiй~ ¨хнiхадовiдник,параметрпохiднихвеличиназiспецiточцiльних

зшподава

z = (x ±

α/mω )/

/2mω

a =

−(E + α /2mω

/~ω

потенцiалуðiâ iâ

x = 0потребуютьзнахдимо

пiдберемовнянядля

чення

å

i¨

ихпараметриднак,знайти(ми ¨х

не наводимо)розв'язкиE, ÿêi,.âçàã ëi êàæó÷è, äèâ.

чисельМоíæíà,

Ÿ18):

ω2, α òàê, ùîá

a = −(n + 1/2), n =

0Åðìiòà, 1, 2, . . .

тобто оли ункцi¨ параболiчного цилiндра зводяться до полiномiв

√

n/2

e−

ξ2 /2

Hn(ξ)

,

,

Hn(ξ)

, åíåð iÿ

ξ = z/ 2 Dn(z) = 2−

похiдно¨Параметривточцiпотенцiалу знаходимо~

1

α2

óìîâ

иваннÿ

òà ¨¨

En

=

ω

çn +

2

çø−

2mω2

. хвильово¨ ункцi¨

x = 0:

15 I. О. Вакарчук

CHn(ξ0) = C′Hn(−ξ0),

225

ðiв яння не ма¹ розв'язку, друге(äèâäà¹

n = 0, òî ïåðøå

òóò

C [−ξ0Hn(ξ0) + 2nHn−1 (ξ0)] = C′ [ξ0Hn(−ξ0) + 2nHn−1(−ξ0)] ,

C, C′

сталi нормування,

ξ0 = α/

√

~

i ми враху али, що похiдна

dH Беремо(ξ)/dξ =äî2nHуваги,(ξùî).

n

n−1

Hn(−ξ) =

−)

n

Hn(ξ)

з нашихпотрiб

ùî àáî

i

âíÿíü çíàõ äèìî,

армонiчногоозв'язок,H (ξ

енер) = 0 iя перший розв'язок, або ξ

H

n

(ξ

) = 2nH

n−1

(ξ

) другий

n 0

0

0

0

явнi вирази для полiнEnìiâ=Åðìiòìà¹ìî~ω(n + 1/2. −Ÿ21)ξ02./Зокрема,2). Теперякщо

ìàòè ëè

Очевидно,

n = 3,

E/ ω = (19 ±

57)/8,

7/2, 11/4;

ã

осцилятора

ξ0

= 0 з енер i¹ю основного стану

à åíåð iÿ äîðiâíþ¹

~ω/2. Ïðè n = 1 перший

îçâ'ÿçîê ä๠ξ0 = 0,

3~ω/2; а з другого ма¹мо ξ0 = ±1, енер iя ~ω. Ïðè

n = 2

з першого

ξ0

=

i åíåð iþ ~

,

з другого

p

±1/ 2

ξпродовжити0 = 0 ± 5/öþ2 процедурувiдповiднiдлявласнiбiльшихзначеннязначеньенерчислаi¨ 5~ω/2,

5~ω/4. Неважк

n:

~

√

√

√

ìå

шу вiд максимàëüí ãî çíà

E,

ïèêó

226

x1, îëè E = U (x1), ïiñëÿ ÷îãî áóäå

ухатись

у протилежному напрямку тобто вiдiб'¹ться

áàð'¹ðà. Ê îð-

äèí òó

x1

âiäìiííîþ

точкмех

поворотуназжлèâаютьимперебування¹рухкласичноюiзаб точкоюроненiйпотенцiальнийзонiворотуiж. Укласичквантîèìèâ

àìèíiöiéìîâiðíiñòü

ноенершийпроходженнявiдмiннатже,

x1 ≤ x ≤ x2

-

ié

îöëÿ,íiñòiä

îвумоюзменшу¹ться,крiзьцiкаванаункцiювеличиною,такийвлас,томучастинкирозрахункузада.iзнащоднаквоначенняхвильова¹цiйнамтзабороненiйзадвлункцiяснiймовiрнна,р'¹рвiднеобх.ункцi¨:Ценуз

бластi,знайтитипiячастинкихочавiдзадач,лишенулячастинкизначнонiжхвиль.¹Виника¹вiдзадача

Припустимо, зл

на бар'¹рПотенцi лiт

¹ ч стинка iз заданою гус

вiдбиваннярностi

. Нехай чàстина

тиною потоку ймов

j0

j1

ó¹ ðóõ ïiñëÿ

частинки вiд б р'¹ра,цьогоа потоку пи

ñправа вiд бар'¹ра, тобто в областi

j2 öå ïîòiê

коном збереження потоку,

x > x2. Очевидно, згiдно з за-

вимiрюванi

Уведемо експериментальноj0 = j1 + j2

. величини: вiдношення

бар'¹ра,iцi¹нтомапроходженнявеличину

êðiçü áàð'¹ð àáî

ÿêîå будемоiцi¹нтомназиватипрозоростiкое

D = j2/j0,

15*

R = j1/j0

227

тьсяНагада¹мозазагальнимтакож,виразомщогустинаD + R потоку= 1.

ймовiрностi розрахову¹-

поворотульово¨ ункцi¨ т

x1 ≤ x ≤ x2

òîêó)

dψ(x)

dψ (x)

~

Äëÿ

åëè÷èíè

всерединi бар'¹ра

x < x1, справа вiд нього x > x2 àõò

-

урахуванням(п в кперервносасичнихямокутнийî÷êi õâè

¨¨ першо¨

хiдно¨вiзьмемо

бар'¹рСпростимо(див. риснашу. . колизадачу

енерякмоiядель пр

0,

x < 0,

≤

≤

U (x) = U = const, 0 x

a,

0,

x > a.

228

−

~2 d2ψ1

= Eψ1,

2m dx2

D = íA1

,

R = A1

.

2

2

C1

A2

шо¨Ураху¹мопохiдно¨тепервточкахумови

x = 0

à x = a:

ψ1(0) = ψ2(0),

ψ1′ (0) = ψ2′ (0),

ψ2(a) = ψ3(a),

рiвнянняВикористовудля

явнийiцi¹нтiввигляд

хвильових

ункцiй, знаходимо

j0):

−

−

A1 + A2

= B1 + B2,

ika

ika

ik0a

,

B1e + B2e−

= C1e

−

ika

ika

ik0a

k B1e

B2e−

= k0C1e

.

озг янемо спочатку випадок

Ïîäiëимо всi рiвняння на

E > U , коли величина k ¹ дiйсною.

A1, позначаючи

Òàê ùAî2 = A,

B1

= B,

B2

= B′,

C1

= C.

A1

A1

A1

A1

230

D = |C|2,

R = |A|2.

ñистеми,

k0

,

1 + A = B + B

k

(1

−

A) = B

−

B′

жившиДодамо

Be

B′e−

= Ce .

ika

ika

ik0a

,

Be + B′e−

= Ce

−

k0

останн¹трет¹iчетнаâåрте рiвняння цi¹¨

попередньо помно-

k0/k,

1 +

k0

eik0a

та вiзьмемо ¨хню

2Beika

= C

рiзницю

k

Отже, отрима¹мо 2B′e−ika = C 1 − k0