Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

а матриця оператора iмпульсу

iмпульсному представленнi

озглянемо добутокpоператорiв′ pˆ p = pδ(pi знайдемоp′).

його матрицю

h |

| i

−

ˆ ˆ

ˆ ˆ

(AB)mn = hm|AB|ni

X

X

X

матричнiй

=

ˆ ˆ

ермiтовостi

ˆ

ˆ

hm|qiABhq|n = hm|qiA

hk|B|nihq|ki

q

q

k

X X

ˆ

ˆ

X

ˆ

=

hm|qiAhq|kihk|B|ni = hm|A|kihk|B|n ,

k

q

k

X

Знайдемоотрималиˆ ˆ. Ма¹моправилотеперумовумнож ння матрицьоператорiв.

ó

Миормi(AB)mn =

Amk Bkn.

k

Amn = Z

ϕm(q)Aϕˆ n(q)dq = Z

˜

ϕn(q)Aϕˆ m(q)dq,

ßêùîAmn

= Z

ϕn(q)Aˆ

ϕm(q)dq = Z

ϕn(q)Aˆ+ϕm(q)dq.

˜

ˆ+

ˆ

A

= Aмiтовостi,

ричнiйцеозглянемо¹умоваеðiвняння

Amn

= Anm

наоператорiввласнi значенняу матричнiйоператораормi.

îðìi:

ˆ â ìàò-

A

X

142

ψ(q) = Cnϕn(q),

X

ˆ

X

множимо злiва на

CnAϕn(q) = A

Cnϕn(q),

n

n

ϕm(q), iнте ру¹мо за q й отриму¹мо

X

X

iцi¹нтiвднорiдних ал ебра¨чних рiвнянь на ви-

значеннятобто системуневiдомихлiнiйнихкоеCnAmn = A

Cnδmn,

n

n

X

Cn:

Умова

нетривiальностi

ðîçâ'ÿçêó:

n

¨¨Cn(Amn − Aδmn) = 0.

!

Öÿ

умова й

визнача¹ можливi

ачення

detkAmn

− Aδmnk

= 0.

ченняснихийзначень.розв'язокЦерiвняння, приатрицi.Отже,кихнеоператорами,кщорiвнянняше,цьогоякна

рiвняннявласнi значення6наi даютьзнахОператорма¹дженнявласнiнетризнаiаль

âií !

A

Ïàóëiÿêi

Amn

ПрикладТз данiким вчином,1.матричнiйробимоспiнуормi,.висновок,озгляньмо¹ дiямищооператор,надвсiматрицямидi¨щонадзада¹ться. .матрицею

З множником

σˆy =

0

− .

i

0

ермiтовим

(ˆσy )mn = (ˆσy )nm

σˆy

су, тобто спiну~електрона/2 âîíà ¹ y.-Покомпонентоюажiмо,щооператора¹ермiтовимвласного.Ма¹момоменту iмпуль-

˜

0

рiвняння

σˆy =

−i

0

,

!

Очевидно, що

σˆy + = σˆ˜y =

0

− .

i

0

ласнi значення

i оператор ча¹мо

.

λ оператора σˆy визна

з рiвняння

яктакiсекул det||(ˆσy )mn − λδmn|| = 0,

планетно¨6механiки,Воно. вiдоме

рiвнянняе, визначаютьабовiкове, вiковi змiщення. Назва походитьпараметрiвзнебесорбiт143-

àáî

тобто

−λ

−i

= 0,

!

!

−λ

i

2

Приклад 2. Оператор Адамараλ = 1,. Цей операторλ = ±1.

äå

ˆ

√

!

H = (ˆσx

+ σˆz )/ 2,

x- ò z-матрицi Паулi ¹ такими:

!

!

!

!

0

1

1

0

Очевидно, що

σˆx =

1

0

,

σˆz =

0

−1

.

ˆ

1

1

1

¹ самоспряженим оператором,

√2

H =

1

−1

ˆ

+

ˆ

H

= H. Крiм того, вiн ¹ унiтарним, оскiльки

ˆ 2

1

1

1

1

1

1

2

0

1

0

i îòæå,

H

=

2

1

−1

1

−1

=

2

0

2

=

1

0

2

àáî

рiвняння1, арештi,

Hˆ

+

= Hˆ

−

1. Його власнi значення

λ

çíàõ äèìîHˆ

iз= секулярного1 Hˆ = Hˆ −

1 − λ

√

çâiäêè

2

1

√

= 0,

1

−1 − λ

2

E0 − E

A

0

...

0

A

E0 − E

A

...

0

0

A

E0 − E

...

0

Óâåäiìî çìiííó .

.

= 0.

.

.

.

.

0

−

0

...

E0 − E

AN , òàê:

0

)/A i перепишiмо визначник, попередньо подiлив-

øè éîã íà

x = (E

E

−x

1

0

0 ...

1

−x

1

0 ...

0

1

−x

1 ...

оз ладаючи

N = .

. .

. .

= 0.

. . . . .

. . . . .

.

. .

. −x

(Δ0 = 1):

1

= −x,

10 I. О. Вакарчук

2

= x2 − 1,

145

Повна енер iя чотирьох електронiв на π-зв'язках

льнимиовна нимиспiнамдвохпоäàòèдвiйними.жнiхЯкщорiвняхрозгзв'язклядма¹зволитими,понижумтолекулудваповна

√

бутк адi¹нуониiя з якпротилсистåжномуз напрямледвомаiзо-

åíå

суперпозицi¨åë

E = 2E1 + 2E2 = 4E0 −

2 5A

êó íà

дин люелектрi принципу

E = 4E0 −4A.

Ìà¹ìîрозрктроху

î

рух¹тьсяатисьна

величвсiх зв'язках,у

тоОтженå,рколиiя з

ймомiрюваннятатiв

= A(√

/2 − 1)

5

ене ЗадаŸi¨iрностi,14iлюстрацiюосновного.ступнихчаКвантоваквантово¨зякоюстанузв'язкувимiрюваньу. механiкаотриму¹тьсгiльбертовомумех iкиантовомехнаматематикякоснпередбатеорiяженвiпросторiпоплiнiйнихченняоперацi¨зйреднiхпринципомоператоррезульможливихоператорiввимiрюваатмiнiмальностi. iзичнимиСамiрезулььвита.

жна розглядати

äåÿêi

í ä

истемами. моТ му

à, ÿê

îï ñó¹

ö ¨ íà ìiêðî

ñуперпоз цi¨. Тому станиматематик

анiчно¨ системи

повиннi бу

êîïi÷

ому рiвнi, мусить бути

îþ

.

òè

Фу даментальн й принцип

нтово¨ механiки це принцип

è

атемати ними величинами, якi можна додават , мно-

æèòакимна к

снi числа i дiставати

величини

акого ж типу. Це

Беручиомплекце

уваги й узагальнюючи резульавлятиати, якiвекторамидер

означа¹, що стани квантово¨ системи слiд зiст

ç

деякого лiнiйного просто .

ложення кв нтово¨ ме-

жали в попереäнiх парагð

ах, основнi

õàíiêè

жна с ормулювати

виглядi аксiом

(посту

àòiâ).

Постулат

1. Стани

анiчно¨ системи

описуються

îâiëüíi

|

i

|

iñíó

|

|

i 6

|

i

амиада¹мо|ψ

векторiв | i

|

i

i

|

i

квантовомехажуть,

простiр

гiльбертiв

щовогозаданийпросторулiнiйний.

впростiрньому

векторизначенийНагiв|ψiскалярний, означення:абстрактного|ϕi, |χiдобуток, . . ., якщогiльбертвекторiвцей

hψ|ϕi. Àêñiîìè:

1

◦ вектором

ψ ,

ϕ

ψ = ϕ

âàæíi (

вектори

àáî ðiçíi (

), àáî òî-

2

|ψi = |ϕ ); ÿêùî |ψi = |χi

|ϕi = |χi, òî |ψi = |ϕi.

◦. Äëÿ äâîõ i

ψ ,

ϕ

¹ ñóìà ψ

+ ϕ , ÿêà ñàìà ¹

10*

|ψi + |ϕi = |ϕi + |ψi,

|ψi + (|ϕi + |χi) = (|ψi + |ϕi) + |χ147i.

|ϕ величина α|ϕ òàê æ ¹

i

Постулат 2. Кожнiйα(|ψ + |ϕ ) = α|ψ + α|ϕ .

лiнiйний операт

величинi A âiäïîâiäà¹

ортонормованомуˆ, ùî äi¹

базисi

просторi векторiв

станiвУзаданому.

A

спостережувальнiйгiльбертовому

òüñÿ сукупнiстю чисел:

|ψni оператор визнача¹-

дано¨Постулатiзично¨3.величини™диними можливимиˆ

результатамиˆ

âèìiðþâà

Amn

= hψm|A|ψn

= hm|A|n .

оператора

ˆ

авляютьсзаданомуA

ñòàíi |ψ ¹ власнi значеííÿ

A, ùî çiñò

ÿ

цi¹ю величиною:

Постулат

4. Iìî iðíiñòüˆ отримання значення

A|ψn

= An|ψn .

величини

An для iзично¨

A ïðè ¨¨ âимiрюваннi â ñòàíi |ψ äîðiâíþ¹

Z

2

2

2

ψn(q)ψ(q)dq .

Постузадовольняютьнтовомех5. Координатам

|Cn|

= |hψn|ψi| =

àíîíi÷íî

q

ñ ì

p

êâ

анiчно¨ системик

спряженимоператориiмпуль-

òà

переставнi

вiдповiдають

qˆi

pˆi, ùî

спiввiдношення:

~

золойняттiайвищо¨атiвийвеннаотриму.св¨¨переЦетудношеннтелi. ¹вiз,Золотий¹моумовактуально¨абоз цихБожквантування.сторiнперерiзТисячiпостулатiвественнадiяльностiкраси,рокiв.пропорцiяякхвилю¹якяктеоремимiстичнднелюдиз,.пощо

нуелементпрониклаяснеалгебраакешьзванийприроурезульспр.усiайзенберБожесдидiлянки

qˆ pˆj − pˆj qˆ =

δij

-

Вiдступ

опорцiя

√

æå,íà ðîçðiçàòè íà ïîäiáíèé¹âi

äî

ьогоям

ïð

Φ = (

5 + 1)/2 =

мокутнипрямоêутникаквàдрякхiдт,

ìîîò.618033988749894 . . .

ршеностi

èé

-

-

з'¹днанiстьПлатонщоогпропорцiяпросередн¹оскiлькипевн,булиТiмея(428те,навпаки,перетворитийякз'¹днанiабозв'язок,(Платб льшого,427двбо,акменшехдобезякщому.частинДiалогиввiдноштретьо¨,¨х.¹днiсть:¹ХтриÎòæскрiплював.348скластисамим,.числае,ннiомуТiмейтомуабоНемодовiдно347першеиявляютьднеменщоби,жливо,31с.доНайкращемiжценнiого,ле32b). Хнимитак,щобяк.такудо)виклаву.бiльшесередньщобповиненцедвiвластимож¨хнюречiмiрпiдо

робити'явитисьагорiйцясконало

ередн

çдкуван

Φ

âiñòü,

го, як середн¹ до

òî

íí¹ é

áóäå ñåðå íiì, à

¹ першим

останнiм.

âñå ç íå á

áóäå

òèì

àìèì,

âîíî áóäå òèì

òî âîíî

¹ä

i

Divina

íiñòü.назвуТака пропорцiя для трьосх додатних величинхiдностiскладатимеa, b, a + b

ìiñòèíåïð âîiêВiдротьстнасвувавдоцiзолотогомiкуванняперерiзудля виведення,

числасам Пла

< b

b/a = Φ

В епоху

ественнаджя число

Φ.

Проннiхчiолiяквiдiгравалододо,Божественнуматематик,аборокахдада(близьковенецiанськийВiнчiВiнчiçîëàêXVîвинятковунахтий(1452столiттнавчавпроестетикиперерiзучителем:пiсля1519),орцiюхудожнгеорольiталiйсь.(aurea1509)йдякиПеретрi¨(аждiс(deй-.

мистецтвi,рцiя

Ïà

деарнаписавдркторiв,хiтектурi,йогоóперерiз.гомЛукПачiолi,пропвЛеонарîñòвидатний

Барбарiкстимзолотийназвавкнижкмiноритхiт

è

доалоtio)бувжникiвматематтвiрpropotione)особпроакацi¨)Божцюй

Φ

худоiлюструвавВiнкийшийse

Джакопо де

(близьк

1445 ïiñëÿ 1516)

çíàê ïî

ïå-

написав артину,

зобразив себе поруч зi сво¨м

149

iтьшпальтихЦiкаво,книжоккнижки,щочислоютьякусам

-

Читакийчтрима¹орм наведеноготΦаборуках.Узагалiблизький. . . шпальтидонього,багяк

Φ iтерування

вище рiвняння,

Φ = 1 + 1/Φ можна зобразити

ланцюговим дробом

або, якщо рiвняння дляΦ = 1 +

1

,

1 +

1

1+...

Φ переписати як Φ = √

, то, iтеруючи

його, знайдемо, що

1 + Φ

склада¹тьсяЯк тут не

ланцюговийу диницюдрiб Пiдляагора, з яко¨

згадатиВсе.ОбриваючиБожествен

√1 + . . . .

Φ = r1 + q1 +

ланцi, отрима¹мо послiдовн сть йог

набл жених значеньΦ íà êîæíié

Φ =

1240), прийшов до них,

озв'язуючи знамениту з дачу про роз

ìíî åí

êðiëèêiâ :

ïîòðiáíî

обчислити, скiл ки

ð

íà

äæ

òüñ

ротягом

ку, якщо через мiсяцü ïàðà êðiëèêiââiä-

овупару, а народжують

другого мiсяця

ñëÿ

äiáíåарактеризулисткамидовностi.Цiкаврозтсвого-..

ñрокумiжлинвонипов'язане(двомаЙ.iлотаксис),писано¨Кеплерслiдовнимигвинтоповище(1571якепосл1630)х

êóò

тДошуваннянароакворю¹Виявля¹iвж,джкутдеякцåùîправилнняйчасткзм.актЧислоцi¹юутомiвоюупершенапослiдовнiповнстеблi¹ 1596границеюроту

Öåé¹òüñ

Φ

-

приронаведенедорiвню¹опорцiюдитекторiвщоíпродлянарозпущеномувiднязгадаймоспйдовжитизеренрiзнихльнiлогаричаткушеннюсоняшникзовнiшнiзваногорохочанамiчнаунаступнiсiднiхо¨вiяломбчерепашрозповiдi¹вершиниспiраль,рiзним,чиселйогобарвсе

Боупави,жетворiнняхцятвенну.часткпрЯкщоплямточивиявимо,розташува-кутникаприкрас

молюскiв

вистомушляпцi,киякуФiбоначчiале,слимакiвзнахякпрчихвостiямокутники,димо. . .яскравихзолотого

2π

меншiрозрiзання

квадратiвдiвних

прямокутникiв леж

ü íà

ã ðè ìi÷íié ñïiðàëi. Íà

iò

àð

i

òàê

iдеально-

ãî ìiñòà,

якому не кiльк

окремих

олових вулиць перетин ють

цi¹¨ природно¨

ñèì òð ¨

дна з ренеса

сних мiстобу

Як ми бачили,

золотий перерiз¹тьсi

êâ íòîâié òåî

i¨ éîãî

радiальнi,омпозицiйдна як

ðîçê ó÷ó

я логари мiчною

спiраллю

головно¨ площi мiсталiйських. Спiраль бачимо й на загадковому диску

Ôåñò

(î. Êðiò XVII ñò. äî . X.).

ли бутадi¹ну. Можна знайти

âèÿ ëÿ¹

åíåð

спектр

кут вомуетичнийрозподiлi протонiв,молекуякiпослуговународж

при розпадi

Φрерiзслiдуванням

Êäiëÿòüîìвонипозидлячасовийстмiж.ориспричинавлять. . собоюпростiрперехнняжисеричерезЗологлибшогодиконаннявелмiжакчинусюжетнимижвпливутворунасво¨хпромiжлiнiямиþтьсяутворили(п'ятикутнатворiвзолотимубiсти,точкахщоспiвлюпе,

вiдносятьсякiдину:0-частинки

Λ

-

пентмалярствi,рiз.Художникиаграма. Ме iстоелевi, зiрма151поякi

ий первзавадою

тобто

à ,стала

принципи

а)ткуТнакXXпорозiзванастолiттягеометркiмнативiдьминагрупучнiФаустоп

Φ

кчсповiдували