Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

свiтла, наявна д ракцiя Фра

íà äâî

. Ìiæ

í

øèì, öi

виконав ще

30-

рокщiлинахXX ст. Вой

розрахункирюючи дивну для нас кв нтову

îê ìiê

проОбговх дить меж

мiж мiкрочастинктрима¹моми з ¨х хвильовимчастивластив

ñ-

, ми весь час впершедсвiдомо

голедiнку п анíÿ:

äå

ямисвiту

макр тiлами з ¨х, звичною нам,

поведiнкою. З виразу для

цех убiн вич, який працювавунгоЛьвовi.ера

дмакротiлвластивостi

λ = 2π~/p

вж ни хвилiдомiнуютьде Бройляпри великих значенвиплива¹,яхiмпульсущокорпускулярнi

класичнiпiдтверно вчимодилиC.важкАтутумови,хвильзауважимо,вияовузаитиякихприродухвильщоквантовiостаннiакихвластивостiрiвнявеликихäè ðàêöiéíiня. Пiзнiшерухуоб'¹ктiвекпереходятьспериментимияк,детальтобтобiомоó

ëåêó

p

-

складнихiлi т енiлпгемоглобiнiбiрмолекуирiн.алiзмУмолекувагоюбслугову¹614лиаулерену.центри. .), якCза¹

вагоюб рвстиноюня44багатьH30хлороN4 (òåòð

з атом ю вагою 720 .о.м. лiнiйними розмiрам

60

Бройлядебройлiвськ

10

иявлено орпускулярно-хвильовий ду

довжиноюатомноюAх илiакожде

Horn

090408

якеозв'язокопису¹цьогодете

iвнянняовану поведiнку

деяко¨ класично¨ системи.

ðìi

xn+1

= 2x ,

xN = 2N x ,

x0

початкове зна ення,

N

кiлькiсть крокiв. Якщо задати

x0

ç òî÷íiñòþ äî òèñÿ÷íî¨ äîëi:

42A.

Arndt,SPhys.Uttenthaler,.Rev.LettK.91. ,

berger,замiсть(2003)E.. Reiger,1, то вжеB. Brezger,через

4Zeilinger,L. Ha kermM.uller,

x0

= 1.001

Nùî= 10 крокiв ми дiстанемо не xNòî÷íiñòþ,= 1024

à xN 1025. À ÿê

-

чутизiлюзорнiстьнопередбчаткованальноЩоВiдступормацiюнатипри¹доченнязначноумованадзвiнтерпр.певний2класичного.Крiмîповедiнкиверхнiнiзада¹тьсябiльшим,еренцi¨,кришталевихтого,моментводи,лаплслiдВсесвiтутотозпропевноюч¨¨нашеàñпам'ятати,келихiвiвськогоможнащо.Цейпрактичнопередбаченнямова.простийнеКелихдещойшлатiлькиермiнiзмупоч¹дiнше,безлiчприкладв¹тковихчерездослiдiспостерiгатилишезовсiм.¨хте,дзвениумовiлюстру¹2,необщоточнуалехiддляпотвiь,й

N

âií

ак ж с iва¹ (явище биття) це ¹ не що

як явище iн

тер еренцi¨.

Прямий ст сунок до питань, якi ми обговорю¹мо тут, ма¹

ìà¹

ж задача

î тра¹кторiю блукань п'янич и. Якщо п'яничк

вратнична¹(нехайвiдстаньомвипадкзадовждляöiëê

внутрiшнiми

haii = 0

a a

=

êðîê a

îâàíi

êâàä

овими,ною отже,всiкрокидорiвню¹середн¹днаковi), то.Середнязанапрямком

ëiíiéíà

âiä

-

a

1/2

знахпокдятьсiнтер еренцiядляу аз , L = N a. У загальному випадку мож а

N êðîêiâ

ha aj .

нервоваУнаслiдоксистематого,L = h

aj

2

=

N

N

N

2

X

X X

зайнятакщокроки

çîâñiì íå

скорельпроблемами),автоiнспекцi¨(центральна

1ванням/2 ≤ δ ≤ 1азник.Цейвиразомето

визначе

=1 j=1

âèìiðþ

j=1

áiëêпредметомN кi ькiстьенняланте

крi¨.Аак зв нихлi, рактогоальнихтипупроблемиструктур43.

ярного ланцюга, LщоОчевидно,а= згортN a де дляL явзагвiдстглобулу,ьмiж кiнцями молеку-

покластиОтже,ань

6= j

ж зника¹. Таким

чином,

2h

j

2-.

ha ihaj i = 0

= j:

ha aj

= ha

= a

L = N

a.

що для тверез

людини, коли всi

L = N δ a, де δ показ

ик твер зостi, причому очевидíî

запропонуватиíÿ ñòóï ÿ ñï'ÿ

iííÿ çà

Такимовихмолекуждослiджδ

визнажнача¹ться лiнiй

ий розмiр глобуляр. их

δ

àíêè,

a довжина

äíi¹¨

Ÿ 2. Хвильова ункцiя

èõ àêòiâ, ÿêi îá

говореноПерейдiмо

óçàã

експеримент

îìó

арагра i. Центрàëüí

ðîëü, ÿê ìè áà

чили, вiдiгра¹ доняттальненняамплiтуди ймовiрностi, або хвильово¨ ун

. Конце цiя хвильових у кцiй ¹ ундаментальною к

öi¹þ. Âîíà

ясню¹ експеримент незалежно вiд наших iл со -

ñü èõ òóðá

ùîäî

датностi людини картинно уявити онцепдi¨ в

êöi¨ìi ðîñâiòi.

Спираючисьпередньна åçуль ати дослiдiв, с ормулю¹мо перший i

основний постуëàò

квантово¨ механiки.

ïð

âî¨ çìiííî¨

ψ залежи ь вiд

Áîðí,ñòi

ходженнят

части

Величинаруватиоколi точки

2

dx

äîðiâíþ¹

x

t.êè

|ψ(x, t)|

момент часу

(Мжливими. значеннямир.). Якщо проiнте

величинуx

t

1926

диницю,

âñiìà

êà äåñü

отрима¹мо

знаходитьс

в просторi:x, ìè

î

тобто частин-

Z

|ψ(x, t)|

2

dx = 1.

ßêùî

iнтеЦя рiвнiстьрал не ма¹iсну¹,назвуто умови нормування хвильово¨ ункцi¨.

Однакперебуваннявеличи

ψ(x, t) 2 íå

¹ змiсту густини ймовiрностi.

îñòi

частинки| 2 |

òî÷ê 2

çìiñò âiäíîñ î¨

|ψ(x1, t)|

àõ ìà¹

/|ψ(x2, t)|

x1

àíó ,

нийда ймовiрностiзмiстiвнозвеличиничним

x2

, аботермiнопрстоi хвильамплiтуовада ункцiя.що¹термiнiдбив амплiту¹iзич-

збiга¹тьсункцiяiззакономψ.äîÇ даванняó àãè íà

величинуäîäà àííÿ

ä

åкторiв,щозакон

òðèвимiрномунатах залежитьпросторi,вiдназиваютьтохви-

льоватакЯкщожвекторомчастинкавстанудекартовихруха¹тьс. коорду

ψ

44

x,

y, z,

в околi точки

2 ¹ густиною ймовiрностi перебування

частинкивелична |ψ(x, y,

z;

t)|

де iнте руван яZ Z Z

(x,

y, z). Умова нормування ма¹ вигляд:

|ψ(x,

y, z; tвсьому)| dx dyîá'¹ìódz = 1,

вiдбува¹ться по

2

V

познаха¹тьсчення:частиíêà. Ìè

акож будемо використовуватиV , якомускороченiру-

де радiус-вектор

ψ(r, t) = ψ(x, y, z; t),

нях запишемо ак:r = (x,

y,

z); умову нормування в цих позначен-

ψ(x, y, z; t) çàìiíèòè

арт вi координати (x, y, z) на с еричнi

(r, θ, ϕ) згiдно вiдомими

лами перех ду

x = r cos ϕ sin θ,

y = r sin ϕ s n θ,

äå

z = r cos θ,

отриму¹моθ широтнийхвильовуабо ункцiюполярний ут, ϕ азимутальний кут,

î

êо¨ разом(залиша¹моякобiаномдляпереходуне¨е

ж позначення), квадрат моду ψ(ÿr, θ, ϕ; t)

r2 sin θ до с еричних оординат дорiвню¹ ймовiрностi

|ψ(r, θ, ϕ)|2 r2 sin θ dr dθ dϕ

45

вiртобтоу

Z

dr Z

dθ Z

dϕ r

2

sin θ|ψ(r, θ, ϕ)|

= 1,

стинiльовоюймо-

2

íкцi¹ю,остi,хвильовунеквадратункцiюмодулянорму¹мояко¨ орiвню¹з вагоювiдп. вiднiйОтже,гухв

залежитьУзагальномувiдузагальненихвипадку, будемооор

√

2

ψ(r, θ, ϕ; t)

динатвважати, що. хвильова ункцiя

ψ(r, θ, ϕ; t)

r

sin θ

ступенiв вiльностi,

i

введемо

позначення: , де

s

число

скороченiq1

q2 . . . , qs

бiаномОтже,ду Перейдемоякщоперехперехiд|ψхвильду,(q, t)| dq

Надалi,

Z

q

≡

(q1, q2, . . . , qs),

dq

≡

Z

dq1

Z

dq2 . . . Z

dqs × (ÿêîáiàí),

розумiтикцiяПiслянорвихiдно¨заψ(q, t)

≡

ψ(q1

,

q2

, . . . , qs; t).

ìпiду¹тьсядекартовихзякобiанâiäïîâункцморквадратнийперехдипомндуна.уз

ã

ненiднак,хвильовамибудемоун

2

ою¨,вихуймîîðженийвiрнiстьльдинатовюдинатдотобтоякобiанункцi¹юiншихквапеiдеузагðатехякду.

справжньiдо¨ декартiçîâíiøíiõ

âèõ äíà óíêöiÿ iç çàìiíîþ äåê

òîâè

ê îð

ψ(q, t) ¹

åí

r íà

à

ис. 6. Стан частинки в рiзних iнерцiальних системах вiдлiку.

Згiдно з гiпотезою де Бройля, з частинкою пов'язаний колив-

ний процес, частота якого вiдповiда¹ ормулi Планка:

енер iя спокою частинки. Цим коливанням2 âiäïîâiä๠àçà

ω = E0

/~,

E0

= mc

δ = δ0 − ωt,

δ0

вибраний тут з мiрку-

вань деяказручностiпочаткова.Отже, хвильаза,овазнакункцiямiнус

озглянемо тепер iншуψ = Ce−

iωt+iδ0

.

iнерцiальну систему вiдлiку

ха¹тьсясистемiзiалою швидк стю

K′, ùî ðó

ристовуючиЗнайдемоглежномуча до

напрямку

öi¹¨ îñiv (дивуздовж.рисосi.6).x Зв поглядунапрямку,спостерiпроти

виглядK′,хвильово¨частинкЛоренца:нкцi¨ха¹тьсячастинкиуздовжвxсистемi′ зi швидкiстю v.

перетворення

K′, âèê -

Таким чином, аза

t =

t′ − x′v/c2

.

p1 − v2/c2

mc2

E

p

äå

δ = δ0 −

t = δ0 −

t′ +

x′,

47

~

~

~

цiйенерсистемiiя а

mc2

mv

âiäëiêó.

p1 − v2/c2

p1 − v2/c2

E =

,

p =

Ó

вiдлiкуiмпульсхвильовачастинки óнкцiяштрихованiй системi

ючиУзагальнюючиштрихи,ψ′ = C′ exp −

~ t′ + i ~ x′ ,

C′ = C exp(iδ0).

умовупiзнiшеpr = const

E

p

C

ðiâíÿ

отрима¹моцей резулüòхвильоат наâутривимiрнийункцiю випадок та опуска-

частинкуψ = C exp −i ~ t + i

~ ,

E

pr

яказиопису¹ вiльну

називаютьенеð i¹þ

го,йлящо.ˆ¨

íÿ íÿ

д щеястало¨плоскоюEСтвапевнийiмпухви

p

ò

вилятьдевiдБр

величеюьсом.ментНазва. Цечапоiу¹

-

либуткуними.питàалунняктичноми викповенуðисталимознаñü

ëдощцього

ííÿ. Доормуп

нормува¹ скалярногоцi¹¨

виведеннi

ðiантностi

õ äèмоiнва.зПумови

(1956

к ординати простору Мiнковськогîãî,à

xµpµ = Et −pr, äå xµ

лекспестулатудiв

pµ = E/c, −p)

-

того,енеиловiнахППитанðèi¨щобiзичних. Увекладiмпульсументквантово¨привернутияемоально¨1явищ,.iмовiрнiстьЕвчастинкиумеханiкиазуекту якiановкуановкиухвАароноваагуяскравольово¨.самедобезмежньдичерезБомаiлюструютьункцi¨ракцi¨наведемотонкийазу¹електронiвцiкавимхвильово¨дiю.солено¨д,)декiлькПоосновноготонкимернiнаа4ункцi¨двохмагнiтнiприкла-векторось.Длящiпо.до

ñóíê

ëiíi¨ ÿê ãî íàïð

ленi перпе дикулярно до площини ри

(äèâ. ðèñ. 7).

åðè

ентi ми ма¹мо справу з умовою, що дiа

У реальному ек

солено¨да ¹ значно меншим, нiж вiдстань мiж щi инами.

Таким чином,

перетину еле троном силово¨

ëiíi¨ äó

метрж мала. Отже,

дiя на руженостi магнiтного

ноюелектродинамiки,в ¨наiмпульсуункцi¨електронелектрочастинкивiдсутнябезпосереднявключенпри.озгляньмо,аявностiмагнiтногополяê поля.змiнитьсЯкâiдоморахову¹тьсяядчастинки,азакласхв замiполячнль-¨

H

48

p íà p − eA/c, äå e çàð

A

ис. 7. Зсув iнтер еренцiйно¨ картинки в е ектi Ааронова Бома.

векторний потенцiал поля. Це пðиведе до змiни ази хвильово¨

óíêöi¨:

→ ~

− ~c Z A dr;

тут узято до у аги, щî~

pr

pr

e

таяка(2)

δ =

−~c

Z

A dr

Z

A dr =

~c

A dr,

− −~c

I

e

(1)

e

(2)

e

визнача¹абоза òüñåîÿðåiнтемою раломСтоксаза зàìкненим контóðîì øëÿõiâ (1)

äå

δ = ~c ZZ

H dS = ~c Φ,

e

e

4 I. Îd.SВакарчукелемент цi¹¨ поверхнi. Отже, iнтер еренцiйна к

49à

зсува¹ться i

+ w2 + 2√w1w2 cos

δ + ~c .

квантовацi¨ Висновки,¹величиною,мехаwÿêiÊâàiê= w1

eΦ

вимiрю¹тьсзробивекторнийи:спостережуваля, -перше,потенцiал-друге,азавиявля¹тьсхвиüíими ово¨ я,ункщо

можнащовиводитьелектромагнiтного

-

надпровiднiстьнадпровiдник2. ункцтуваннядин¨ куперiвськихяд(дивмагнiтнийзi.попереднiйелеклятороннiк.приклад):(Ф.вхЛондон,.пар,рисзвеличинами.ролiякi8)1952змiню¹вiдподопор.)-

вiдаютьЗахоплениймiжно¨азунапруженостямиПрикладхвильово¨за

A

δ =

e Φ

~c

хованомуОднозначнiстьконтурузарядпарихвильмага¹,.ово¨щобункцзмiна¨ приазиповномубула обхкратноюдi по доштри-

e = 2e

2π:

кванту¹ться:δ = 2πn, n = 0, 1, 2, . . . . Çâiäñè виплива¹, ùî ìàãíiòíèé ïîòiê

Φ = Φ0n/2

n = 0, 1, 2 . . . ,

iснувт льноелементПрикладннявiдкелементарногокванту1961магнiтногороцiДiрак. . потоку,П.зарядуА. Мякий.величинбувпрекèсперименпутивши

ðнийитий3. МонопольΦ0 = 2π~c/e

Äiðàê,

Справдi,

çàв,ссщо,потiквiн ванту¹ться.

-

за теоремою Остроградськ, огока

€

µ

ашованийпов омусîбхлено¨д,дi навколозмiна лiнi¨ази (струни Дiрака),

уздовжЗ iншогоякбî¨ку,розтпри

ZZ H dS

= 4πµ.

e

50

δ =

4πµ

~c

2π:

àáî

e

4πµ = 2πn,

n = 0,

1, 2,

. . . ,

~c

äå

квант елементарного

магнiтного заряду

(монополь)

µ = µ0n,

µ0 = e/2α,

2

Квантуваннячасуст нелавиявленотонко¨вихровструктури.х лiнiй у. Екснадплинномуериментально

αмонополя=Ïðe /ê~càääî

41цього./137

описувати-4 ¹ прикладоммакроскопiчзбереженняможна,iдеальв аслiдоквихровогою¨рiдхв ни,льсильвоюдляHeру.

è¹ннийюсилу.Надплиннийованостiгелiй,теремаатомiв,якельмгольцагелiйнадпровiдник,

4

орель

хуяко¨но¨Надплункцiскма

значностiω = rotхвильv/2, v

r

ово¨ швидкiстьункцi¨¨¨ азарiдини в точцi

. Ç

îâè äíî-

He) при об одi по вихровiй лiнi¨ ¹

R

2π:

m v dr/~, (m

аса атома

4

кратною до

m

4*

Z

v dr = 2πn,

n = 0,

1, 2,

. . . .

51

~