Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

це рiвняння Максвелла, якi сво¹ю чергою ¹ узагальненням екс-

периме

альних актiв,

ених у дослiдах Ш. Кулона,

. K. Ерстеда, А. Ампера, М. Ф

äåÿ.

Ñòàí

равiтацiйного

олянагромаджзться метри ним тензором

ï¹ростору,айнаункцi¹юiльберттобто4- визнасутностiiу-векторача¹ спосiб ви iрю

ванняякий визнача¹довжин динатметрикукутiв,Мiнк

gik

3

(x0, x1, x2,

ðàâiòàöi¨ çâî

xдяться) криволiнiйоор их мiркуваннях,оординатовськогоякi при вiä

шетiл,рманiпуих наеановленоонцеяквiдiгравтек.цьог

î. ЕтвешаюлярольвстПiсляякийзак рiвняння

â),

ó¨цi¨спериментзагальненняднак(цимдослiдамикороткпринципАйнштуа¹мальноомугоекспериеквiвалХичимаспектпер.запримiвеюйгичин,ядуенса,нтхщоальнихностiивкласичнихiзмомпривелиIще.Ньютона,. iнертнХоча€уст.€актiв,алiлейановленнядоцi.¨рiвнянняних,iзичнихФтiвняння.значною-важко¨Вякийцентра.Бесселя,апрiортеорiйпiзнiотрирухумасмiь

(ct, x, y, z)

-

ï ðåéäiìî äî

÷åí ÿ òèõ

якi описують стан у кван-

механiцi. Iсторичíèé

виникнення кв нтово¨ теорi¨

ис iтлили у

. Ò

пода ьший виклад будемо проводитми

нетовiйiсторичнiй,вступiизна

ë ãi÷íié послiдовностi. Õî÷à

äàëi íå ðàç ùå

iсторичних актiв.

ó ÿêèõ

Звернiмдось до експериментiв з ди акцi¨

будамоспiдтверджена

гiпотеза

ïðî òå, ùî ç

îþ ïî

пучккимиракцi¨в'язанийальстiшимреальнiйПерейдхинокамидженнячастинкинейтронiвелектронамиварундаментхвильовийФейнманявнимантмокриелектроронiвдо.уñò.ПiзнiшеБулиiзичнимлiчтпроцесталiзуовкíiвиконанiпвйдемонстрацi¨öÿî,тонiвкнацихдинокимиекiзiдеяатцi,iзьспериментом,якiйдовжиноюБройляекдуждвiпiдтверспериакабуденащiнизько¨лекцiяхекранiиниексперимедиласьотонами,ентiвхвилiвивчати¹,кий.iнтенсивзелектронiв,мабуть,удвомаозглямайстернодослiдахтобточастинкдивластивостейзщiлиостiьмордослiдипоокцiюйзiз.íàìдиновикоспродиiмнеиз-

Прощений

1

λ = 2π~/p p

-.

àâ .

ñâî¨õ

äëÿ

iде¨ хвильових

÷àñò

знамени их

ç içèêè.

1

Çà

альний вн сок кван ову електро

, ùî ì๠âàæ-

ливе значення для iзикименшлементарних частинок, . Фейнмановi разом з

С. Томона ою

Þ. Øâií åðîì присуджена Нобелiвськдинамiкупремiя за 1965 рiк.

32

Отже, нехай ми ма¹мо експериментальну установку, зображе-

ну на рис. 1, i проведемо на нiй три експерименти.

ис. 1. Експеримента ь

установка для

ення розсiяння хвиль

i

частинок на двох щiëèíàх (щiлини вв жа¹модослiджднаковими).

До лiд 1. Дитячий

д. С очатку розгляньмо експеримент

iз класичними

частинками. Наприкла , це можуть бути кульки

ä

ячого бiльярда. Дж

ло випромiню¹

кульки, що прох дять

через

екранiбiльяре¹струються детектором. Поставимо за-

àííÿ: ÿê

ого, що, вийш вши з джерела, частинка

ïèòрапитьЦiкавоотрима¹мощiлинупровточкуймовiрнiстьстиекнаспериментiстькранi з детекторомспочатку при зак итiй щiлинi 2

МиЗакрива¹мо

x

вийшовшипрохдить

ðåçùiëèíó w1 1i(xпотрапля¹) (див. рисв.2)точкутого, що частин-

теперзначе

ÿ

x

. Çð çóìië

що макси альн

п трапитьповнузточкуджерела,

частинк1 i визназнахпройдеча¹модитьсячерезймовiрнiснавпрощiлинуьчастинокномерщiлиниго,щ2î,1i.

w1(x)

точкуобидвi щiлини i вимi ю¹мокриваз частотоюна риспотрапляння.2. Тепер вiдкр

âà¹ìîó

x

w2(x)

щочерез

першуx

ймовiрнiстьдругу щiлини, потрапля¹того,що

àáî

w(x)

вчастинка,детектор.пройшовшиОчевидно,

додавання ймовiрностей.

33

тобто3 I. О.ма¹моВакарчуккласичнийw(законx) = w1(x) + w2

(x),

ис. 2. Експеримент iз розсiяння класичних частинок.

Äîñëiä 2. Õâèëi íà âîäi. Âèê

àéìî

експеримент iз хви

iòó

. Експеримент

повторю¹мо

в тiй жтепер

. Нехтую-

ÿ

. Наприклад, це

жуть бути хвилi на поверхнi води. Будемо

֏

ди ракцi¹ю на краях щiлини, ми

послiдовнося iн енсивностi

ìiрюв ти детектором iнтенсивíiсть хвиль, тобто квадрат амп

ïðî

2

A1

x

I1 = |A1|

хвильпомПридитькривузакритiйчерез ùii

íуi,11деочевиднопризакриамплiтудаотрима¹моiйщiлинiхвилiкриву2(дивточцi. рис. 3),. що

ëöøà

I2

èн,ситувониюйцiяобидвiенса,виникстаютьа¹,оликолихвильджеробидвiовелазбуренщiлихвиль,iнтенсивностiяiнтенсивнiстьâiäкритiджерелаточцi.Згiä.ноосЗовсiмзалягнеприщiiн-

сумарно¨. Ñó

x

íà

êðàíi

ма¹мо накладання двох хвиль

âiä ðiçíèöi àç

I

æèòü

÷àäåò

δ = δ1 −δ2

екторакудодати.Дляамплiтудиотримання, з якими хвилi прих

дять вiдпотрiбнощiлинисподо-

лише пiсля цього взяти квадрат модуля:

A2 = |A2| exp(iδ2)

i

A1

= |A1| exp(iδ1)

ис. 3. Ди ракцiя хвиль на двох щiлинах.

å

Äîñëiä 3. Äè ðàêöiÿ

елект онiв. Тепер розглянемо

рапля¹ьс тектором. У перш

частинi

ñïå èì

(з критсона,

ùiëèíà 2) èçí ÷à¹ìî çà ÷àñò îþ

елення,електронà â äå-

ç

тобто обговоримо

äîñëiäèõ äæ

Ê. Äåâi

наелектронами,екр зi щiлинами i,(риспi

¨õ

ðå¹ñòðó¹

Л. Дж рмера

Дж. П. Томсона

. 4). Iз джерела

ïî

âу ймовiрностiпризкритiйеперщiлинiîòраплянашогопотрапляння1 отрима¹моелектронакривуточку

x

. Ó

другiйриментекторчастинiкри

w1

w2

вiцiлестерiгкласичнимиягне.зульВиявля¹тьдерпроха¹моза

ймовiрностейобидвiти,.Апершомуздоровомуцещосвощiлиниелюктрондослiдi.глуздочергою.ОднаТобтоспоякз-

шомуечать

ùiëèíè

амикривапершудвi.кривi,Т.повнiстюзакЛогiчносумарно¨абоонякдругувiдкривдодаваннясупеприпуймовiрностi

акiкласичнийщоктрономрезж

перименту

жимособоюдитьелектронзачастинкя,

àòè

-

ма¹спо iнтертерiгав),кцiлее

ðå(пiвелектрона,потранцiйнийОтже,ля¹ характер,деякектордобреякучастинка,зображеноточцiвiдомозщодослiду,нарисункухнiхди. ь нещiлиниw

насту3*

незалежно

ðó¹òüñÿ íèì(öå. Ïiñë¹ äîñëiäÿ цього35з

íèé

xвiдре¹стпопереднього

ис. 4. Ди ракцiя електронiв на двох щiлинах.

поодинокими елект

прохо

через систему двох щiлин

i iксу¹ться детектоðîнами). Багато рдитье

цього

дить до iнтер еренцiйно¨ артин и, аналогiчно¨ до тi¹¨, яку отри-

мували для хвиль

äîñëiäi 2. Ñ ëàда¹тьсповторенняження, що привок жен

наступний електрон зна¹ , у ÿêó точку потðàïèâ ïîï äí , i

якихувибира¹потрiбнодлязя¹тьсриваджерела)першомуми.Статистичний,електронiвЗовсiмда¹.яма¹мо. .закдляòðà¹êòîðiþдослiдiонамможнасебеушу.своЦекласично¨ситуточкупередбачити,тобтомуозналише,частинки,ацiюрозпоряджарактеристики,ча¹,ймовiрнiсакмак,пiдрахункуа¹мощобианiкищобвмовити,айменше,еннiщоразудляякуий,.утвориласьОтже,закониквантовточкунiж,описнашою(кщодляликласичнихекранаНьютона,електронхчастинкпримхою,описуiнтервойåðåарозв'язîчастиннегок,поекранстобторапiéëüíóîêíàà¹

x

вилiтоскнцпiдк -

шукати iншi х

¹ класич

ñêàæiìî,

î ðäèí

а iмпульс, якими успiшно

механiк .

Ос iльки крива й овiрнос потрапляння елек нiв

з дете тором за сво¨ми

ïåðó

àìè

çáiãà¹òüñÿ ç

кривою iнтенсивностi

ùî iíòåð å

ують,актичноце

äèòü

на думку використати для

ймов рностей

хвильовий

äå

ψ = ψ1 + ψ2,

ψ1

того, що електрон потрапля¹ в де-

електкто ,

прохамплiтудапотрапля¹дячищiлинуймовiрностi1,

àìïëiòóäè

ψ2 черезамплiтудащiлинуймовiрностi2.Квадраттого,модулящо

ðîí

детектор

ψ äîðiâíþ¹

äå

|ψ|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 + 2|ψ1||ψ2| cos δ,

δ = δ1 − δ2 рiзниця аз амплiтуд iмовiрностей

ψ1 = |ψ1|eiδ1 ,

Таким чином, повну

iδ2

.

ψ2 = |ψ2|e

éìîâiðíiñòü

закон додавання ймовiр остей

w визнача¹ квантовомеханiчний

ведосувати,вiрментiСаме

w = w1

+ w2

+ 2√w1w2 cos δ.

ренцiйнущiлинуБроартинкé.ля.ПослiдовнiIнакшезниккривупрохiнтернема¹дитьмиеренцiйно¨àмижучи,¹,твердженняiякщоелектрондiста¹моспостерiгженякщвiдвiдмовимосьелектрон,артинки,мо,а¹момикласичнийкрiзьзможемоознанатоякщочноекспериякийобтоiнтерзаконприотмиiк

електронвiдсутностiде

апитеренцi¨äрIнтераванпроходятьеренцiя.ьцюнаскрiзьхвильiнтереренцiйнаймовiрностедоелектронияку

приймемо, щ

ïðîõ äèòü

певний отвiр. Т

ií

дбува¹ться лише тодi,крiзьоли ми

. Ëèøå

ставит

ання: кр зь яку щiлину пройшов

òîìó ðà-

çi, êîëè

íàäà¹

електроновi можливiсть вибрати

дночасно

два шляхми, отри

а¹мо iнтер еренцiю. Весь парадок

у цьому37i

¹, ùî åëåê ðîí íå

я на двi ч стини, на екранi елект

як хвиля. У цьому

розпада¹тьсполяг змiст твердження прî

îðпускулярно

схильнi до

iлосо ських

розмiрковуваквантово¨ь, авлять

àê

çàï

àí

ðîí iêñó¹òься як одне цiле частинк ,

êðiçü òâ

ïðîõ äèòü

îâèé äóàëiçì

стинок мiкросвiту, з яким людський розум

атора,

ли вiн ставить дослзрозумiлiшед ло лiзацi¨

частинки,

àëå ïðè

хвильзмагк

якчаткуоордината, виник ¹ на запи

åê

намагаю

à¹òüñÿ âiä ï

виникнення

ìåõ

÷ ñü çàìiíèòè

éîãî íà ùîñü

. Îòæå,

нiки,хара терис

åë

омучастинки, не мала певного значен

. Ôi èê

ùî

чи електрон потенцiйно

ì๠öþ

властивiсдинатиь, сперименек -

öü

зника¹

артинк . Т бто до цього

åê

ня: чи означа¹iнтерце, щоеренцiйнаак величина,

ÿê

îîð

åë

трона,

ìåíò

ÿâíþ¹ ¨¨? Ó çâ'ÿçêó

öèì

е тприладом,ак егк спростовувати

ви ика¹ лише завдяки його

äi¨ ç

ÿêèé iêñó

ëèøåктрон,лишезрозумiлим

вза¹мояким ми äîñë джу¹мо Природу.

дж ння про те, що закон додаванíÿ àìï

iмовiрностей ¹

трактування,

механiки.

Назва

ïiøëà

òîã , ùî çíà÷

Ми щойно подалирецептом,ак звану

опенг

енськуiтунтерпрет

àáî

Великий внес

ó

творення

öi¹¨

iнтерпретацi¨

àöiþ,Â.

зенбер , М. Бквантово¨рн

творцi

квантово¨ механiкзробили, днак саме

Í. Áîð ç éîãî

перек

áóâ

íàéáiëü

ною мiрою ¨¨ творив Нiльс Бор, який

ацюввiд

Копенг

åíi.

îñï

дь Богавторитетомне г ¹

остi цей вислонуватиА. Айнштайна пе

ç

рихильникiст звано¨ теорi¨захисникздатнiстюованих пар метрiв. Суть ¨¨ поля

øèì ¨¨

iíøi

îì.

i, якi описують

ùî

ам не вда¹ться врахувати всi нез лежнi çìií

ðåäà¹ã â

òîìó, ùî éìîâiðíiñòü

ìåõàí öi ¹ íàñëiäêîì òîãî,

è, òàêi, ÿê

температурквантовiйiншi, ¹ усередненими значен

êâàíтовомеханiчний об'¹кт. Н прикл д,

динамiчнi

величи

ями велич

що залежать

вiд iмпульсiвтермокоординат молекул,

äî

áè

мовити,тиск,х ваних параметрiв, якi не можуть бути вияв-

акими

õ

í,èìè

акАбож ¹якщооординатичастинок,iмпу

.

ëåíi

ди а iчними мето

.

ще раз звернутись

Ìè

просттермооваз мi или

î÷íèé

äàìè

ííèé

через рiвн ння Нью-

онанашогоймовiрíiñíèé

статистичнèй, не бажаючи розв'ÿзувальси

ðiâíÿ íÿ

щораз iншими початковими умовами при

вилiтаннцi

частинок iç

джерелапараметрамидетально

описувати

ïðî iëü ùiëèí, íà

38

яких вiдбува¹ться

.

параметри, яких

Îòæ ,

жливо, що iснують схованi

ìè ùå

å можемо знайтирозсiянняякi позбавлять нас

еобхiдностi

оперуж

àòè éì

äî öü

ацi¹ю хвиль

¨ óíêöi¨.

ä

часу не виявив цихкласичнiх ваних

íå

â

дослiдтак ж жогод ого

спериментального

актупараметрiв,який би су

иявленречив основам

iнтерпреттово¨ механiки. Вiдповiдь

Н. БораОднаквислiв

А. Айнштайнавiрнiсноюць

ê

ñòi

ãîì : Íå íàøà æó áà ïðè

ïисувати Богу, як

éîìó

онтекеруâàòè öèì

.

î¨ íå

Доведення

слiдованих

ìåòðiâñâiòîì

òi

àíiêè

належить Йогано

нутрiшньон Нейману

(1932уперечн.): введення хованих

öå

жливе

без радик

них змiн основквантов во¨ механiки.

рунту¹таль

ñÿ íà

iдсутностiмехдозволя¹ г о

ити про його задовiльний

ði åíü

строгостiня ць

2

. Пiзнiше мипараметрiвще îâ немосьдоведеннядетального об

ã

ð

питан

на основi

Однакзва

нерiвностей

åä

èõ iç

ипущення

iснування с

îâà èõ

. Ê

òü

ì

àíi÷íi

ецепти розрахунку

величин

â

цим н рiвностям, що вказу¹ на внутрiшню

супе ечливiсть

òîâî¨

механiки. На наш погляд, ди ракцiя åëåêò îíiâ

кристБелла,

ë

õ ¹

припущеннi,ямим спериментальним док

õîâ

íèõ

ïà

. Якщо пристрiй зi

хован

пар параметрiввизнасупереч¹, у

якураметрiвку на екранi

ïî

апить частинк

в нашому

äè ðàêöiéíî-

ìó

͔ֈ

то звiдки вiн зна¹, чи закрiзичнихли ми

èí

отворiв, чи

íi?

на запитання можназомшуквiдсутностiати першiй версi¨

òåîði¨äîñëiäi,õîâà èõ

араметрiв,

яку подав сам Лу¨

äå

Бройль у 1925

введеннямвiдповiдьоняття хвилi-пiлота , що

'язана

iç

частинкою

ðîöiâiäïîâiä๠çà ¨¨ ðóõ. Ïiçíiøå öþ iäåþ

Ä. Áîì (1917

1992). Çà

àêîþ

терпретацi¹ю квантово¨ механiки,

òèì

координат частинки

хвилю-пiлотарозвинув¨¨

самим знищу¹

âèìið

про частинку. Особливiстю цi¹¨ теорi¨ ¹

¨¨ нелок

ван я сп творю¹ хвилю,оточеннiяквимiрюваннячен-

ня ¹ нелок

þ,

оча частиíê

ì

бути точно злокалi

ована.

Слабкiстю акiíãîормацiюпiдх ду

òå,

що природа й механiзм çâ'ÿçêó

частинки з ¨¨ хвилею-ïiëîтом залишаються загадковими. А крiм

òîãî, частинкàëüíiñòü

спотворю¹неспост

режною,

експеримен-

2

тор не ма¹ до не¨ прямого

, завжди

ùå

äíà ñïðî-

íàá

хвилю-пiлота. Теор я

хованихдоступураметрiв

нашого

збагн ти

âèù

мi ро вiту ценаштовхуючисьрез звичнi нам

поняття макро копiчного рiвнÿ ç éîãî

ëàñичним л

3

слiдження цих ïîäié ¹

наших наприкiнцiруках, е iнший?

пласiвськин цi

Ïîñò

мисленнябi питання, якi не прийнято ст

÷îìó

ìå

детермiнiзмом (див.

Вiдступ

1

парагра а) .

ми спостерiга¹м

òàêi ïîäi¨,

не iншi? Чому самеавити:

рецепт до-

питанняавиможна шук

i

ак званому антропно

ó

íöèïi, ñóòü

øi

модi¨ вiдбув ються

áåç

. Спробу¹мо

акийясн ти. Приро-

якого

жна с ормулювати

ак: ми ¹ свiдками цихВiдповiдьдiй тому що

äà

à

ористуват

сь амплiтудою ймовiрностi

ç

щоб пiдс лювати е екти поосвiдкiвноких

атомних

дiй за допомогою

великимизапропонувалмакр скоп ч

ìè системами. Ïiä

спостереженнямтим,

iнтер еренцiнцiйний

осiб пiдсилен

ÿ ¹ íàé

Пiдкреслиостiшим

найеконом-

го е екту до рiвня, доступн го спостереженню

î

той необх

íèé çâ'ÿçîê ìiæ

ìi ðîñâiòîì

à

зокрема

-

, що забезпечу¹

æèòò¹äiÿëüíiñòü

вел ких систем,

çóìi¹ìî๠àêèõ

÷iâ, ÿê ìè ç

âàìè.

ìî, ùî öåé

усього

спектра ¨¨ можливих значень енернаприклiя онцентру¹тьсмакросвiпев-

àñ

вами. Можливо,

iнших Свiтах цього

íå

¹,

òîìó

шим. П дсиленняспостерiгри iнтер ере

цi¨ вiдбува¹тьсзв'язкубез дода

îâèõ

íié

ç

виразно зб льшеною спектральною

густиною,

Природавузькiйтутдiлянцi

шляхом. Цiкаво, що цю ари

, лише внаслiдок перерозподiлу,

ä,

åíåð i¨,

îëè ç

витратяк

¹ порiг чутливост

спостерiгача

. ðèñ. 5).

Тперевищуж саме

дбува¹ться при iнтер ере цi¨(дивх иль де

Бройля.

âîíà âèêористнайпростiшимâó¹ кросвiтi для обчислень

довжин

ñóìèðîñâiòi,êòî íèõ

âåëè

èí. Ìè

давно,пiдрахунще з шê льних часiв,

ìiê-

мет ку, яку Природа

вибрала для

у ймовiрностi

квантовом ханiчного закону додавання ймовiрностей

¹ íi÷çíà¹ìîií-

паралåëîã àì ñèë

÷îìóсь менше диву¹мось. Спр вдi, ви аз для

åоремоюЩоПорвиТи,1880якосинусiвслова:розумескували.пут)-бистроуме,вiковi¨,думку. Якщолюдську!ми ма¹мо двà вектоðè

a

40шим,3Тут(IванякнапрошуютьсФранко,

2

2

+ |b|

2

+ 2|a||b| cos( c ).

|c|

= |a|

(дляЧией?iнтерцеЯкщопроснееренцiянагаду¹отиекторинехайквантовомеханiчнийвектори¹паралельними,маютьЯкщоднакзактвониобтоовудодзнabпротидовжинухваннядятьсяàçiймовiрносу азi

вiрностiквадра доквадратæèíè

a = b ),

ралельнi), то

äîâ2

èíè2.

| (антипа| | | -

певний

|c| = 4|a|

2

ìè ìà¹ìî òóò àêîæ

розподiл залеæíî âiä|c|кутвиразу= 0.ìiæÒ

ипадк

вою величиною,сумнiвувекторомсеред ення

íèìaчастода¹b. ßêùî öåé êóò ¹

зника¹. Аналогiя

äëÿ

c 2 = a 2 + b 2

|ψ|2 ç äîñëiäó 3 ¹, áåç

2

|ç|виразом| |

äëÿ| |

, ïîâíîþ. Òîìó

|c|

àìïëiòóäó éìî-

ψ називають

стану.

ис. 5. Е ект пiдсилення при iнтер еренцi¨.

E0 порiг чутливостi

спостерiгача; площi

кривими

мозумiнñâiòóжливостей,ЗвернiмоО електронiв.е,вибралаявластивостiПричомусамеiнтерувагувонацейонанихеренцi¨Природаспосiб¨¨блискНезвичночастнете,макроскелектрона,щоóдля.чербу¹нокВикнашрозв'язупiдопiчнихте,ахункуистовуючимiкроскявнийщона¹шляхунамщiлинах,питанняексперймовiрностейопiчнихнеднаковiневеликийякоговистаментатибухгалтероб'¹ктнеча¹. äнавiемонструявищахщiлиниарсеналкрист.¨кванДиìiêäëÿ¹-.

ракцiяхвильовi

E1(ω) E2(ω)

iчнiй ратцi з ¨¨ атомними масштабами довжин вимага¹ спецi

ально¨ демо

страцi¨.

öiêàâî

îñ åðiã

прояв

т вомеханiч их зак

мiрностей наочно. Такi експерименти бу-

ли проведенi

60-

роках XX ст. Вони

пiдтвердили результати

розрахункiв,

âèê

на основi рiвняння Шредин ера: як i для

41