Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Z v dr = 2 Z Z ω dS =

2π~

m

говихроварухуопленамiнiмальнийвихровоюрадiуслiнi¹ювихрового.Звiдси

dкiльцявиплива¹,S елементщодляЕповеректуговхнi, що

îçå ñîí,

1/2

iзолятора,зьмемоПриклдвàстворюючидкуски5. надпровiдникДжтунельнийозе сонаiбар'¹р.з'¹дна¹мо(Бшвидкiсть. Д(див. Дж.¨х.рисчерез.9). тонкий1962 .)шарВi-

a = (~/mω)

ω

ис. 9. Е ект Джозе сона.

Фази хвильо их ункцiй спарених електронiв (куперiвсь их

Вирiвнюванняпар)

âазорюютьсяунаслiдокразомтунельногозi ств реннямеектунадпровiднивиклика¹тунеêiâ-.

δ1

δ2

льний струм: ут

Якщо до контактуJ = J0 sin δ,

δ = δ1 − δ2.

прикласти

рiзницю потенцiалiв

включенняза хвильово¨поляункцi¨зiскалярзмiíю¹тьсяимпотенцi.У класичнiйлом

електродинамiцiV , òî à-

E → E − e ϕ, вiдповiдно до цього àçà

ϕ враховують замiною

E

E

e

e = 2e.

~ t →

~ t −

~ Z ϕ dt,

Для стало¨ рiç èöi

потенöiàëiâ

= ϕ1 − ϕ2

V

íàáiã๠àçà

(−e V t/~), à òóíельний струм

52

J = J0 sin δ −

e V

t

~

мiрюванняруватиундаментальнувипромiнюваннярiзницiчастотиконстантуе ект частотоюпотенцiалiвω = 2äàëèeV /~змогу.Пр цизiйнiвизнавимiрючити

-

íйрiакек.помiтитирiвнiвñвопериментальнихтю,.частинкиТомуякатомарiзнприпривцi:воднюзаперестановцiåлаоднаковихдоузготоч

цихумовнiстюваньдженняПрикладчастиноклембiвськогоудовсiхтеоретичнихдинадцятивипадках6.мiсцямиТотожнiзсувуповодятьсязначущихрозрахункiвмичастинкиенернеe/повинетичних~ ци. дТотожнiточнi

àöiþ,

|ψ(x1, x2)|2 = |ψ(x2, x1)|2,

x1

x2

à -

íèперестшуiжпевномумиком:умоваситуч

í

алиОтже,ьово¨частинокхвильоваприункцi¨вiд.ладах,Цявихiдно¨.вихiднуумоваТуколткцiямизначноточку:ма¹моприазовимпереставлеслабша,тутдещохмнодiмижпоi

ля¹моднознашляхутинкаминiжчастинкимичностiкможповертудинатипопереднiххвивiдрiзнятись.

nðiâíþ¹= 0, 1 2,

.для. . абопарнихδ = πn. Таким чином, азîвий множник до-

(+1)

n i (−1) для непарних n:

iδ

Повторна

перестановка поверта¹ все на сво¨ мiсця:

ψ(x1

, x2)

→

ψ(x2, x1) = e ψ(x1

, x2).

дикальноза±собоювiдрiзнщоглибокiнезмiню¹ються,

iδ

2iδ

Ç

однозначностi хвильово¨ ункцi¨ знаходим , що

ψ x2

, x1) →

ψ(x1

, x2) = e ψ(x2

x1) = e ψ(x1, x2).

частинок,

2δ = 2πn,

íåзСиметричнаак

, x2).

ψ(x2

x1) = ±ψ(x1

тисиметричнахвильоваермiун-частинкцiя ластивостiоп су¹( ермiбозе-частинкини). Цейåðìiîíiâ(бозоневи и),нийа

наслiдки:.квадратЯскравиммодуляприкладомхвильово¨бозонiвцьогоi ¹ункцi¨,рiдкий тягра-

ïðåìiÿáîçå-

ðiäêèé

4

He,

який склада¹тьс

iдкриттяльнотiлах)з Л.якЕсакiстудентаI.-ЖиверомHe,дипломникатомиуякогозаКембрiдосл53¹-

äæення5i Б(Нобелiвс.Д.тунелДжозенихсоне зробивектiв1973усво¹твердих.сп

3

ермi-частинками. Черг вий раз перекону¹мось, що ундамен

таль ою величи ою ¹ хвильова ункцiя, а не квадрат ¨¨ модуля.

Íà

зав ршення

цього

парагра а обговоримо питання про

зникнення

артини для

ÿêùî çà íè

прохспостерiгдить електр . При

полож

ня електрона, ск

ìè

àòè àáî,

акше ажучи, визначати, через яку щiлину

за допомогою

îòîíiâ áiëÿ ùiëèíè 1 ó ä ñëiäi 3 ïî÷ òê

-

овима¹тьсяiнтерактуотоном,еренцiйно¨випадквза¹модi¨виникщоа¹вимiрюваннiелектрма¹незîíàчнийазаелектронiв,отономза атомяк( залежитьавiтьимимасштiз мiковавiд

бамиркжiмо,азахвильнкретногоiмпульс):зби

θ

падкзУ результатiонiовоюдодавання

iθ

ψ1 → e ψ1.

азою:iнтерймовiрностееренцiйний доданоксамоусередню¹тьсяу квантовомеханiчномуза цi¹ю ви-

загальногощодоняОтже,Законамплiтудвпливуiнтердодаванняквантово

2π

Z0

cos(δ + θ) dθ = 0.

1

2π

Принципвнаслiiмовiрностейповеазами,перебуватисуперпозицi¨ринципуäiнкуокзника¹багатократногоелектронiвсуперпозицi¨:¹часткбудьовим.-якнакладанвипадкоммiстика-

iзспостереженьеренцiявипадковимиŸ 3ìåамплiтуд.зника¹ханiчного

Якщо квантовий об'¹кт мож

àíàõ

îâè-

óíêöi¹þ

, òî âií æ

перебуватихвильiстанi

змихвильовоюункцiями ψ1, ψ2, . . . , ψn, . . .

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + . . . + Cnψn + . . . ,

декiльк1 Це акосновнийзауваженьомïринцлекснiвигпчислалядiквантово¨тверджень.механiки.

. Зробимо

до нього

C , C2

, . . .

2◦.

Якщорал:дногоiндекси,безмежнощомало,нумеруютьто замiстьани,сумивiдрiзняютьсябудемо матиодинiнтевiд-

3

ψ = Z

Cf ψf df.

◦.

наслiдоктоЯкщо ункцi¨ ψ1, ψ2, . . . задовольняють деякi рiвняння,

4

хвильпр. нципуовi суперпозицi¨:ункцi¨рiвнянняквантовiй.Зввсiдсирiвнянмехвиплива¹анiцi,я, яким¹лiнiйнимиважливийзадово-

рiвняннямильняютьψ задовольня¹

◦. повКоеймовiрнiстьомуiцi¹н анiC1, C2, . . .

âàãó ñòàíiâ ψ1,

ψ2, . . .

дають

величина

2

äîðiâíþ¹ éìîâiðн стi реалiзацi¨ стану

ψn

,

ïîâ-

íà

|Cn|

5

|Cn|2 = 1.

n≥1

X

арiстотелiвськквантовомехра¹цi¨6поляга¹Таким.небудечислЯкщотойчином,описуватихвильовуякебонiчнао¨му,тойлогiкинесутьщодорiвню¹тойстквантоункцiюан,вантовасамийбоi iабодомножитинулевi,омехсiрадикст6зразу.анстеманiчного.альнто,новазбтонавiдмiннаможливихпринципудовiльнеiхвильоватой,вiдксттойомплеккласично¨уперпанiвун.Такснебцiязи

◦Вона спiвзвучна

постмо

ому трактува ню дiяль-

ò

остi людини, яв

ù

подiйзваномуарактерними для постмо

ìiæäèñ

öèïëi àðíiñòþ é визнанням рiвноправностi вс х можливих складових. Цiкаво

íавести ще деякi

, ùî,

äî

дернiстськан но¨

i i

iíøèõ ñ åð

äiÿëü

остi людин

квантовомехпiдштов не

÷ит чiв до дискусi¨.

Îä

iç

паралелiх мосту

îãî ñó

дернiзмуйого нена-

принц

пами сво¹¨ органiзацi¨громадянськ¹

ù

¹ гiршого чи

лiпшого , а ¹ i

øå

(наприклад,

мало¨ чи велико¨спiльствацi¨ ¹

сильницькимитобто рi рий

ятним

¹ iжливо,дне,латiв

друге. Культура Сх дунем

¹ ãiðøîþ, íiæ

Найкраще проiлюструвати дiю принципу суперпозицi¨ на

îí-

кретних прикладах.

ет. Питання про хвильовий пакет,

Приклад 1. Хвильовий

тобто про просторове утворен я, що склада¹ться з

íà

бору хвиль

де Бройля, виникло з намагпакíь надати

i-

зичн му трактуванню

îâî¨ óíêöi¨.

ÿìè

îçã

Бройля з близь ими зна

iмпульсiвляньмо~ групубiля значенняхвильдемо

~

класично¨

очностi

p = k

p0

= k0

äíîâèð -

мiрСуперпозицiйнийвипадок,непереич му бу

вважати,. Насункцi¹ющохвильовийавитимевект

çìiíþ¹òüñ

âíî ïðîìiæêó:

k

k0.

k0− /2 ≤ k ≤ k0+Δ/2,

стан iз хвильовою

нiстьбудемочастотиназивати хвильовим пакетом. Не iксуючи яв о залеж-

ψ(x, t) = Zk0− /2

dk Ck ei(kx−ωk t)

k = k0: Ck Ck0

. У результатi отриму¹мо

ωk вiд хвильового вектора k i з огляду на íåðiâíiñòü

k0, скориста¹мось розкладом:

Äëÿ

iöi¹íòiâ

dωk

êîå

ωk

= ωk0 + dk k=k0

(k − k0) + . . . .

спiльноти

значення

Ck приймемо, що вони слабо залежать вiд k áiëÿ

ψ(x, t) Ck0 e (k0x−ωk0 t)

двомаднi¹¨тi¨хновогокультур,

×

Zk0

− /2

exp { (k − k0)x − iv(k − k0)t} dk

k0+Δ/2

öiéíèéякiсдвохмiжаое-

госьлогiки),з-образсутнос

ùîñü

áФормуХристнакладання,евристичнолюдини,.Можливо,персудженняможуякплетеннямрозклада¹тьсiщоБоголюдиниi-тактобтологiчмех¹творитиè,iàêùíiíòåðiçæìèднаковслення.увНнашогоособливння,ренцiя,прскладовi,ундаментi.тиставленнядоводятьсщомозкууможливлю¹обд¹ причи,християнськàÿêiðîâàiíòåðнаведезапускантиномiйзасобамиоюеренцiйнимвиникнелюдинiяскравiо¨ютьзвакласичнрелiгi¨(яко¨тняприкладипротирiччяóï¨тивнороблемищодоерп

.

ì

ëþäå

разно-логiчний ст

ì

енерувала

iç öèì

двох культур,Читворчiсть яких

çîâñiì

íîâå, ùî

ÿ íà

à ¹

е ектом.

56

−

Тут уведено позначення= C ei(k0x−ωk0 t)

2 sin (x

− vt) 2

.

k0

(x

vt)

З умови нормування

v = dkk k=k0 .

dω

знаходимо

Z−∞ |ψ(x, t)|2dx = 1

∞

Z

(

∞

2 4 sin2

(x − vt) 2

|Ck0

|

x

−

vt)

2

dx

−∞

2

∞ sin2 y

2

Отже, стала = 4|Ck0 |

2 Z−∞

dy = |Ck0

| 2π

= 1.

y2

нормуваннÿ

Остаточно хвильовий пакетCk0

=

√

1

.

2π

íàéá

iëü

øîþ

(x

vt)

ðà iê óíêöi¨ψ(x, t) = r π2

e (k0x−ωk0 t)

sin (x −vt) 2

.

−

òèíêè

v = (dωk/dk)k=k0 . Äëÿ âiëüíî¨ ÷à -

льовимОтже,пакетом,ймовiрнiсть¹

перебування2 зображенийоколiчастинки,найогорисцентра.10що. опису¹ться хви-

|ψ(x, t)|

рУ зподiлзв'язкугустини,зцим булинаприклад,спробиx − електронvtтрактув= 0. à иу перехвиль

о торiвийзапакетзаконякм

орi груповою2. Справдi,швидкiстюцентрхвильового пакета

ñóâà¹òüñÿ ó ïðîñ

|ψ(x, t)|

p2

~2k2

~k2

E =

=

,

ωk =

,

57

2m

2m

2m

костiзатюОтже,клТч

v =

dk k=k0

=

m

= m .

dωk

~k0

p0

-

øâх хвильдкiстю,овогодеБройлящопакетадорiâíзбiгрухю¹а¹тьскласичнiйя зiрiвномiрношвидкiс

àчастинки:груповачнимчином,.закономшвидкiстьцентрзi

ω/k залежить вiд довжини хвилi λ =

2величинπ/k. Тут ми не вловили цього

внаслiдок розкладiв

муватихвилi

ωk

Ck

маютьо,частотимiж.можнаiншим,вхопитищоелектромагнiтнi, якщо ор-

вакуумi

озпливання¨хточнимдисперсi¨хвильових.виразомЗауважинедляпакетiв

58

ωk = ~k2/2m (äëÿ âiëüíî¨

части ки) i з необмеженим

ом змiни хвильо ого вектора

k

, але зi швидкоспадаючимипромiжкое iцi¹нтами

Ck

ïðè

великих вiд-

хиленнях

îбто тих, якi визна

головний внесок

iíòå ðàëè çà

k0

òåïåð

çàìiíóψ(x, tç) =iííî¨C Ziíòådk e− −

k. Îòæå,

e

−

.

∞

(k k0)2

/4Δ2

ikx i~k2t/2m

Çðîáiìî

рування

−∞

перетворень отрима¹мо:

q = k − k0

i пiсля простих

∞

2

1

i~t

~k0t

ассона:Iнте рування×

викону¹мо з використаннÿì вiдомого iнтå ðàëà Ïó-

Z

dq exp −q

4Δ2

+

2m

+ iq x −

m .

−∞

∞

2

+bx = r

π

2

У результатi Z

dx e−ax

eb /4a,

Re a > 0.

a

−∞

ψ(x, t)

=

Ceipx/~−iEt/~s

4π

2

1 + i2~

2t/m

2(x

vt)2

äå

× exp −

−

,

1 + i2~

2t/m

îðìó,

2

2

ричнуp = ~k0

E äëÿ= ~ комплексно¨k /2m, v = p/mвеличини.Використаймовпередекспонентномутригономет59-

0

множнику,

знайдемо,

величинуа показникуомплекспонентисноϕспряжену= arctgчисельникдо2~ знамеt/mi

,

1 + i2~

2t/m = eiϕq1 + (2~

2t/m)2

2

íаменникi

помножмощо на

√

ψ(x, t)

= Ceipx/~−iEt/~

4π

2

ei(α−ϕ/2)

[4Δ

2

2

1/4

h(Δx)

i]

äå

× e−(x−vt)2 /4h(Δx)2 i,

2~

4t(x

2

а середньоквадратичнеα =

вiдхилення − vt)

,

m 1 +

2~m2t

2

# .

знахЗ умовидимонормування,сталуh(Δx) i = 4Δ2

"1 +

m

1

2~

2t

2

2знову

використовуючи iнте рал Пуассона,

ññiâñüê

|ψ(x, t)|

h(Δx) i

2

покл прикладi,t = 0

C =

1

i остаточно хвильовий пакет (2π)3/4

1/2

ipx/~

iEt/~

e

(α

ϕ/2) e−(x−vt)2 /4h(Δx)2

ψ(x, t) =âiðe

−

−

2 1/4 .

устина йм

îñòi

[2πh(Δx) i]

сере ьо вадратичним вiдх ленням2 ма¹ вигляд

ó

о¨ криво¨ зi

ïî åð äíü

яквiдхилен

h(Δпересувxматимемо) i, ¹тьсяцентрзi хвильовогошвидiстю

ï

Однакета,

ìó

v.

тепер ïàêå

р зпл ва¹ться, як це видно з ормули для

2

ÿié

початкстиовий моментто

÷àñó

середньоквад-

ратичне. Якщо

60

h(Δx)2i0 = 1/4Δ2

i ширину пакета

в областi

t = 0 ëîêалiзувати

çáiëüøó

2

Ширина хвильового пакета в будь-який момент часу

ph(Δx) i0 = 1/2Δ.

t äîðiâíþ¹

äîá

бачимо,

h

s

h

4m (Δx)

0

p

iлюзi¨лiнiйними

1000

i

p

h

(Δx)2 = (Δx)2 0

+

2

~2t2

2

i, ÿê

ïðè

еликих

наш пакет розплиâà¹òüñÿ çt часом зi¹тьсяшвидкiстюзчасом лiнiйно. Отже,

t →Í∞приклад,. якщо елек он момент часу

~/2mph(Δx)2 0

-

уважхвèщодолiмо,нащотрактуваннявзагалiункцiюхвильовимхвильовогопакетомкм!пакетЦеназиваютьрозвiю¹якчас

òбудьинкиНарештi-токякi. нашiплоско¨за

+. Ця система клада-

÷àñó локалiзована у прост рi:

ϕ(x, t), ÿê

певний момент

Приклад

2. Ìψ(x, t) = e−

(i/~)Et+(i/~)px

ϕ(x, t).

лекулярний йон водню H