Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

а потенцiальна енер iя

Т бто виявля¹ться, що U =

2~2a2

x2.

m

через частоту повна енер iя

ω = 2~a/m. Отже, записана

ходимо алу

E = ~ω/2,

з умови нормування зна-

c:

Z∞ e−2ax2 dx = 1,

iíòå ðàë äîðiâíþ¹

|c|2

−∞

Âiçüìiìî

pπ/2aóíêöiþc = (mω/π~)1/4

складнiшу

.

i з рiвняння для не¨ ма¹мо

2

− bx

4

u = −ax

~2

E =

a,

m

U =

2~2

2

6

4

2

2

.

m

4трактуватиb x + 4abx ùå+ (éa òàê:− 3b)x

енерЦей результатi¨ моæíà

для потенцiально¨

умови,рiвняннящоШредин ера

ïóñê2 а¹ точний аналiтичний розв'язок за

~

Ax6 + Bx4 + Cx2

U =

2

m

C âæ

íå ¹ äî

à

2

√

B

A

−

3

ßêùî

C =

.

4A

2

√ 3/4

потенцiали,то точний розв'язок ма¹

за умови, що

âiдомоанiдин.

172маютьжимо,Дослiджуванийщоназвуквазiточнорозв'язупотенцiалдляякихма¹

кiлькаточнийточнихрозв'язокрозв'язкiв,.Заува

-.

C = 0

B =

6A

Z

Z

Приклад. Довести, що середн¹ значен

я вiд похiдно¨ гамiльтонiана ˆ

деяким п раметром

H çà

ˆ

ункцi¨ залежать вiд деякого параметраH, отже, i й диго власеренцiюймозначення, власнi

власнi значення для

λ. Ïðî

рiвняння на

ˆ

H çà λ:

+

ˆ

ˆ

∂ψ

∂E

∂ψ

∂H

Помножмо це рiвняння çëiâàψ +íàH

=

ψ + E

.

∂λ

∂λ

∂λ

∂λ

Z

ψ i проiнте руймо за змiнними q:

ˆ

∂ψ

∂E

∂ψ

∂H

ñàìîñïряженiстю оперˆ

îðà

+ E

ψ ∂λ dq.

Користуючись ψ

∂λ

ψ dq +

ψ H ∂λ dq = ∂λ

ˆ

г му доданку зл ва на

операторiв

ида¹мо його дiюдругимв-

H, ïå å

доданком правiй частинi*.

ðèìóê скорочу¹тьсяостаточно,з що

ψ

рiвнянняУрезульт.атiОтжце,ймидоданоот

ˆ

∂E

∂H

ВiнЦейвiдомийрезульт

етромдливий,мапрî òе,чевищоäíîñåðå, äлян¹ будьзначення-якогоˆ вiдермiтовогопохiдо¨ операторармiтов.

яктпарасправтеор

∂λ

=

∂λ

E = hH .

í ÷ ííÿ öü

операт ра çà

λ орiвню¹ похiднiй вiд с реднь параметром,з

часомат який.Уцьомумидержнiчîãî-

середнiхчасщо цязначеньтеорема нагаду¹ резуiзль

i÷à¹ìî,

çìiíè

дливногодля швидкостiнема¹,λ. Пооскiльки

змiнноюДля.iлюстрацi¨

жливостейt нерелятивiстськiйцi¹¨теоремирозгляньмотеорi¨¹ амiльтонiан не

ˆ

pˆ2

Якщо в ролi параметра

H =

2m

+ U (r).

λ узяти масу частинки m, то отриму¹мо

dE

= −

p2

енеркiнетdm

2m2 .

Тобтоеренцiюваннямсеред ¹ значенняповно¨

i¨:è÷íî¨ åíåð

i¨

частинки знаходимо простим ди-

pˆ2

dE

Цiкаве спiввiдношення

ìîæ2m

= −m dm .

íà одержатè, якщо зробити замiну змiнних

r = λr′, у результатi яко¨

Hˆ =

1 pˆ′2

+ U (λr′),

173

λ2 2m

або, повертаючись у пðàâié ÷àñòèíi äî íåøтрихованих çìiííèõ, отриму¹мо

оператор pˆ

′ канонiчно спряжений до r′. Тепер ма¹мо

∂E

2 pˆ′2

1

h(r′ ′)U (λr′)

∂λ

= −

λ3

2m

+

λ

∂E

2

pˆ2

1

ßêùî çà

∂λ =

−λ

+ λ h(r )U (r)i.

2m

(

λ = V 1/3, V величина

, òî çâiäñè îäåð

вираз для тиску

p = −∂E/∂V )

2

pˆ2

1

океволюцiюназиваютьавленнявiдомо¨ теоремистанувiрiа-

предст, яку

âèïà

уавленнязскiнетично¨галь(1870âå рiвняннерííÿайзенбер.Шредин).енерм наÿ,i¨êâòàякнтовийавелераопису¹чинi

ввiрiалуломчерезчасiсилозглянемосереднiŸ.19.ЦейЮ.. ЕПредстзначеннявираз.Клаузiхвильо¹ p =

3V

2m

−

3V h(r )U (r)i

óíêöiþ,

∂ψ

ˆ

ψяк=дiюψ(q,деякогоt).

опера ора

Еволюцiюову часi мож~

задану=розглядатиHψ,

∂t

якийна хвильмивиберемо рiвним

ˆ

ëåâi,певний початковий моменò ÷ ñó,S

t = 0:

ˆ

ˆ

ψ(q, t) = S(t)ψ(q),

S(0) = 1,

ˆ ˆ

S = S(t) :

ˆ

i~

∂S

ˆ ˆ

ßêùî

∂t

= HS.

ˆ

H не залежить вiд часу, то

Sˆ(t) = exp −

i

.

174

Htˆ

~

âiä

=

X

i

n

Cn exp −~ Ent ψn(q).

-

ïðî

èâà

спосiбутвердивдинльТакийкартинувiМожначасуераспосiбописуункцi¨.ВiдзнпереШрединсебе,будувати.описуТомуàестинаспчимо,лежатьеðàпронаквантсово¨що.дiвiдоператори,акийермiнутчасуîеволюцi¨¹âó мехописнедоречнимназиваютьпранiкуеволюцi¨квантово¨дставленняхвильовiтак,представленнямговорщобсистеми,,ункцi¨ваякийятьсюйдезалежнiстьщеiколивсаметоричнонаякШрекомухви

предст

не будуть залежати вiд часу. Такий опис

ють зображавленнi

ям, або артиною, айзенбер а.

жатьОтже,вiдчасубудемо.Очевâажати,идно,щощо хвильовi ункцi¨ ψ = ψ(q) íå

-

редн¹:Для знаходження залежностiˆ

âiä

ˆ

+

обчислю¹мо се-

1

ψ(q) = S−

ψ(q, tчасу) = Sоператорiвψ(q, t).

hA

=

Z

ψ (q, t)Aψˆ

(q, t)dq = Z (Sˆ ψ (q))ASψˆ ˆ

(q)dq

Отже,ункцiями,можемо=

Z

ψ (q)S ASψ(q)dq = Z

ψ (q)A(t)ψ(q)dq.

ˆ+ ˆ ˆ

тепернняˆ

операторзахвильовими

незалежнимирозраховувативiд часусереднi. Однакзнач

лежить вiд часу i ма¹ вигляд:

ˆ

A çà-

представлення айзенбер а. Приймаючи, що

Aˆ(t) = Sˆ+ASˆ ˆ = exp

i

Aˆ exp −

i

Htˆ

Htˆ

~

~

но вiд часу, вiзьмемо похiдну за

ˆ

A не залежить яв-

t:

ˆ

i

i

Aˆ exp −

i

dA(t)

=

Hˆ exp

Htˆ

Htˆ

dt

~

~

~

i

i

Aˆ exp −

i

i

i

176

−

exp

Htˆ

Htˆ Hˆ

=

Hˆ Aˆ(t) −

Aˆ(t)Hˆ .

~

~

~

~

~

Àáî

раторiв

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

= A(t), H

зенберцеОбчислiвнянняа,èìîáðавширухуматрè÷íiäëÿ= цьогоопел−

HA(t)

dA(t)

A(t)H

dt

ментивласнiоператораупредставленнiункцi¨ˆ у представленнiˆ айзенберай.-

å

~

{

}

ˆ :

H

i

i

Amn(t)

=

hm|Aˆ(t)|ni = hm| exp

Hˆ t Aˆ exp

−

Hˆ t |ni

~

~

= exp −

i

i

Ent hm| exp

Hˆ t Aˆ|ni

~

~

exp −

i

X

i

=

~

Ent k

hm| exp

~

Ht |kihk|Aˆ|ni

i

X

i

=

exp −

~

Ent k

exp

~

Ek t δmk hk|Aˆ|ni

Îòæå,

=

exp −~ Ent exp ~ Emt Amn.

i

i

де частота переходу

Amn(t) = eiωmntAmn,

позначимо

ωmn = (Em

− En)/~,

ìè

крапкою,

а похiдна за часом, яку

˙

-

i¨як.матрицiЗупинимосьПредставломувантових¹нелишвводивзнаючисистемннячастинащевза¹моайзенберунечасiдномуповноговводячидi¨ здiйсню¹тьсïðакгамiльтонiанаомiжномуизваномупоняттяпобудовiя предсоператоромматрично¨особiавленнiораопису.квантово¨еволюцi¨,вза¹мо

удцмеханiки,Цi

Amn(t) = iωmnAmn(t).

ˆ

ˆпредставленняˆ

âçà¹ìîäi¨

177

Оператор12 I. . Вакарчукеволюцi¨, що творитьH = H0 + V .

(t) = exp −

çалежнiсть

ëУежатььовць

S0

~ H0t .

î¨мувiдункцi¨представленнiчасу:наоператори:ˆ не вся часоваiоператори,ˆ

хвильовiпереведеуíакцi¨зхвиза-

ˆ

dA(t)

ˆ

ˆ

äëÿ

ëåííi

σˆ(t) задовольня¹

ðiâняння, яке виплива¹ з рiвняння

де оператор у представ

dt

âçà¹ìîäi¨= {A(t), H0},

+

i

ˆ операторˆеволюцi¨

ˆ

ˆ

ˆ

ПовнийA(t) = S0 AS0

= exp

~ H0t A exp

−~ H0t .

е оператор

ˆ

ˆ

S(t) = S0(t)ˆσ(t),

аномчдi¹юсу,. якОтже,вза¹моiσˆ(tгайзенберу) здiйсню¹представленнiеволюц

iþ

iвськомувза¹мопредстчасi,дi¨операториякзумовленаалезалежатьгамiльтонiвза¹мовiд

ˆ

авленнi,

S(t):

∂σˆ(t)

ˆ

~ ∂t

= V (t)ˆσ(t)

ОператорVˆ (t) = S0+Vˆ S0 = exp

~ Hˆ0t Vˆ exp −

i

~ Hˆ0t .

ˆ

рiвняння

H0

ð

H0

залежнiстьдi¨: хвильових

ункцiй вiд часу зумовлена опе-

тором;

ˆ

ˆ

ψ(q, t) = S(t)ψ(q) = S0(t)ˆσ(t)ψ(q),

ψâç(q, t) = σˆ(t)ψ(q),

∂ψâç(q, t)

ˆ

у випадках,вiдомим,к-

наближПредстрозв'язокавлення за¹м~одi¨Шредизручíîí=еравикористовуватиV (tç)ψоператоромвз(q, t).

∂t

розв'язку задачi з повним гамiльтонiаном

ˆ ¹

енi методи.

ˆ

H застосовують

Ë À Â

IV

НАЙП ОСТIШI ЗАДАЧI КВАНТОВОˆ МЕХАНIКИ

Ÿ 20. Частинка

безмежно

прямокутнiй потенцiальнiй

ÿìi ç

стiнками

озглянемо ух

частидновиìiðíiвисокимий днов мiрному прямокутному