Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

áóòü, ñàìå òîìó, ùî â íié ¹ ÷óäî é à ñ

Божественно¨ п

ïîð-

вiдношеннi зол

ò ãî

,

вiдношення основiншiр вносторон iх

ö ¨

æíà ñò

íà ïåíò

перетèë๠äâi

¨¨

ó

¹ìîпропорцi¨,структурестетичндоперерiзу¨хатаграминашiйякiттiвздалекiявищ,доволеннядорiвню¹пiдсвiдомостiдепроявля¹тьс.спог7 яданнязолотийдисонанрiзогопе

рерiз,манiтнихтрикутникiвМидночастримуспоруд,зiрки

1/Φ

-

õ

ектурнлиполишерослдлядразникбутя,оадi¹нуонкретно¨геометричнихйякрiзно¨спорудахдепресивнуамивсеохопнийзапуска¹,оптимальнепевно¨ормисистеми. . . Такакдiювсиметрi¨îпринцплощi,нструкцiй,.велдляМожливо,загадковаèчинипощадначиотосинтезумiнiмальностiгармалейогокщомiнiмумвитратареляцiянi¨пiдсвiдомостi,,першопричиноюквикликаютьстосу¹ться,льорiврозташувякийсьенерматерiалудеяко¨мiжчиi¨вiдчуттхдляа¹мничиймузичнннзрештою,арактероскiлькимолецьлистямихi

нано¨механiзм,вiдчутсну

Φ

звукiв, якi ¹ на дуж к р ткiй вiдстанi до

дного

à

iíø

âîíè

ктично митт¹в ерекидають нас

âiäìiíó

слова, ùî ï

¹ äëÿ

свiдомленíя певного

÷ ñó.

Ñàìå öÿ

а¹мничiсть джерело зн манiтних

àöié

ò

антазiй,вiд в художнiх

рах зокрема,

що проявiвмiстиа iкдi¨ на

Ë À Â À III

IВНЯННЯ Ш ЕДИН€Е А

Перейд

Ÿ 15. Хвильове рiвняння

до побудови рiвняння, як

опису змiну стан кван-

îâèõ ñèñòåì iç àñîì îñ

вно о, ундаментального рiâняння

åîði¹þ.

Аналогiя з

íîю механiкою вiдiгра¹

велику роль.

Ïî-

ìåõ

механiк

¹ граничним випадк м квантово¨ ме

ки. Почнемо роз ляд iз

з класичною

класичнаквантприспряженимиципомдi¨класичну. змiнними; по-сдруге,стемуцей.порiвнянняˆ¨зв'язстанвеличинипрк¹додатковимiстюзада¹

хквантово¨евристичниманiки,Отжперше,анонiчноолирозгляться

~ → 0

-

системивiльностi)означа¹,. Твердженнящо,задавши(для¨х у деякийстотиповнiстюрозглямомент

часузд даю¹мо ьдинст ступiнь

q,

p

äå

q˙ =

∂H

,

p˙ = −

∂H

,

∂p

∂q

дляелектричногоТаквизначенняелектромагнiтножситуацiяоординатСтанми

q,˙ p˙

просторучасу

÷àñó. Äëÿ

ззнайтичення напруженостейE H, ÿêi

поля вмоментточки

(просторовуt + t намзiннуеобхiдне опису¹мо):¨хнi похiднi часом

t

˙

E (t + t) = E (t) + E (t)Δt,

ïîхiднiля¹ рiвняннязачасом Максвелла,вiд напруженостей:˙ до яких також вхо-

дятьiвняннямилишепершiруху H(t + t) = H(t) + H(t)Δt.

1

4π

−c E˙ + rot H =

c ρv,

1

˙

H + rot E = 0,

c

div H = 0,

òóò

div E = 4πρ,

перша похiдна за часом

момент

t + t,

âiäîìà ¨¨

t:

Тепер необхiдноψзнайти(q, t +

∂ψ(q, t)

ðiâíÿít) = ψ(ÿq,äëÿt) +ïåðøî¨ ïîõiäíî¨t.

за часом вiд

∂t

озглянемо так званий ак iоматичний пiдхiд , тобто с орму-

лю¹мо яд вимог i на ¨хнiй основi

встановимо загальний вигляд

цього рiвняння.

Вимоги.

-

õiäíстаноусистемибулозацечасом,б¹.задаватиНаприíаслiдктодляомлад,двiзнахтого,якбипочаткдженщорiвовiíÿнняумови:йогоповмiстиíiñòþäë дрвизнагунеобча¹по

ψ(q, t)

ψ(q, t)

ψ(q, t) ò

2

∂ψ(q, t)/∂t.

◦.

во¨¹тьсiвняннямеханiкипринципомповинно.Якщосуперпозицi¨,бутилiнiйнимосновнимщодоψ принццяваннялiнiйнадик

èпоммог кваномбiòó

íàöiÿ

ψ1

ψ2 ¹ розв'язками, то i

-

3

ψ = c1ψ1+c2ψ2 àê æ ¹

моментуш к

ого рiвняння.

ункцi¨яння.Зокремаповиннодлязберiгатидовiльногоумову нормóчасу хвильово¨

◦. iâ

Z

t

знахЦеовоюзнача¹,дитисьймовiрнiстющо

|ψ(q, t)|

2

dq = 1.

областiчастинкзадовольнятизмiнибудь-який момент часу повинна

4

ê

перебу а¹q:ввонамежахнезника¹,цi¹¨областiзiстовiдсот.-

5◦

Церiвняння, повинна

хвиля де Бройля.

ˆ

Lна операторлiнiйний оператор. Третя вимога наклада¹ деякi обмеження

ˆ

L. Справдi, ма¹мо:

d

2

ëàñòi

Уважа¹мо, що межi об dt Z визначення|ψ(q, t)| dq =величини0.

часi, тому ця умова ¹

àêîþ:

q не змiнюються

∂ψ

∂ψ

òову¹моихвильово¨загальнункцi¨виглядèé äëÿ ïðîñðiвняннятоти записуi виключимоопуска¹мопохiдн.Далi

завикорисар часомумен

Z

∂t ψ + ψ

∂t dq = 0,

t:

або, вводячи в

першому доданкуˆ

транспонованийˆ

оператор,

Z

ψL ψ + ψ Lψ dq = 0

n

o

Îñêiëüêè óíêöiÿ

Z

˜

ψ (Lˆ + Lˆ)ψ dq = 0.

ψ = ψ(q, t) довiльна, то повинно виконуватись

˜

ˆ

àáî

ˆ

L + L = 0

Отже, оператор

ˆ+

ˆ

L

= −L.

ˆ ¹ антиермiтовим. Увiвши оператор ˆ

L

H:

ìà¹ìî:

ˆ

ˆ

L = H/i~,

−

1

ˆ +

1

ˆ

àáî

i~

H

+

i~

H = 0

156

ˆ +

ˆ

H

= H.

Сталу Планка ми ввели òiëüêè з мiркувань з учностi, щоб не до

д вати промiжних позна÷åíü. Таким чином, ðiвняння руху наби-

ð๠вигляду:

квантовомехли HзагальнийД встлiнiйановленнярiвняння,

äå

Áðîé

4◦. Ïàì'ÿòàþ÷è, ù äëÿ

~

∂ψ(q, t)

ˆ

∂t

äå ˆ

àíi÷íèõйглядсамоспряженийсистемзмiсту.оператораякоператорпису¹еволюцiю.Отже,мивчавñхвилiгiпотезиановистанiв-

де Бройля i враху¹мо вимогу

ˆ

H звернем сь до

знаходимо, що

i~

∂ψ

= Eψ,

∂t

цього рiвняння було ге iальною здогадкою, i 1926 рiк, коли воно

бусво¹ розпорядження iнструмент для квантовомеханiчн го опису

ло винайдене, ¹ великим

моментом ми

тримали

îçâ'ÿç

цього

iсторичнимвисно ки з

их дають

поясни

матерi¨.

âiä ñò

áåçëi÷ åêспериментальних актi

дкого ге

властивостей твердихрiвняннятiл аж до яв щ надп

íí ñòi

íяння Шредин ера. Для цього нам необпочинаючихiдролiзробити лише один

àòîìiâ,

уктури ¨хнiх енер етичних рiв iв,

змогуабiльностi'язку

явища квантова механiкàлiв,у принципi,

яс ю¹ за допомогою рiв-

лiю, надпровiдностi мет

природ

к смiчнхiмiчногооб'¹кт

, склад

èõ

участю бiлкових молекул

ерментiв. Усi цi

крокреакцiйзаписати його для N частинок:

ðîçäiëè,

вивчатимемо,

ïîâ'ÿçàíi

N

∂ψ =

X

rN , t) ψ,

~

~2

j2 + U (r1, . . .

∂t

2mj

− j=1

îñòiðiâàáî-.

ально,

магнетизмОтжвiзуак

âiäíîñ

НенязаПiнакшеуважити,редуОФактичноерелятивiстськiйнямонакнесiммобезпжщорiвнярелятивiстськiйвсiписуватисередньзакомуаступнiцимняогоквантовiйШрединрiвняннямâèãзя цьогоищ,лядiхдитьтеорi¨ерапов'язанихповнiстю.рiшвидкiстьякiма¹часяннямисво¨зписатитеорi¹юмежiжнасвiтлавжзастосовй.

Урiвноправними

ψ = ψ(r1

. . . ,

rN ,

t).

Вiдступ.

хвильова механiк .

альною назвою

Å. Øð äèí åð îïó

iкував

чотири статтi пiд

ð çìiðèгеометричнаа¹кторi¨еометричнанев ликi

порi няно з певноювiдомлення,овжиною хвилi,

ÿê ïðîáë

власних значень .

тзагмеханiкою. Як-

Квантуванняаналогiя мiж г ометричними

Навед мо його мiркув ння

другого

де прово

Для простоти

механiк

оптик, ли ра iуси кривизни й

почнiмо знезастосовндновимiрного випадку.

дитьсщонеобхiдно розвинути хвильову механiку.

iпотеза де Бройля:

E = ~ω,

p = ~k,

задовольня¹ хвильове

рiвняння:

хвиля де Бройля, щоψ(x, t) = Cei(kx−ωt)

äå

∂2ψ

−

1 ∂2ψ

= 0,

∂x2

v2

∂t2

v =

ω

=

E

ня дляазоваенершвидкiстьi¨

хвилi. Використаймоk p

класичне спiввiдношен-

i знайдемо азову швидкiстьE =

p2

+ U (x)

2m

~ω

~ω

З явного вигляду дляv =

ψ

=

p

.

p

~

2m[ ω

− U (x)]

одержу¹мо

∂ψ

∂2ψ

=

−iωψ,

= −ω2ψ,

159

∂t

∂t2

дi з хвильового рiвняннÿ, óрахувавши вираз для азово¨ швид-

ток стi, отриму¹мо

∂2ψ

2m

тобто

+

~2 [~ω − U (x)]ψ = 0,

∂x2

за стацiонарнечасом,знаходимозаписðiâíÿiíí

~2

∂2ψ

нестацiоя Шреíàäèðíí åрарiвняння. ПовертаючисьШрединдоерапохiдних

−2m ∂x2 + U (x)ψ = Eψ

так:амiльтона

У загальномуH ¹ нiчимпереiíøèì,ïèшемояк цеоператоромрiвíÿííÿ

∂ψ

~2

∂2

~

∂t

=

−2m

∂x2

+ U (x) ψ.

∂ψ

ˆ

де оператор

~ ∂t

= Hψ,

ˆ

ˆ

~2

∂2

pˆ2

ãàëьню¹мо рiвняння на випадок трьох вимi-

рiв,Миколибез зусильH =óçà−2m ∂x2 + U (x) =

x

2m + U (x).

òðивимiрному

:

ψ = ψ(x, y, z, t)

êèÖå ói

∂ψ(x, y, z, t)

~2

2

за, потенцiщоопису¹льноюрухенерчастинi¹ю-

хвильове рiвнянняпростîðiæнювавполi

¹

~

∂t

=

−2m

+ U (x, y, z, t) ψ(x, y, z, t).

UIнтерпрет(x, y, z, tàöiÿ), а залежить не лише в частинкдоорд

натЦе,а й iд часу t.

-

âильовимия,часвiд

розплива¹тьс. зднак,

пов'язана

овiда¹ак ми,якдiйсностi:показу¹зякимихункцi¨äîñâiä,ильовийiн ототозаШрединнiпакет. iзеромчасом

160тинки,

ψ

Ÿ 16. Закон збереження ймов рностi. iвняння

Так само, як у класичнiй гiдроди амiцi iсну¹ рiвняння непе

ре вностi для густини маси,неперервностiа ь Максвелла

для густини заряду (тобто закон збереження

заряду), ак з хвильового рiвнян я Шредин ера виплива¹

ÿííÿ неперервностi, яке да¹ закон збереження густини éìîâið-

íîñòi. Äiéñíî,

Äàëi

використовуючиˆ

~2

ðiâняння Шредин ера,

ìà¹ìî,

H = −

2m

2

+ U (r).

∂ρ

∂ψ

∂ψ

1

атораˆ

ˆ

âèãëÿäó

i з урахуванíÿì=ÿâíîãîψ + ψ

∂t

=îïåð(ψ Hψ

−

ψHψ )

∂t

∂t

i~

ˆ

H отриму¹мо:

∂ρ

~

2

ψ

ψ

2

ψ ).

ïîíÿòòÿ=ãóñòèíè(ψ

−

Якщо ввести

∂t

−2mi

потоку ймовiрностi

òî

j =

1

(ψ pˆψ − ψpˆψ ) = −

i~

(ψ ψ − ψ ψ ),

2m

2m

Отже, ми отримали,div jùî= −

i~

(ψ 2ψ − ψ 2ψ ).

2m

11 I. О. Вакарчук

∂ρ

+ div j = 0.

161

∂t