Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

p2

маютьОскiлькипевнiчастинкневизначеннявiльна, тоE =åíåð .iÿ

та iмпульс зберiгаю ься i

2m

p = const, E = const. Координата часòèíêè

x ïîâíiñòþ

чена: всi положення ¹ рiвноймовiрними,

2

2

(скриньки)озiб'¹мовеличиноюпростiр,|ψó(якомуx, t)|

=ðóõ|Cà¹òüñäiëÿíê| =частинкиconst. à, íà ðiâíi îá'¹ìè

L,всiхнехай рух

(äèâäiëÿíöi −L/2 ≤

72

L

îòæå,

eikx = eik(x+L), àáî eikL = 1,

2π

2π~

2π2

~2

n2.

Умоваk =íîðn,мування p = ~k =

n,

E =

mL2

L

L

+L/2

äà¹

Z−L/2

|ψ(x, t)|2dx = 1

результати,

покладемоå,

α е входить

остаточнi

|C|2L = 1

1

eiα,

äå

C = √

L

жнаiзичнiiстютомусунутивисновкидодовiльногоазовий.Отжмножникцяоскiлькинеоднозначнiстьазового.Хвильовамножника,¹ункцiяпринциповою,якийвизнача¹невпли-

тьсянева¹¨¨ αназмоточдовiльний

Таким чином, нормована αхвильова= 0.

ункцiя вiльно¨ частинки

1

ei(kx−ωt),

äå

ψ(x, t) ≡ ψk (x, t) = √

L

k вказу¹ значення iмпульсу (iндекс стану).

73

величиноюпаралелепiпеда з ребрами

L1

, L2, L3

вздовж осей

x, y, z

таормi

Хвильова ункцiя

V = L1L2L3.

хвильовийψ (r,векторt) =

1

ei(k1x−ω1t)

1

ei(k2y−ω2t)

1

ei(k3z−ω3t),

k

√

√

√

L1

L2

L3

частинêè,

V

причому компоненти

k = ik1 + jk2

+ kk3,

iмпульс

2π

nj = 0 ±1, ±2, . . . ,

Lj nj ,

j = 1, 2, 3,

kj =

хвильоваp =óíêöiÿ~k, а частотивiльно¨ ωj

= ~kj 2/2щоm. руха¹тьсяТакимчином,воб'¹мiнормована

1

ei(kr−ωt),

ψk(r, t) =

√V

~

2

2

2

p2

вивченняðíий випадок,властивостейопускàþплоскихчасовийчи хвильмножник:.Надалi

розгПерехляда¹модимостацiонадоω = 2m

(k1 + k2 + k3 ) =

2m ~.

1

eikr.

озглянемо iнте рал

ψk(r) =

√

V

L/2

1

L/2

Z−L/2

ψk′(x)ψk (x)dx =

Z−L/2 e−ik′x+ikxdx

L

=

1

ei(k−k′)L/2 − e−i(k−k′)L/2

L

i(k − k′)

= e−iπ(n−n′) e2iπ(n−n′) − 1 =

0, n 6= n′,

74

1, n = n′.

2iπ(n − n′)

L/2

å

Z−L/2 ψk′(x)ψk (x)dx = δk′,k,

Ôóð'¹

добре

вiдомо, що система ункцiй

Ç òåîði¨ ðÿäiâ δk,k′

= δk1,k1′

δk2,k2′ δk3 k3′ .

óíêöiþ

{âiëüíó. . . , ψk (x), . . .} можна¹повноюзобр(àбозитизамкненою)рядом: . Це означа¹, що до-

+∞

ψ(x) =

Ck ψk (x) =

Ck √1

eikx,

k

n=−∞

L

X

X

2π

Знайдемо кое iцi¹нти розклаk = äón.

L

k Ck Z

Ck через ψ(x):

Таким чином,

ψk′(x)ψk (x)dx =

k

Ckδk,k′ = Ck′.

Z ψk′(x)ψ(x)dx =

X

X

Çìiñò

Ck′ = Z

ψk′(x)ψ(x)dx.

вiрностi того, що частинки,овама¹ iмпульс

2 äîðiâíþ¹ éìî-

Ck: çãiäíî ç ïð

ц пом суперпозицi¨, |Ck |

~ . Îòæå,

значенняхвильовiйiмпульсуункцi¨

ñâî¨ì àð

ументом дорiвню¹можливi

яковама¹ p = k

Ck

Нехай

~k. Ця хвиль

ункцiя еквiвалентна ψ(x).

ψ(x) хвиль

ункцiя вiльно¨ частинки з iмпульсом

p0 = ~k0

Ck = Z

ψ(x) = ψk0 (x),

ψk (x)ψk0 (x)dx = δk,k0 ,

75

1

+∞

δ(x)

=

X

e(2πi/L)nx

L n=−∞

N

N

1

X

X

=

L

Nlim

(

e(2πi/L)nx +

e(−2πi/L)nx − 1)

→∞

n=0

n=0

1

1

e(2πi/L)(N +1)x

=

Nlim

(

−

e(2πi/L)x

+ . . − 1)

L

1

−

→∞

Äàëi, ÿêùî =

1

lim

sin[(π/L)(2N + 1)x]

.

L N →∞

sin[(π/L)x]

f (x) хороша ункцiя9, то

b

1

sin[(π/L)(2N + 1)x]

f (x)

lim

Z−a

L N →∞

sin[(π/L)x]

dx

b

1 sin[(π/L)(2N + 1)x]

lim

= N →∞ Z−a f (x) L

sin[(π/L)x]

dx

= néäå çàìiíà (π/L)(2N + 1)x = ξo

(π/L)(2N +1)b

lim

Z

f ξ

L

sin ξ

dξ

π(2N + 1)

π sin[ξ/(2N + 1)] (2N + 1)

= N →∞

−(π/L)(2N +1)a

öèâiëiçîâàíà ,

+∞ sin ξ

= f (0) Z−∞

dξ = f (0)

πξ

òîìó ùî

Z−∞

πξ

dξ = 1.

похiднi9Термiн(хочахорошайневсi),

+∞ sin ξ

або¹неперервними.

ункцiя означа¹, що вона сама та77¨¨

X

де скорочено позначеноψk(r′)ψk(r) = δ(r − r′),

k

− частинки,

−

−

−

+∞

X X X X

+∞

+∞

X

X

X

≡

≡

n1=−∞ n2=−∞ n3=−∞

k

k1 k2 k3

+∞

78

Z−∞ |ψk (x)|2dx = ∞.

+∞

+L

k′

k

Z−∞ ψk′(x)ψk (x)dx =

L→∞ Z−L

lim

ψ

(x)ψ (x)dx

+L

lim

C

2

Z−L

i(k

−

k′)x

=

L→∞

| |

e

dx

Òóò

=

C 2

lim

2

s n[(k − k′)L]

= 2π C 2δ(k

−

k′).

| |

L

→∞

(k

−

k

)

|

|

′

δ(k

−

k′) = lim

s n[(k − k′)L]

óíêöi¨

(звичайнодельт - у кцiя

L

→∞

π(k

−

k

)

′

цивiлiзованоюДiрак.Справдi,

äëÿ

äîâiëüíî¨

íà ¹

задовольня¹ всi потрiбнi нам

умови) ма¹мово

f (k)

lim

+∞ f (k

)

sin[(k − k′)L]

dk

′

=

+∞ δ(k

−

k

)f (k

)dk

′

L→∞ Z−∞

′

π(k − k′)

Z−∞

′

′

îñêiëüêèlim

+∞ f

k

ξ

sin ξ

dξ = f (k)

+∞

sin ξ

dξ = f (k),

− L

= L→∞ Z−∞

πξ

Z−∞ πξ

Îòæå,

Z−∞

πξ dξ = 1.

+∞ sin ξ

Виберемо постiйну нормування δ- óíêöi¨.

й отрима¹мо

√

2π

C = 1/

+∞

Z−∞

ψk′(x)ψk (x)dx = δ(k − k′)

79

iмпульс

1

ikx

А якщо в записi через

ψk (x) =

√2π e .

p = ~k, òî

+∞

Z−∞

ψp′(x)ψp(x)dx = δ(p − p′),

1

хвильова у кцiя, що норму¹òüñÿ íàipx/~

ψp(x) = √

e

2π~

У зв'язку з повнотою системи ункцiйδ- ункцiю вiд iмпульсiв.

óíêöi¨

{ψp(x)} äëÿ áóäü-ÿêî¨

ψ(x) iсну¹ iнте ральний розклад Фур'¹

+∞

ψ(x) = Z−∞ C(p)ψp(x)dp,

+∞

Величина

C(p) = Z−∞

ψp (x)ψ(x)dx.

iмпульс в околi значення2 це густина ймовiрностi того, що частинкзайвихма¹

|C(p)|

поясненьУзагальнення.Хвильована тривимiрнийункцiяp. нормо ипанàдокна випишiмо без

ñiâ:

δ- ункцiю вiд iмпуль-

eipr/~

ψp(r) =

,

(2π~)3/2

Z ψp′(r)ψp(r)dr = δ(p − p′),

Äëÿ äîâiëüíî¨

óíêöi¨

Z ψp(r′)ψp(r)dp = δ(r − r′).

ψ(r) ма¹мо розклад

Z

80

ψ(r) = C(p)ψp(r)dp,

Повернемось теперCäî(p) = Z ψp(r)ψ(r)dr.

граничного переховипадку

мо його докладнiше. В

дновимiрному

Lìà¹ìî→ ∞ амплiтурозглянеду-

L/2

1

L/2

ipx/~

C(p) =

Z−L/2

ψ(x)ψp (x)dx = √L Z−L/2 ψ(x)e−

dx

Зосередимо увагу на величинi

X

+∞

åíгольцияяко¨.Т.

2

X

2

льного(Див.исчФèõñ-

ëòäî

IIзастосу¹мо..ММ..:КурсНаука,ди|ормулуC1970(pеренциального).| Ñ=. 540Ейлера544):|CМаклорена(pè)|интегр,

p

n=−∞

∞

∞

1

B1

− f ′(0)]

n=0 f (n) =

Z0

f (x)dx − 2 [f (∞) − f (0)] + 2! [f ′(∞)

X

−

B2

[f ′′′(

)

−

f ′′′(0)] + . . . ,

4!

∞

Bговорю¹моk-те числотутумовБернуллiдляункцi¨(B = 1/6 B

2

= 1/30, . . .). Ìè íå îá-

k

1

L

|C(p)|2

= Z ∞ dn |C(p)|2

+ · · · =

Z ∞ dp |C(p)|2 + · · · ,

p

2π~

X

−∞

−∞

p =

2π~

L

У границi

n,

dn =

dp.

L

2π~