Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

r

x

1

1

=

−4~1 √2mE

2 p1 − x2 + 2 arcsin x √r0/r1

√2mE (

2 s

) .

− 2 arcsinr

Цiлком приро= − ~

4

−

r1

1 − r1

4r1

äíî, ùî

r0

кладу за малою

r1

величиною

, тому, зберiгаючи першi члени роз-

r0/r1, ìà¹ìî

D

π

r

e2

r

r0

r0

äå øâèln D0 = −4r1r

−

= −4πZ

+ 8

Z

,

äêiñòü

α p

ормулуЩеa = 1911äëÿ~ /meстало¨роцi, наг. €ада¹мо,ай ервизнатщоДжтут.Неттолm ìà

÷èíà

α-частинки, що вилiта¹ залежнiстьядра,v =

2E/m, à âåëè-

2

2

встановили-частинкиемпiричну.

λ ùî

÷à¹

кiлькостi атомiв

N , якi не розпалися, вiд часу

законi

Âåë ÷èíà

N = N0e−λt.

λ пропорцiйначастинкидоое iцi¹нта прозоростi

D: λ =

Òàêèм чином,дешвмидкiстьотримали,- що

всерединi

ÿäðà

v0

~/mr0.

v0/2r0D,

α

~D0

e2

Якiсоетого,iцi¹нтакузалежнiстьln λ

величини= 4πZ

+ 8

Z

.

2mr02

−

~v

r

a

заквилiта¹да¹зядра,лiнiй

успостерiгализалежнiсть . €айλ вiдер радiтшвидкДж.остiНеттолv частинки,.Хоча¨хщоiй

ëiäîê

âiä

àëå âíàñ

що швидкостi

ln λ не вiд 1/vактивних,lnv

(малими

в дноснi змiни v змiнюються

äóæ

вузькiй дiля цi

томiниуця¹незначвiдмiшвидк

Z

r0

ь зауважимо,длязалежностiщо очавiдспостережувачногоелементiв),розкидзак

емпiрично¨

тинок

Насамкiякiча но¨

остейюсть.

îíñò

íÿ ê

áiëÿ

v ¹ незначними,

днак велик значе -

çначень

ант розпаду1/v

цiй ормулi да¹ дуже широкий

λ.

Ë

 À V

ЗВ'ЯЗОК КВАНТОВОˆ МЕХАНIКИ З КЛАСИЧНОЮ

Ÿ 28. Перехiд вiд квантових рiвнянь

до класичних

Ан л гом класичних рiвнянь амiль онарухуквантовiй механiцi

¹ îïåðàòîðíi

рiвняння, якi творятü

змiст теореми Ерен еста:

ˆ

pˆ

,

x˙ = m

ˆ

∂U

çã ÿäà¹ìî

− ∂x .

ðóõ

нки масою

p˙ =

÷àñò

для простотизробитидновиìiðíèé

полi з п те цiальною енер i¹ю

m ó

ближенняамiльт наíåîáõiäíî

класичнихмо, якi рiвняньдi¨на-

äëÿU =перехU (x).дуУстановдо

x˙ =

p

,

m

ло говорити про локалiзацiю частинки.äiëÿíöiТобтоx

ак, щоб можна бу-

або рiвняння Ньютона

∂x

ó

∂U

операторiвЗрозумiло, що

квантових

рiвнян ях потрiбно перейти в д

хвильовiй xˆóíêöi¨pˆ ä

середнiх значень hx , hpi, визначе их на деякié

малiйянемо хвильову уíêöiþ

ψ(x, t)

,

як зосереджена в достатньψ(x, t). îçã

пакетом. Зокрема, це мож

бути мiнiмiзуючий хвильовий пакет,

хвильовогоетаhx змiнювалосьпакетчасомзазаконне

çìiíþâàëèñü,

(Δx)2

,

h

ψ(x, t) = 2πh(Δx)2i

−1/4 exp ~ hpix − 4 (Δx)2

прикладi

ßêáè

x = x − hx .

пакткуйогоетiввiдбува¹тьсцiря¹тьсядослiдиможначасупроблеiзцентрачасомзаконамоя:.ловагиНехайнадокладнiшехвильовийбпростомутрактуватикласично¨незаданийзадовольня¹.пакетмеханiкихвильовийякiзрухчасомрiвнянняðîç.Однакòåïливанняакетозплива¹тьНьютонанiуперше,почат¨хвиточ-.

ковийльовихся,нiи,озгдругеСпочщоалянеморухмоментпiдк2

|ψ(x, t)|

çìiíþ¹òüñ

t = 0:

äiëó

,

1

ψ(x, 0) = (2πh(Δx)2i0)1/4 exp −x2/4h(Δx)2i0

спро ення викладокh(Δx) óâi0 =æà¹ìî,h(Δx)

t=0.

x

= 0.

мопустимо,ункцiязберiг

2

2

p = 0

Äëÿ

ùî

h

i

h

-

ùî

часома¹характерорма ауссовогопàкет не розпо

,я,i,томубтопоклада¹хвильоваПри

озглянемоψ(рiвнянняx, t) повиннадлявiльно¨

де невiдомi величини

ψ(x, t) = e−ax2−b,

умови:

a = a(t), b = b(t) задовольняють початковi

a0 = a(0) = 1/4h(Δx)2

0,

Хв льоваb

=óíêöiÿb(0),

e−b0

= 1/

2π (Δx)2

i0

1/4 .

0

h

Шредин ера.

задовольнятичастинки:рiвняння

i~

∂ψ(x, t)

−

~2 ∂2ψ(x, t)

244

=

.

∂t

2m

∂x2

− ~ax˙ − i~b =

2

(2ax) − 2a .

êî−2m

няхПрирiвнюючи злiва i2 справа˙

å~ iöi¹íòè2

при однакових степе-

x, ìà¹ìî:

2~

a˙ =

mi

a2,

~

причому при

i

b˙

= m a,

Iнте ру¹мо перше рiвняння:

ðiâíÿííÿ:

0 a = a0 b = b0.

−

1

2~

1

Îòæå,

a

=

mi

t + const,

t = 0, const = −

a0

.

Iíòå ðó¹ìîaдруге=

a0

=

a0

1

2i~

a0t .

2 ~

~a t

2

− m

1 + m a0t

1 + 2 m0

a0 i~ dt

1

2i~

Z

óíêöi¨

ln 1 +

a0t + b0

b

=

m

+ const =

1 + 2m~ a0t

2

m

1

2~

2

i

=

4

ln

"1 + m a0t # +

2

ϕ + b0,

Тепер для хвильово¨

2~à¹ìî:

tg ϕîòð= èìm a0t.

ψ(x, t) =

1

2

m

1

2~

×

exp (−

4

ln

"1 +

m

a0t

# −

1 +

2~a0 t 2

+ iα)245,

a2 2~ tx2

льовувизн

α =

0 m

2

− ϕ/2

2~a0

àза,ча¹моункцiюякузможточмоíжнаiстюнезобразитиврахäî äîâуватиiльно¨виглядi, оскiлькиази. Отже,хвильовогохвильовуостаточнопакетаункцiюхви-

1 +

m t

якого визначаються

середньоквадратичним вiдхиленням

ðîçìiðè

ψ(x, t) = (2πh(Δx)2i)1/4

exp −x /4h(Δx)

i ,

2

2

~2t2

бузлоточнзнайхвильовийîçíàпакетмалим,мствiгорозплива¹тьснепакетпринципомбхiдно,миШрединсконящобзчасомсуперпозицi¨труювалиера..ДляЯквидтого,ра.Наприклад,Тепíiшеощобзмакроскцього(дивмицезпливання.виŸ3)деразуприж,

ванняхвильовийлипершомуйогоТакий

h(Δx) = h(Δx)

0

+ 4m2h(Δx)2i0 .

рiвняння

í ÷åð

дну секунду,

(Δx)2 0

1 A то для електро-

середнимомiжвжциххвильквантаквсквантовiжовимиупнихбулапакетом:ðìîâà)çàiвняння. еньми

dt h

i

m

d

∂U (x)

246

hpˆi =

−h

i.

dt

∂x

ßêùî ó

ïðàâié

частинi

другого

рiвняння

рiвностi

з'ясуватиункцiюяннявеличинарухуумови,.Однакпри якихточака,мiжторiвнiстьмизамiстьвеличинамчиници али

h∂U (x)/∂x рiвстояла

∂U (hx )/∂hx

íема¹i класичнi. Щоб

розкладемо

ðiâняння

викбону¹ться,звичай-

U (x)

ðÿä áiëÿ

è hx ,

U (x) =

U ( x ) + U ′( x )Δx +

1 U ′′( x )(Δx)2

h

i

h i

2!

h i

частинiрiвняння

êâàíòîâi

3!

h

h

x

= 0, знаходимî

d p

U ′′′

( x )

2

днЯкщоданкiвк,тозалишми

h

=

−

U ′( x )

h

(Δx)

i

+

· · ·

.

dt

h i −

2

h

отримцеèòè в¹мо класичнепоправки, якi ¹ малимиНьютоналишеза .умови,першийОтже,щорештадода-

теймиЗапобiгтиiмпульсуайзенберцьому t

квазiкласичностi,

1

2

2

U

′′′(hx ) h(Δx)

U ′(hxi) .

ться,бо,Цяякякщоумова¨¨щеполеназиваютьпереходувiд умоваквантових рiвнянь рухувиконуватимедокласичних,-

самого

2

p

c

äi

2

àíi÷íèé

à величина

U = U (x) плавно змiню¹тьсярозплвеликимиоординатою x

2

бути виконанаh(Δxвиб) i ром¹достатньпорушенаункцi¨малою. Якщо перша умоважучимое

ïîðiâíÿííi

p /2m. Çð

ùî ïðè

через деякий частинкè

U (x) то друга, узагалi к

,

iäокношення невизнаванняпакетаченосня.

ëèøå

розпливаннюбуде. Дiйсно,мозiжнаспiвв

2

2

2

ння друго¨ умовиh(Δxнеобхiднi) ih( p) вел≥ кi~ /значення4 виплива¹, що для вико

h( p)2

íîê

iмпульсу , оскiльки тобточисто квантовомехзумiло,

îòæå,äîäà-i

p =

c

/2m буде малим

h

квазiкласичностi¨¨ ласичноюiнетичнiй енер i¨i¹ючастинки

h

(

p) /2m

pˆ

c

p

−

U (x)) = íå0, працю¹в.класичних

óìîâà

2m(E

точках

повороту,247

Ÿ 29. Хвильова ункцiя у кв

наближеннi.

Ìåòî Âåí öåëÿ Êðàмерса Брiллюена

÷àñ

Поставимо тепер питання: як виг а¹ хвиль

тинки при перех дi до к асичного пису ¨¨ властив стей?ункцiяДл ць

го потрiбно знайти набëижений рî

Шредин ера

â ïîëi ç

òåíöiàëü

åíåðm руха¹тьсi¹ю для дновимiрному

статенöiонарногоiальна енер iя не залежитьШрединвiдерачасу

хвильнас. Уцiково¨

U = U (x)

авитьжа¹мо,ункцi¨розв'язокщопо-

яку ми зобразимо у виглядi

ψ(x),

Пiдстановка цього виразуψ(x)â= e

~ σ(x)

.

Шредин ера

ðiâíÿííÿ

~2

d2

ψ(x)

ëÿ íåâiäîìî¨ óíêöi¨

да¹ таке рiвняння−ä2m

dx2

+ U ψ(x) = Eψ(x)

σ = σ(x):

σ′2

~

похiднi за координатою:

Тут штрихами ми позíà÷èëè+

σ′′

= E

−

U.

2m

2mi

dσ(x)

d2σ(x)

Якщо рiвнянняцьомурiвняннi= σормально′,

поклаñòè= σ′′.

dx

dx2

кцi¨новлю¹моддi¨

амiльтона Якобi в класичнiй~механiцi= 0, то дляприхмовоюдиун

зв'язокпричймовiрностiщовеличинмумiжквантовим¨¨ класичномцеiмïульсисомописомчастинкиiзичнмî¨вою.систЦимункцi¨мимивстадi¨-

Заамплiтудиуважимо,σ

σ′

= p

248

σ = σ(x) ¹ так званою вкороченою дi¹ю.

Повнау

äiÿ S = S(x, t) залежитьрозв'язкуяквiдоординати x,

цiонарнихквiдча

ñ анiв,. У випадку,повнадiяколи

òèìî,t

енер iя зберiга¹ться, тобто для сòà

Перейдемо до Sнаближеного(x, t) = −Et + σ(x). рiвняння для

розкладемо ¨¨

рядσза¹ циманалiтичноюмалим параметромункцi¹ю стало¨:

Планк

~, i

~

~

2

Òóò