Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Нова теорiя вимагала пiдтв

джень. Вих дячи зi сво¹¨ орму

i

ê

експериментальнi д нi

про теплове випромi

à той часзекточнiстюсперименталь

числомiрюваньнуористовуючиМелементарного.ПланкалузнайшовБольцманазарядузвисокою(визначившин

4%

величювання,

èõ

Àâî àäðî

kB, газово¨ стало¨ R = kBNA

ðåçó

NA

ò

числа Ф радея

F = eNA

величи

í

ем квантово¨арного заряду

-

ляження)УОтжнiмецькийпоакть1905ясненнявиконавнаатиуiмецький,патентномуденьроцi.Аросiйський14iзик.тоеАйнштайнтеорi¨грудняiзик.бюектуерц. Фо1900..)Явищеу.Ленардiзик(18791887Бернi,iпотезрокуОроцi.1955),(1899отое.викможнаСтол¹тов.квантiвПершiористякийек.)вiдбува¹тьс.вважавАдослiджпрацювавужвiдкрив.Айнштгiпотезу1888атидаваладнемроцi,енняайн(випадктодiнеПланкòiëîì,першiцьнарочiткексзгогоа

вкдомявищапертом

e

киазав

òå, ùî êâà

òóâÿ

ííÿ åíåð i¨ ñâiòëà

свiтла чорним

òiëü

õ ïîã

âè

у 1926 роцi американський

îòîíiçèê -õiìiê . Í. Ëüþ¨ñ.

акому. Отж

й що квантовiлинан

àçâà

притама нi свiтлу як

íîãî ïîëÿ, õî÷à ñàìà

омiнюванняви икла значно пiзнiше, ¨¨ ввiв

актично було введестивостiпоняття ото

як квант

електромагнiт-

Формулу Айнштайна

швидкiсть,

ïêâiðèâ

m

v

~ω = A + mv2

/2

îливаньведiнкицiУ7.1907експериментатомiвтепло¹мностiроцiмасаА.твердогоАйнштеëьноектрона,.Уважайнмерикантiлаючи,

з стосувавi поясненняйогоькийщовсiгiпотезуiзикнизь.êМiллотемпературно¨вантретельоливаютьi до опипере1912у-

з частотою

N àòîìiâ ê

ñÿ

-

тоелектричного7У 1921вотоелектричного1923iзикроцiроцi-математичнiе,А..дляектуАйнштайн.повно¨Зае дослiдженектубувенер. Мiллiкеновiнагороi¨ня,втiладженийгалузiособливобулаурахуваннямНобелiвськоюiзикиприсудженазавiдкриттелементарнихНобелiвськзаконiвпремi¹юзарязао

22премiядiвважливi

ω0

(3N

− 6)

а тепло¹мнiсть

E = (3N − 6)

~ω0

,

e~ω0 /T − 1

(1882 1970)

2

∂E

~ω0

e~ω0 /T

низьких теìïå атурах,

T

(e~ω0 /T − 2 .

Ïðè

CV =

∂T

V

= (3N − 6)

êÒ1912

T → 0

CV

→ 0

ñлiдтережень.ливанняК ми,рманоцi,¹.(1881ПатомiвсОднак.епД байневим1963),якпр(1884ямуваннясистему. розгНдолiк1966),лядаючи,зв'язанихтепло¹мностiцi¹¨ акаосциляторiвжрi¨вiдмiнуМвипрадо.,Борнвiдповiднонуля,илиiзАйнштайна,згiдночапiзнiше,дототамисподу-i

честерськстот

ρ(ω) = 9(N − 2)ω2/ωD3

âiäìiííà âiä íóëÿ äëÿ

ωj

до деякого максималь-

ного:, розподiленими вiд нульового значе

íÿ

3N −6

~ωj

X

−

àáî

E =

e~ωj /T

1

j=1

(1885 1962),

− 1 dω,

де густина станiв

E = Z0∞ ρ ω) e~ω/T

~ω

ïà

0 ≤ ω ≤ ωD

, а гранична частота Дебая

ωD

раметромяму¹нуляречовинизазак. Тепло¹мнiстьномкубiв,

ïðè

низьких температурах¹iзичним

-

Електро1913çäîтеорiюслiдомвумуцiгiпотезуунiвНiльс.атома,рситетiБäîсмоделiормув Е.лювавшиатомаезер якийEорда.сво¨езертодi,(1871щопостуорчудовода1937),ацювавлати:йпобуузгоджузастосудувавМан

квантовував¹тьс1У

CV

T 3

~ωn′n = En′ − En.

23

iвнi енер i¨ атома

En визначаються з класичних рiвнянь для пов-

íî¨ åíåð i¨

E = −

Ze2

третього закону Кеплера

,

2a

ω2a3

=

Ze2

та умов квантування, згiдно з гiпотезоюm

Планка,

|E| =

~ω

n,

n = 1 2, . . . ,

2

ω/2, íå ω. Ó

льтатi

En = −

Z2e2

äå

,

2aB n2

~2

радiус Бора, i з другого пîñòóлату дiста¹мо правило частот

aB = me2 0.529 A

1

1

äå

ωn′n = R

−

,

n2

n′2

Áîðà

8

. Протягом 1913 1916 рокiв

êâ

ñ îðìó

âàíi

äëÿ

.),

iмпульсу,умовибул узàгальне

íèì, à òàê æ

Ï. Äåáà¹ì

(1913

В. Вiльсоном

(1915

.),

А. Зоммер ельдом

(1916Бором.) для системи з декiлькома ступенями

вiльностi: об'¹м, б-

межений тра¹

òмоментуорi¹ю

азовому

просторiнтування,мiстить цiле число

елементарних квантiв дi¨ h = 2π~:

1

I pi dq = n ~

n = 1, 2, . . . ,

2π

= 1, . . .

s, äå s

число

вiльностi;

q ,

p

àòîìiâ,

ерступенiвельда,

поясндтрокваспряженiлядляíОднакврахуваннянихтуваннянавiтьититонко¨кспектральнихця,орнайпростiшогоБораякдинатидо¨¨уктуриеляназЗомèâàìспектральнихзакономiрають,iiвiмпутсз електричномукихстарасиеатома. Цюосзастосектiвквантоваомаейвобаг(îâóдню)гелiю;оратомiв,валиâiäîìó.механiкелектронагнiтномулазалишалЗоммербагатоеяканонiчноíïèпохмоглаавилельатобезях,ек-

ìiâ

åíü

òå

сивностi

ÿ,

ë íié

.

ùî

ïîòðiáíà

ова квантова те

вже з цих позицiй Н. Бор

с ормулюв

принцип вiдповiдностi, зг д

з яким Вiдчувалось,границi ве

ëèê õ,

îïi÷íèõ

¹êòîðié

частинок

квантова механiк

повиннамакроскперех дити

класичну механiку. Цей принцип був клю-

чем до вгадування

антових ормул.

Поштовхом до

ñòâорення ново¨ квантов ¨ механiки стала

iдея молодого

ранцузького iз

êà Ëó¨ äå

(1892 1987).

де частота ω = E/~, E åíåð iÿ

хвильовий вектор

òiерпретацi¨електронаолово¨цi¹¨прозiстункцi¨орбiтиумоваавленняатомiквантуваннявклз сбувда¹тьсз'ясовБораоюяцiлеàдеякогонийзводитьсячислопiзнiше,хвильовогохвильдонаратого,де-

kБройлящопроцесузi =йшлосяУнаp/öié~îðái... ДляiнЗмiстлише

ψ(x, t)

частинки,

координат):

ðàäió

a (êîëè λ не залежить вiд

тобто

L = ap = a

2π~

= n~,

λ

2πa

ä

ññåìiíàðói еурвида¹иневiвшиментхськоготацiюУлiТодi.òкуьс1925льнеприпущенняцiдея,унiверситетуiде¨1925ерощоБройля,роцiрiна¨¨няннярокуписавАзручну.АйнштзадепрсучуважнесповнаБрознайомивсДебая,сно¨есорматематичнуèâøéляпорадивиЕбагаторозумуiзики.приШрединцьому:гiп,Мùîмнаписанахвильiзикiв.Борновiву,тезоюерПрочитвiн(1887асприймалодевинайшоведрi,вонарiвнянняпрочитатиБройля1961)йтесолiдно!¨¨якзШр..ЦюХочПедиунаб9

ìiíàðiÓ

= n.

-

åð (1926

.). ™ ñïîã äè λÏ.

öå ií

è

Е. Шредин

i, який працював

нього на

êèé, ÿê

áiëüøi

оботу де

. Шредин ер,

ü

iзикiв, негативно ставивсБройля

iде¨ де Бройл

, доповiв цю робоñò

лиш пiсля того, як Дебай наполiг

сво¹му. отуючисьдопов

ãî

, Шредин ер

винайш

ñâî¹ рiвняння.

∂2ψ

−

1 ∂2ψ

= 0,

∂x2

v2

∂t2

З урахуванням виразу для поâíо¨ енер i¨ частинки

ñâî¹äå U (славнозвiснеx) потенцiальнарiвнянняенер10 iя

÷àñтинки, Шредин ер i записав

E =

p2

+ U (x)

2m

∂ψ

~2 ∂2ψ

електронiвського¨основнеIнтерпретацiюункцi¨iзикарiвняння. Фейнi~ ∂t = −

2m ∂x2 + U (x)ψ

ундквантово¨ìàна,ентопису¹теорi¨,ймовiрностi,величинижаб,àëüно¨ яке, закомпозитовисловомцi¹¨теорi¨,мiкрочастиамерiвхвиль. аноцi

поисае

óê

ñüê

нокМаксалах.ПвлТ.упершеакТомсонБорнстивостiбулагруднi1927яке,11на.виявилистворенаЕкспериментальногазах,частинокроцiАбердiнiд1925ак,якКякiрокуневхвиль.Девiссондослiдахамплiтудаваловик(ШдавалиЕова.онавШрединтландiя),квантоваправильндихвильвимiрювзКдиЛ..амзаДжерракцi¨хочамеханiкîермерзнайшоввластивостi¨унняормуливкелектронiвщепазiвкиудаврерiзу.Цiкаво,Ньюрелятивi1921тонко¨уна-Йорку1926розсiянняроцiнахвильщоñò.ðîöi

рiвняння,чаткувi

ψ(x, t)

óðè âî

ëi ié. Ëèøå

сiчнi 1926 ку вiн розробив нереля

Å.

дневихра ви икла мо

посаду

ивiстськ

аближ

ня. Вiдзначимо, мiж iншим, що 1918

а едШреди

тично¨

жливiстьунiве ситетi в

перешк

Н роджтеорня ново¨ квантовАвстро¨УгорськмеханiзайнятипочалосЧернiвцях;iншого ¨¨ ва-

iàíò

i дещо ранiше iзикироботи нiмецького iзика-протеоретикесора

äèâ öèì ïëà àì

çïàä

-

î¨ iìïåði¨.

жувальнихайзенберличин (типу

оординат

перiоду обертання елек

Вернера

íáåð

ÿêó âií íàï ñàâ ó ÷ ðâíi 1925

трона)

будувати мех(1901анiку1976),якiй були б

спiввiдношення

ëè-

øå0 ìiæ

(т пу частотнеспостереперех ду

була присуджена Е. Шредин еровi твеличинамиП. А. Мвiдмовитись. Дiрак .

îêó.

жав, що розумно

квантово¨ механiки.

27

11Нобелiвськспостережувальнипремiя 1954 рокумиза роботи з

1933

за вiдкриття нов

х орм атомно¨ теорi¨

iæ

ñò íàìè,

ïðè öü -

у перквантовимих дi i . п.). Вiн побудувавiнтенсивностiку

хему квант в ¨

ñрук електрÏðîíà,

àтитивн¨чнiормальнувипромiнюванняб'¹ктиiмпу

ìеханiки,iгурували деякiякiй, замiстьабст актнiоординалбр

q

p

матриць,

qmn

матема

pmn

-

якихнавесорнеМцихвиконуються.Бопразомавилахн,якомузПмно.правилаЙВ.женняданомайзенберкомутправвонèàнадiсллапокдляазали,стiiдомихсвiйприщомноженнiматропèцiс, .розпi,дляицi

çадовольняють переставне спi вiдношення

qˆ òà pˆ

тнВхво¨,назвуякеанiки.мЕквiвалентнiстьайзенбердовiв¹численням,Дновимматрично¨.пiс

qˆpˆ − pˆqˆ = i~,

-

iйльберт. ШрединправиломвiдкриттПаквантово¨.звернуЙордан,(1862двохяквантувлись(1926матрично¨1943)квантовихмехнатрапляючидо..)Великий.iкиня,видатЩеква12механiк,.достворилитово¨огоствореннянаматематитруднощiнiматрично¨ехте,ецькогоанiкщохв,якийльово¨зма¹iМìàòхвиль.Борн,тепержвричемаме

цiкавивс

новими iдеями iзикiв (зокрема,

ií äåùî ð íiøå

за А. Ай штайна винайшов рiвняння руху

ðàâiòàöiéí ãî ïîëÿ

порадив ¨м пошукати ди ере цiальне рiв яння, пов'язане

öèìè

iльберта), вiдповiв ¨м, що завжд

êîëè

доводилося ма

ñï

загаль

теорi¨ вiдносностi, вiдомi як рiвнян

Айнштайна

з матр цями, вони виник

ïðè

ахйомудж

нi власних зна

ченьвукрайов х задачах для ди еренцiальних рiв янь. iльберò i

мулювали принци Борн,згiдно з якимнесерйозною,к жнiй iзичнiй величинi

зикиепкував з них саме це

рiвняння знайшов

Шредин

ð.

матрицями,

можли о, знайдетьс

ùîñü

. Однак цю iдею i

не сприйняли, âважаючи ¨¨

ò ïiçíiøå

Ó 1926 ðîöi Ì.

Н. Вiнер, П. А. М. Дiрак,iльб. Вейль

ñ îð

з ставлення

е ¹ простою

процедурою,

питання

днозначностi

âè üñ

âiäïîâiäíiñòü

оператор. Як

з'ясувалось

ïiçíiøå,

àêå

приписуванняi.

iзичним величинам операторiв дискуту¹ться до

У 1927 роцi В. айзенбер

спiввiдношення

невизна

ностей для середньоквадратичних вiдхилень канонiчно спряжче

12

За створення квантово¨ механiкивiдкриватричнiй ормi В. айзенбер

íàãî-

роджений у 1932 роцi Нобелiвською премi¹ю.

28

iâñüê

iзичних

них координатиайзенберq т iмпульсу p:

h(Δq)

2

h(Δp)

2

2

/4.

ресах,ймовiрностейвонаеiопiчногосБройля,це.НашаАйнштайнанепривелодопуска¹логiктапарасвiтубулидоа,i-

диску

≥ ~

нiнiв,евизначеностi

метом

парадок

îí

предметомзичнийIнтерпретацiяоккласичноюго,дольськрмурунту¹тьiзщолюванняживомертзмиiстдиназиñхвильово¨ягкусiй¨¨багатьнаâтвердженнямиима¹моповснакотомбагатьхякденномудипарадоксiв:ункцi¨ракцi¹юШрединогох якпринципутакдосвiдiамплiтудиелектрпаера,боамакроск

¹ùî

Ï

ого озена (1935), якi були

диску

сiй двобою Н. Бора й А. Айнштайна. Оäним iз езуль атiв ц х

ивi тського хвиль

ãî ðiâí ííÿ

äëÿ

якарактезробив ан

ñié ¹ ïðè

öèï

Á ðà (1927ð.): âèìi

þâàí

íÿ iìïó

-å

р етичнихдоповнювальностiпросторов -часових вiдомих

ðистик

Íà òó ïîðó áó

âiäîìå

реленнятивiстськелектрона,антове рiвняння,

ÿê

¹ вза¹модопльсноâíþâ

льними

îïèñi

âîãî îá'¹êò .

ÿ

àï ñòâî

квантово¨

òåî

i¨ вiдкриттям реля

глiйЗавершивський iзикет- е ретик П. А. М. Дiрак (1902 1984) 1928 роцi.

тепер

називають рiвнянням Кляй а €ордона Фока, хоча

âïåð-

значень. Поруге,азувалось,це рiвн

í

ÿ âõ äÿòü

ïîõiäíi çà

å

øå, ÿê óæ

âê

ãó

ãî

â Шредин ер. Во

â öié

òåîði¨

éìîâið îñòi, ù

перше,мож набувати

тому стан системи зада¹тьс

íå

хвильовою ункцi¹ю,вiд'¹мних¨¨

кв нтово¨

àíi

. Ó

запропонувацим Дiракà

дивував той акт

що багатьпомехiзиêстинуiв, тому

числi й Бора, до якого вiн звертавсячасом,

л штовувало Дiрак

äâîõ ï è÷èí. Ïî-

хвильова

êöiÿ

îþ

äà¹i íîþ çà ÷àñ

, що суперлишечитьдругiз альним принципам

вл штовувало це рiвнянçâ'ÿçêó.

квантово¨

Несуперечливе

á'¹äí

íÿ

основних

¨ й релятивiстськ ¨ мехàíiêè Äiðàê

принципiвесподiв ним сптео-

собом добування

ðåíÿ

здiйснотримав сво¹ зн мените

вняння для

електрона. Зквадратногоць рiвняння П. Дiрак

дженню рiзноманiтних iзичних явищ iз розрахункамивинайшовназв основi

паперi позитрон, який

iдкрив експериментально америк нський

Ïiçíiøèé ïåðiîä

розвитку квантово¨ теорi¨ можна

òè êíà

iзик К. Андерсон у 1932 роцi.

праць

були присвяче i дослi-

лькуляцiйним . Тисячi

наукових

29

ун аментальних

ìåõ

iзичних

величин,г

що хар ктеризують ядр , ат

и, молекулианiкит

¨õ

зоподiбному, рiдко

рiвняньу твердîìу станах.

дногосукупностiразу антова

֏

М. Планк

íå

зналаквантово¨ ч.

âå

вантдо

ìåõàíiêè хвильово¨ ункцi¨. 1942

гiпотезарèê íський

iзик-теоретик iчарвдаФейнман (1918 1988) с раму

Àëå ÷àñ

÷àñó içèêè

ïîâåрт лисяЖод

основн ¨

ëював ще динво¨рiант квантово¨ механiки

реззмiстуаке по ття як

îñòi,

лював,¨¨ вигляд

вибира¹òüñÿповертак, щоб

забезпечикласичногоïëiòó

äî

вихунку

ймовiрностi перех ду квàнтово¨ част

íêè ç

äíi¹¨ ò ÷êè

простору

iíøó çà

сiма можливими ¨¨ класични

ðà¹êòîð ÿìè.

iнте рали за шляхами вiд амплiтуди ймовiрностi, виглядрокуÿ

¨ âií

спосту

èõ äÿ÷è

iäå¨ Ï. Äiðàê .

Öåé

ïiäõiä íå ä๠íî

резуль атi , але знову

¹ íàñ äî íiá

òî

ï ä

Насправдi ж використову

знову поняття

ì

äè éìîâið

рiвняння Шредин ера.

-

вченiвартацi¨Подаютьякриптоградольськроскз.íîiãæèâïîòiìУа¹мовузмогуерекидаючиiчнiнамагольклогоåперiод,ртвийiяспедослiджуватимасштозена,пiзнаватиютьсиментальноквантовiякийкiтабиiзикiвзавдякимiкроскзрозумiти,Шредин.можнаТеперiшнiз'явилисяекспомп'ютери,якомуакназваiчнiщозванеаиментперехiдвинайшлинструменявищаакакiявищеальнопринпарахви-поре

майстерично,спо

квантово¨äîспочаткуприродльованесансомльнiСьогоднiсАйншттонкiÿêможливостiункцiя,,длятеорекванттелептобтоявища,айнами

ψ

няття,

Ë À

I

ОСНОВНI П ИНЦИПИ КВАНТОВОˆ МЕХАНIКИ

Äëÿ

Ÿ 1. Опис стану у

вiй механiцi

будь-якого iзич огî об'¹кта необхiдно, як

терних величвивчення. Вибiр цих величиквантрунту¹тьñя на резуль атах

жуть, задати його стан, тобто задати певну укупнiсть харак

äî

У класич

åõ íiöi ñòàí

÷àñò

êè

äà¹òüñÿ ìî

моментча

,

âîíè

змогу визначити всi iншi iзичнi

-

ó

довiльний

даютьчасу, якщо вони

попереднiй

÷

ëiäó. Ñïiââ äí

шення, на основi яких вiдомiзнач ють ¨хнi значеннявеличин

. Завдання науки поляга¹

передбаченнi значень цих

àñòóïíi

часу, називають рiвняннями руху.

сукупнiстюузагварiацiйногоальмоментируху¹узагмиеквiвалеальненихнянняоордиякихЛаатамиоордранжаноèí.атМожнатшвизаäкосаваòейист,антонрiв

слiдксуняннямиожt

q

q˙

моментпрос ногоору

H

полiв. Цi велич ни ¹ ункцiя-

ми оординатпотенцiалE чкиамагнi

сьвекторомомучасупросторi. Так(è. Можначином, полестан

зада¹ться в певнийполя, задаватичасуiвнянняx, y, z4увекторний- t

лярний

ϕ, A), äå ϕ ñê

A éîãî

òåíöiàë, àê ùî

˙

Eñîì,= −A/c−grad ϕ, à H = rot A (крапкою позначена похiдна за ч

c швидкiсть свiтла).

ðóõó

ïîëÿ31