Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

íàì

íiøó âçà¹ìî

квантових

систем. Удоповнювальнуцьому й ляга¹ змiст так з проан го принципу

сштаб

òi¹þ

повнот

ю,iняко¨ормацiюв га¹ класичнавластивостiмех

доповнювальностiнiк з ¨¨ пласiвським детермiнiзмом. Ùå

раз пi креслимо, що

îâà éäå

Бора, що узак ню¹ неможлиâiñòü ïèñó ÿâèù

ñòiëüêè

про вимiрювання

içè÷ èõ

величин, скiль

êè ïðî

дночасне

самих цих по ять до опису явищ

атомнихiкросвiту.

Скажемо декiлькзастосуванняслiв про вимiрювання åíåð i¨. У релятив

тськiй механiцi 4-вимiрному простору коор

÷àñó âiäïîâiäà¹

визначеностей для енер i¨ й часу, подiбнодинатспiввiдношеньî

àé-

спряжений до нього 4-

енер i¨ iмпульсу . Тому повиннi iñ

у ати, згiдно з вимог

принципу вiд осн стi, спiввiдношення

зенбер

для iмпульсу вектами оординати:

те, щоОднакдля iвимiрюватерпретацiя

E

t & ~.

ня енерцьогоi¨ спiввiдношеннязточнiстю

iнша. Iдеться про

÷ ñ

E ментобхiдний певний

говоритиt ≥ ~/ E

àнняЯкввиплива¹певнийпрозадовольня¹вимiрювмомент. Таквиразусамо,ннячасудляенерякчастотинема¹i¨ в коливногопевнийсенсуговоритимпроцесу,часупроне.вимiрюможна-

ñïiâвiдношенd

íi

(d

−

I(α), ñòàí ψ(q), для якого

d

тобто, що

(

рiвнянняA iα

B)ψ(q) = 0,

чкцьогода¹

A +

2 (h

B)2

B) ψ(q) = 0,

ˆ

d

h

C

i d

-

åтння.знакЦерiвняннядлярiвняннярiвностiоператорадляможнауiмпульсурозглядатийкоординатиневизначеностейякрiвнянняда¹ мiнiмiзуючийна .власнiозв'язокзнпа

îñêiëüêè

ˆ

Власнi значення

fˆ = Aˆ + i

hC

B.ˆ

товийнами132 ..ВониВлснiбулистаниf

2h(

d

ˆ

огерентнимиператорЕ.Шрединнеермiстà-.

розглянутi¹цьогокомплексними,операторащевпершихназиваютьроботахцейк

Назва прийшла з праць . €лаубера

4

1960-х рокiв, присвячен

дослiдженню коге ентних джерел свiтла за допомогою такèõ

ñòàíiâ.

Ÿ 12. iзнi представлення станiв квантових систем.

Бра- кет-вектори

значення:

цi¹¨ величини необхiдно

ðîçâ'ÿçàти рiвняння на власнi A1

, A2, . . .

Постави питання: якщоˆ íàì

дано довiльний стан

Aψn(q) = Anψn(q).

отрима¹ значення

A ìè

Äëÿ òîãî ùîá

An? на це питання, обчислимо середн¹

Система ункцiй

hAi = Z

ψ (q)Aψˆ (q)dq.

ψn(q) ¹ повною:

X

òîìó

ψ(q) =

Cnψn(q),

X X

n

CmCn Z ψm(q)Aψˆ n(q)dq

hAi =

m n

X X

CmCnAn Z ψm(q)ψn(q)dq

=

m n

òåîðiþ

X

X

X X

C

2A .

Таким чином, =

C A δ

=

C

m

n n mn

| n|

n

m n

n

Нобелiвсьвнесокуêвантовупремiю 2005hA =ðî

2

джено4За

|Cn|

An.

птично¨ку. когерентностi . €лауберу прису133-

частинки,âiä çìiííèõ

ψ(q), однак зале

Крiм того, з умови пов оти

2.

Свiй внес к у середн¹ значення A величина A да¹ з вагою

Cn

ймовiрностi реалiзацi¨маючи,

h i

2

n

2 äîðiâíþ¹| |

личини

PnA| nnïðè|

вимiрюваннi|

n| iзично¨ ве-

C

= 1. Îòæå,

C

ТакимAговорити,чином,станiψ(q).

завдяки повнотi системи ункцi¨

{. . . ψn(q), . . .}

вза¹мно однозначну вiдповiднiсть мiж авникт

Cn

що числа

ψ(q)

,

житьмо емо

хвильово¨ ункцi¨

Cn ¹ повноважними предст

ìè

óíêöiÿ,

ÿê

. Iнакше ажучи,

Cn

ψ(q)

опису¹ той самий

ан, що йце хвильова

питО же,станняченнязмiдокладнiшеними,довiльнихякихзоглядуiзичнихзалежитьнавеличинйогохвильоваваж.

вiстьозг.лянемоКонкретизу¹можутьцеnáóòè.

ëè÷èíè

ψ(q). Отже, задано двi iзичнi ве-

A i B. Нехай далi

ˆ

AψA(q) = AψA(q),

Вiзьмемо стан

ˆ

(q) = BϕB (q).

BϕB

éìîâiðíiñòü ò

ψA, (щоq), ву цьякому станiвеичинавеличинаA ма¹ з

чення A. Яка

íÿ

B íàбува¹ значен-

B? Äëÿ öüîãî ñòàí ψA(q) розкладемо ряд за ϕB (q):

X

ψA(q) =

CBAϕB (q)

B

Величина

CBA = Z

ϕB (q)ψA(q)dq.

залежитьпревiäставникзмiнних

, отже, цеабува¹дорiвню¹хвильова н-

êöiÿ, ÿê CBA

ψA(q)

ранiше,тобто

CBA

àìïëiòóäi

ймовiрностi того, що iзична

B

величизна

якщо iзична величина

B

значення B,

чення

. óíêöiÿ

Мовою, якою ми писалиA точно ма¹ця хвильоваA

äå

χA(B) ≡ CBA,

ел, щоназиваюописуютьiндекстан системи;ану, тобто це сукупнi ть квантових

A

֏-

óïíiñòü çìiííèõ, âiä

ñ

ñó

яких залежитьB цехвильоваiндек представленняункцiя. Як :

òàê

A,

A

CAB′

=

Z ψA(q)ϕB (q)dq.

Очевидно, що представник хвильово¨ ункцi¨

ϕB (q)

Наприклад,

CAB′ = CBA.

1

â òî÷öi

амплiтуда ймовiрностi знаходæåííÿipx/частинки~

ψp(x) =

√

e

L

вона ма¹ iмпульс

x, ÿêùî

p, à

àìïëiòóäà

ймовiрностi того, що чаñòè1 íêà ìà¹~

ψp (x) = ϕx(p) = √

e−ipx/

значення iмпульсу

L

¹ться,знахашущомову,дитьсярiвн скiльки,правнезображуютьточцiвживаннядного.

цихбку,двохе термiнiвiцi¹нтрозкладу¹виправда-

pим, якщо5Намiзбагвидавоначу

x

Cn

хвильово¨ ункц ¨

ψ

ψn

(саме¹властицейермiностi,

за базисом

властивостпредстпредставникямавлеом абоьПрепрезент.А.М.Дiрак)антомi

просторiщоувiвточнодовжиткувiдповiдаютьавтор¹ ¨¨теорi¨

на говори и, що

ë ÷èíè

ψ. З iншого боку, мож

лi, тобто в

Cn

õâè üîâó ó êöiþ ψ íà iíø ìó

-

мовичностей:.тиученийЗiбраннявченого,.словлогi¨Хочадикувiдсина.шiйчужихIвана.боротисяте,термiн.варварськучимякйде,творiвщобиявiФранкнедокладнiша,слiв,напрзображунеови50сею.зи,вiдiрванихзбуджувалийогонапоетичненнядатомахчахнечнiстьвикликдоказнiшапрацi.iлологзвiдКвiдоглядую.нiякихвитворювати:Iзцi¹¨Науксугестi¹ю,жа,секретiвпоетичнихабовогома¹на.побiчнихмидумка,звичаййогобути.зв'язкпоетично¨отже,набагато1981íàукобравiюука,жиовуто¨.

навестимовою,термi

вплетено

òåðпзначнiстьимворчостi.ньТут31мiнологiю,едси.удявiусьогоадоречноьнiшеСнеоку..можтако¨47)(Iщододнозна¨х. -.Франкмуситьзвичай

âàòè

n

ìîâè,

Òçiâ

135

áà

роль змiнних i роль квантових чисел

рiвноправ

ними, тобто

е, у якому

редставлен

ми працю¹мо.

ßêщозмiннучимо,мибайдужпишемояквiдавленняовiда¹то, ïåâíiéiд змiнноюзичнiйбудемоличинi:розумiти до-

âiëüíó

ψn(q)

q

координатенерпредст

q = r

q = p мпульсне представлення ,

представленняякiзапропонувавт. д.

Ï. À. Ì. Äiðàê

qùå=УведемоE1930 роцi:зручнiетичнепозначення,

кет-вектор (стан, амплiтуда),

= |Ai

ψA

англiбра-ськоговекторслова(стан,

âiäîìi

= A

ψ

амплiтуда)дужка : . Назва пiшла вiд уполовинення

A

h

|

Íåõ é äàëi

h

äóæê i = hbracketi = hbra|cketi.

äå

ψ (q) = q A ,

ψ (q) = q A

= A q ,

A

h

|

A

h | i

h

|

i

1

eipx/~,

1

e−ipx/~,

hx|pi = √

hp|xi = √

L

L

CBA = hB|Ai,

ßêùî çìiííàCBA = Z

ϕB (q)ψA(q)dq = Z hB|qihq|Aidq.

hq2

|A1i

hq2

|A2i

hq2

|Ani

ψA(q) = hq|Ai =

q1

A1

q1

A2

i ...

q1

An

.

h |

i

h |

h |

i

· · ·

· · ·

· · ·

Якщо iндекс стану iксований

m

n

m

1

h

|

i

. . .

. . .

h

|

i

q A

q A

çìiííèõ

A = A1, òî

ˆ

|.A1i

hq2

hüîâàq|A1

=

h

q1

|

A1

.

i

Кажуть, що хви

óíêöiÿ

q

m

A

|

1

i

h

жставленнi,оператораколи в роëi

ψA

власнiу власномузначення цьогопред-

виступаютьзадана

A

З iншого боку,

ψA(A′) = hA′|Ai.

óíêöiÿ

h

|

Îòæå,

hA|A′

=

Z

ψA(q)ψA′

(q)dq = δAA′.

A1, A2

óíêöiÿ

,

значенняматрицеютобто

A A′

= δAA′

A 1

=

h1|1i

=

1

,

137

h | i

h2|1i

0

икладi

h |

i

=

0

.

векторамиУункцi¨подальшомуЗапишемостанiв A 2 =

h |

1 2

h2|2i

1

äiðàêiâñüê. ункцiямихнепознаразченняхбудемоумовузустрiчатисьповноти систеiзциìè

в операторнiй ормiое iцi¹нт

hn|ψi ≡ Cn

{. . . , ψn(q), . . .}, тобто

дамо розклад довiльно¨ ункцi¨

ψ(q) = hq|ψ â ðÿä çà

ψn(q) = hq|ni:

у старих позначенняхhq|êψ

X

óíêöié,

=

hq|nрозкладуihn|ψ ,

n

ëi÷íî

цю умови повноти можна записат. Сèмвотак:-

X

викзобрДiракiвськiеджуюистŸ 13

|nihn| = 1.

-

ямискiлькиоператорiвута.надалiiндексахувикзосеми

íiâ

òî

ористовуннi. еньiзнiлiтер. Пiслявагупозначення¹мопредставленнядля¨хлишекiлькохнарiвнiпоз¹ченьдужевпраголозiзвичайнимиоператорiвхвильовихному:зручнимидонихiндексзвик..позначенМатрицiВониа¹ш,х стаекономнi

n

Дотепер ми розглядали дiю операторiв

хвильовi ункцi¨,

заданi в к

авленнi:

наприклад,оператори

îð

що лежать вiд коор

частинки, тобто хвильовi ункцi¨

áó

â ê

. Îòæå, i

оператораiмпульсу pˆ = − ~ d/dx

-

ëè при перехоордiдинатномудоiнш. гоозгпредстлянемо,авленняякперетворюютьс.Мивводили оператопоняття

â ñòàíi

ˆ

A i шука¹мо його середн¹ значення

ψ(q):

138

hAi = Z

ψ (q)Aψˆ (q)dq.

X

ψ(q) =

Cnϕn(q),

n

hAi =

X X CmCn Z ϕm(q)Aϕˆ n(q)dq

m

n

X X

де числа

=

CmCnAmn ,

m

n

з дають дiю

оператора

= Z

ϕm

ˆ

Amn

(q)Aϕn(q)dq

сукупнiсть чисел

ˆ

A на хвильовi ункцi¨ ϕn(q). Бачимо, що

âàíî¨ âåë ÷ íè

Amn ¹ повноважним представником спос е ежу

áòî ì๠äâà

A

, прич му система значе ь

Amn

åê

(

¹ двовимiðíîþ,

знатички, хоч iн

òîвимiрнимдостоператораь.ТакимМатрицячином,абличкудля обчис

)ннясамiсередньможутьгоþþòüбузначеннябагмат

íàì

m, n

предстцю

Amn. Цi велич

íè óòâ

ˆ

ˆ

ëå íi . A

Amn матричнi елементиоператора A â n

è íåþ

éîãî äiÿAmn ïîâíiñòþ çàäà¹

ˆ

ùîê

âèçí ÷åíà

A

на будь-яку ункцiю. Справдi, оскiльма¹мо,-

ˆ

X

à íîâó óíêöiþ

Aψ(q) =

CnAϕn(q),

n

ˆ

Aϕn(q) знову розклада¹мо в ряд

ˆ

X

i îòæå,

Aϕn(q) =

Amnϕm(q),

m

ˆ

X X

оператора

Таким чином, щобAψзнайти(q) = äiþ

CnAmnϕm(q).

m

n

ˆ

A íà äîâiëü ó óíêöiþ

ψ(q), нам достатньо обч

слити його матричнi елемеíòè Amn139íà

хвильовихтемуЯкщо. Проiндексцюункцiяхсистему говорять як про, щобазиснуутворююсиссистеми,ьемуповнуункцi¨сис-.

{. . . , ϕn(q), . . .}

iндекзаписустану, f¹,неперещонумеру¹внм, тоункцi¨дiю оператораϕ (q) базисно¨

тобто

f

¹мо через iнте рали:

ˆ

A íà óíêöiþ ψ(q)

ψ(q) = Z df C(f )ϕf (q),

ˆ

дiракiвське позначення матричних елементiв

оператора:ДомовимосьAψïðî(q) =

Z df Z df ′ C(f )Af ′f ϕf ′(q).

Ó öèõ

позначеннях розкладˆ

ˆ

Amn = hm|A|n =

hm|qiAhq|ni.

q

X

системою

ункцi¨ ψ(q) = hq|ψi в ряд за повною

ϕn(q) = hq|ni вигляда¹ як

(пригаду¹мо, що в старихhq|ψiпозначеннях= hq|nihn|ψi,

n

X

ðà

ˆ

hn|ψi ≡ Cn) i дiю операто-

A на ψ(q), тобто

запису¹мо так:

ˆ

ˆ

Aψ(q) = hq|Aψi,

ˆ

сiв стану

ˆ

Для неперервнихhq|Aψiíäåê= X Xhq|mihm|A|nihn|ψi.

m

n

Z

Z

140

hq|Aψˆ i =

df ′

df hq|f ′ihf ′|Aˆ|f ihf |ψi.

xp′p

= p′

xˆ p

= dx p′ x x x p

i

h

|

| i

h

|

i

h

|

Îòæå,

=

Z

√2π~ x

óíêöiÿ

Z

2π~

dx.

√2π~ dx = i dp

∞ e−ip′x/~

eipx/~

~

d

∞ ei(p−p′)x/~

−∞

−∞

ßêùî

задана xхвиль=îâàp′

xˆ p

=

~ d

âδ(iмпульсp p′). ому зображеннi

p′p

h |

|

i dp

−

C(p) = hp|Ci, òî ðåçó

тат дi¨ оператора коордиíати ¹ таким:

xCˆ (p) = hp|xCˆ i = Z dp′hp|xˆ|p′ihp′|Ci

Z

iìïó

=

dp′hp′|C

~

d

δ(p′ − p)

dp′

=

(iнте ру¹мо частинами)

=

Z

dp′δ(p′

d

dC(p)

− p) ~ dp′ hp′|Ci = i~

dp .

Отже, оператор координати в

ëüñíому зобраæåííi

d

ноюОператорматрицею:у власному зображеxˆ = i~ííi. представля¹ться дiагональ-

dp

X

X

представленнiНаприклад, матрицяˆ

оператора

координати в

координатному

Amn =

hm|qiAhq|ni = An

q

hm|qihq|ni

= Anhm|ni = Anδmn.

q

hx′|xˆ|xi = xδ(x − x′),

141