Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Фiзична величина

Оператор

Iмпульс:Координата:p; r; x,

y,

z.

Оператор множення: r; x, y, z.

pˆ

= −i~ ; pˆx

= −i~

∂

,

∂x

px

, py, pz.

Îïåðàòор множеííÿ:

∂

Кiнетична енер iя:

pˆy = −i~

∂

,

pˆz = −i~

.

∂y

∂z

ˆ

pˆ2

= −

~2 2

= −

~2

p2

2

p2

2

K =

2m

2m

2m

=

K =

=

px

+

y

+

pz

.

Оператîð

амiльтона

Потенцiальна енер iя:

(ãàìiëüòîíiàí):

∂y2

+ ∂z2

.

−

2m

∂x2

+

2m 2m 2m 2m

~2

∂2

∂2

∂2

ПовнаU (r, t)åíåð= U (iÿ:x, y, z, t).

U (r, t

= U (x,

y,

z, t).

E =

p2

+ U (x, y, z, t).

~2

2m

ˆ

−2m

Момент кiлькостi руху:

H =

+ U (x, y, z, t).

x

y

z

i

j

k

Lˆ = [r pˆ] = i~

i

j

k

,

∂

∂

∂

−

px

py

pz

L = [r p] =

x y

z

,

L

= yp

zp

,

∂

∂

x

z

−

y

Lˆx = i~

y

z

,

−

∂z − ∂y

Ly = zpx − xpz,

L

z

= xp

y

−

yp

.

Lˆy = −i~ z

∂

∂

,

x

− x

112

∂x

∂z

Lˆz = −i~

x ∂y − y

∂x

.

∂

∂

ßêùî àð óìåí

м хвильово¨ ункцi¨ ¹ не декартовi к ордина-

операторiвнаприклад,необхiдносеричнiзробити замiну, то длязмiнних,знаходження

вiдповiднихти (x, y, z), à,

(r, ϑ, ϕ)

x = r cos ϕ sin ϑ,

кiлькперейти вiд

y = r sin ϕ sin ϑ,

наприклад,до оператор проекцi¨зазагаль

z = r cos ϑ,

ми правостiламируху. Знайдемо,

моментуи-

∂/∂x,

∂/∂y,

∂/∂r, ∂/∂ϕ, ∂/∂ϑ

∂/∂z

ˆ

ординатах. Ма¹мо:

Lz у с еричних

∂

=

∂x ∂

+

∂y

∂

+

∂z

∂

∂ϕ

∂ϕ ∂x

∂ϕ ∂y

∂ϕ ∂z

∂

âëàñíi

∂

= −r sin ϕ sin ϑ ∂x

+ r cos ϕ sin ϑ ∂y + 0

−y

∂

∂

1

ˆ

Îòæå,

=

∂x

+ x

∂y

=

− ~

Lz .

iвняння на власнi

óíêöi¨ˆ

òà

∂

значення для нього

Lz =

−i~ ∂ϕ .

у с еричних координатах ма¹ˆ

вигляд:

Lzψ = Lz ψ

де азимутальний кут

−i~

dψ(ϕ)

= Lzψ(ϕ),

dϕ

0 ≤ ϕ ≤ 2π, à ðîçâ'ÿçîê

Власнi значення

ψ(ϕ) = CeiLz ϕ/~.

óíêöi¨

Lz знаходимо з умови

днозначностi хвильово¨

ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2π) :

8 I. О. Вакарчук

eiLz 2π/~ = 1 àáî

Lz 2π/~ = 2πm,

113

Сталу нормування

√

Lz = ~m.

знаходимо з умови нормування

C = 1/

2π

Остаточно

Z0

|ψ(ϕ)|2dϕ = 1.

2π

кроорзгЯклянемодинатидляздiйснитио

1

imϕ

ψ(ϕ) = √2π e .

iзнiшраторапрехiд,аункцiя:заразоордодиiншихобати.ãîâî

змiннихВласноюимо рiвнянузагалья власнимомувласнiоператоравипадку,

п (беремо

óíêöi¹þ

чення

xˆ = x

î

ìiðний випадок) з

çíà-

x′

¹ äåëü -

xψx′(x) = x′ψx′(x),

муваннядельтУмови-нормуванняункцi¨плоскихiза

ψx′(x) = δ(x

−

x′).

хвильзовнiшнiмдяуцi¹¨необмеженомуункцi¨записомвипливаютьзбiгаютьсяоб'¹мi: зз властивостейумовоюнор-

Tˆ = exp

i

,

114

apˆx

a = const.

~

Оператор стисканняTˆ = Tˆ−

= exp

−~ apˆx .

+

1

i

ˆ

i(zxpˆ+z pxˆ )/2~

,

S = e

z параметр, pˆ = pˆx. Цей оператор також ¹ унiтарним:

Òîìó ùî

Sˆ+ = Sˆ−1 = e−i(zxpˆ+z pxˆ )/2~.

операторzxpˆ + z pxˆ

= zxpˆ + z (pxˆ

−

xpˆ + xpˆ) = (z + z )xpˆ

−

i~z ,

ˆ

z /2 rx

d

dx

S = e

e

,

Знайдiмо його дiю на хвильовуr = Reóíêöiþz.

ψ = ψ(x):

çàìiíà

Sψˆ (x) = ez /2erx

d

ψ(x) = n

ξ = ln xo

dx

z /2

r

d

ξ

z /2

ξ+r

в просторi

dξ

зОстаннюiнно¨ рiвнiсть=отриму¹моe e ψ(операцi¹юe ) = e

ψтрансляцi¨(e ).

Повертс аючисьисканнядооператоромвихiднихзмiнних,трансляцi¨держувло-

¹ãàðè ìi÷íiéξ. Тобтошкалiоператор.

ˆ

z /2

r

хвильовий пакет

(дивПодi¹мо.Ÿ7, операторомдляспрощеннястисканняSψприйма¹мо,(x) = eна мiнiмiзуючийψùî(xe ).

p0 = 0, x0 = 0)

8*

ψ(x) =

1

e−x2/4h(Δx)2 i.

115

(2πh(Δx)

2

1/4

i)

àáî

ψs(x) = Sψˆ

ez /2

2

2r

2

(x) =

e−x

e

/4h(Δx) i

2

1/4

(2πh(Δx)

i)

ψ (x) = e− Imz/2

1

e−x2/4h(Δx)2 is ,

2

1/4

(2πh(Δx)

is)

2

2r

2

пакет, але зi стиснутимив

Ми отримали знову хвильовий(Δx) = e−

h

(Δx) .

h

is

i

лiнiйними розмiрами. Стани

er ð çiâ

(squeezed

.

é

назва оператораназивають

ñòàíàìè

ψs(x)

ˆ.

Оператор iнверсi¨

states) Çâiäñè

S

Очевидно

ˆ

ˆ+

ˆ

Iψ(x) = ψ(−x).

I

= I. Легко також переконатись, що iсну¹ рiвнiсть:

ˆ

iαI

Ми вже згадувалиe ψ(x) оператори= ψ(x) cos αпородження+ iψ(−x) sin α.

ля бозе-частинок, що дiютьзнах

ˆ+

та знищення ˆ

b

b

√

ψN :

√

äå

ˆ+

ˆ

b

ψN = N + 1 ψN +1,

bψN

= N ψN −1,

ˆ

ˆ+ˆ

N = b b,

Питання

ˆ iставлення

з iзичною величиною

днозначногоN ψN = N ψN .

вiдповiдного îператора

f

заданаˆ ¹, агаломкласичнаажучи,величиназовсiмякне добутокакимпроска-

нонiчнотим. Наприклад,спряженихякщовеличинf

x ò

px,

òî

íà

2

претендентiв

âiäïîâiäíèéf = x px,

116

ˆ

2

pˆx,

ˆ

2

,

ˆ

f = xˆ

f = pˆxxˆ

f = xˆpˆxxˆ.

Нема¹ загального правила зiст влення

ç áóäü-ÿêîþ

ункцi¹ю зичних

ператори яких не комутують. Один

iç

зiставлення ква

òîвомеханiчнихоператраторiв з класич

íèìè äè

мiчними

який запропонував . Вейль, по

íàкоординатиступному.величинами,Нехайзадана

класична

величина

f (x, p)

ÿê

ляга¹ункцiяспособiв

ð'¹

x т iмпульсу p. Зобразимо ¨¨ iнте ралом Фу-

зворотне перетворенняf (x, p) =

1

Z

dq Z

dk fq,k e (kx+qp),

(2π)2

ð

f (x, p) äî вiдповiдногооператором-

За правилом

Вейля, перехiд вiд

i(kx+qp)

.

fq,k

=

dp

dx f (x, p) e−

ˆ

äîñëiä,

iмпульсуf досяга¹тьс

замiною iмпульсу p â iíòå ðàëi Ôóð'¹

pˆ = −i~ d/dx :

Z

dq Z

спецiальноприве

f =

(2π)2

dk fq k e

(kx+qpˆ)

.

ˆ

1

-

¹мтьуперечностiàòèправила,.будьиьСпроба3якщо.такогое-якихспмиоскíàненти.квантуванняВв'язатиiлькиспериментуiншшихмагпiда¹мосьявища,хдiйцеСвiтахзнакомправилоочевиднаопщодослiдсуватиiнтерозiгруютьсбудьякий.рала,дасть,Можнаспос-якимiòотримуючиережувануутнайiмовiрядекретомпома¹-них,рiзнови¹

iíàêøiезультiйсндослово,

ä

е,альнерозставля

Критер

ðiмуНеоднозначнiсамиøçíi

èìè. À âçàã ëi,

äîñëiäó,

içèöi, ÿê

саме вiд нього

içèê

бере свiй початок як зокремана . Хоча, мабутьалiлей,

ш розум

ï

äèòüважлиПриву рольдi те, що сам

øóêà¹,

ìóøó¹ ˆ¨

вленого ек

вперше свiдомив €

вiдповiд ти знахспецiально

авленi запитання, якi виникають у

íà3 ó òðàнсцендент

постагненнi встановити певнi

закони. . .

ã лосних

мабуть, для ек номi¨

атерiа у. Тому виника¹ проблема актичíî

розши р вува

текальномушлях ì вставляння знакiв голосних мiж приголос-

Òàê

ïðè ÷èò

перато iв помiж с бою нагаду

операцiю введен я

àð äàâíiõ

ðóêописiв. Як вiдомо, давн¹ письмо не

ними. Нерозтднозшовуваннячнiстьстуако¨ процедури очевидна, якщо зважити на те,малощ

iнодi такi тексти це суцiльний ланцюг приголосних.

117

озглянемо ще декiлька прикладiв на комутацiю операторiв.

анiше ми показали, що

класичнi

xpˆx − pˆxx = i~,

а в загальному випадку

легко довести, що

àáî

x pˆj − pˆj xi = i~δij ,

i, j = x,

y,

z,

s

вiльностi,

qj ,

pj

Цезмiннихнагаду¹.Пригадаймо,дужщо[x , pˆj

] = i~δij .

класичнаПуассонадужкадля Пуассонаканонiчно спряжених

s

X

∂f1 ∂f2

∂f1 ∂f2

äå

{f1, f2}êë = j=1

−

,

∂qj ∂pj

∂pj ∂qj

число ступенiв

à

канонiчно спряженi

змiннi. Нехай

Êðiì òîãî,

очевидно, ùî {xi, pj

}êë = δij .

òîäi ïðè

f1

= x,

f2 = px,

s = 1 q1 = x, p1 = px ìà¹ìî

ермiтовий

квантовi

а в загальному випадку

{x, px}êë = 1,

Уведемо {x , xj }клоператор= 0,

{p , pj }клдужки= 0. Пуассона:

ˆ ˆ

ˆ ˆ

òîäi

{

A,ˆ Bˆ

} ≡

AB − BA

,

i~

118 {xˆi,

pˆj } = δij ,

{xˆi,

xˆj } = 0,

{pˆi, pˆj } = 0.

спiввiдношення,

ˆ

налогiчнi

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆx

ˆ y

~

ˆ

−

LyLx = i~Lz ,

[L

, L

] = LxLy

Тобто для

~

класичнi,

[Lz , Lx] = Ly ,

Пуассонаˆ

отрима¹мо:

квантовихˆ дужокˆ

[Ly

, Lz

] = Lx.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ ˆ

ˆ

{Lx

Ly } = Lz ,

{Lz

Lx} = Ly

{Ly, Lz } = Lx

тотожнiстьДужки ПуассонЯкобi:à, ÿê

до класичнихтакi квантовi,. задовольняють

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Нарештi,{A,ÿêùî{B,взятиC}} +áóäü{C, -{ÿêóA, B}}óíêöiþ+ {B,

{C, A}} = 0.

Ïiçíiøå

f (x), òî

àáî

f (x)pˆx − pˆxf (x) =

~

df (x)

,

dx

f (x), pˆx

}

= df (x)

ДляшийованомутакНарештiцьогозмiстсамо,просторi,цi¹¨розгляякторканалогi¨в {

dx

де елекзормуху.îрванимидинатоютiлудужкамибудеакзваномурозкритоПуассонадеглибор-.

íåìîкласичнiйтобтось.частинкупитаннязмеханiцi

åíåð i¹þ