Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

ченостеймиУ випадкуотримали

h

c

ih

c

i ≥

~2

4

( x)2

( p)2

айзенберкласично¨математичне. механiки,ормулюванняколи принципу невизна

имiрювання

âèìiðþâà

альний резуль ат

~ → 0, ìè ìà¹ìî òðèâi-

h( c

2

ih

c

2

≥

жiмо,приладуординатиiстьТквкоординатуèì, оскiлькиiрюваннятчином,iмпульси,принципово.Цiвимi¹обмежеxюваинциповi,) ííïðèë( ÿpтаких)невiдповiднiнеусувнiпов'язанiможе0.iзичнихточнообмеженнявеличвимiряти,ожливостн,наякточскями

в значенiсть:

h

(Δx)2

i

= 0

залишаючи для цiлкпульсу повну

iíøåiмпульсу,

2

=

. I íà

êè, ïð

вимiрюван

(Δp)

i

∞

ì

h

2

÷ íèì:

h2(Δp

i = 0, положення части ки ¹

ом невиз

-

доява.(нерiвяОтже,вимiможсамвiдакi

дночасне

лишеОтжанузапдночаснетуявитиiмпульсу,маютьабо,речу¹оскiлькизендеякiобмежчерезiя,пульсможлиякобмежякщоеннямийдетьсвст.Однакмоваенняiсть.овиланяIнакше.нянейдеТутцихдночасноцiстаютьвимiрювастiлькипропотенцiйПриродавеличиннаша¨хажучи,несумiсздiйснитипро

обмежâ

ïðî.

риписуванняелектро.днемiкросвiтуМоайзенберооряквиявля¹йдединатиможнаелектоордина)прослужити,на

онятт

ливоснiстьми:еличини,

ïмовля¹тьсh(Δx) = ∞

рювання як

самих понять теорi¨

опису

àëü

можливостей.застосуванняОбг ворюючи це пит

îá ðóí

ÿâèù

.

Öå öiíà

огое, що Природа вик ристала хитрий пiдрахунок

iмовiрностi

мiкр свiтi через дода ання амплiтуд iмовiрн стей

овуючи вибiр

àêî¨

ари метики до явищ мiкросвiання,у ми

покли

В процесiтернативнихимiрюван¨хнiхя iзичних величин, що описуютьздiйснювач стин-

Прил ди, що д ють змогу вияв яти частинки

ò

кались

антропний принцип.

ñiÿ, ëi÷

ник части

ок, камера Вiльсона, бульбашкова к ìåðà.

òè âèìiðþ àííÿ

властивостей, це отое уль

îçã

, наприклад,

iмпульсу частинки.

що вiдбувсляньмаêò вимiрювання ми отримали значення iмпульсу

квантовогоКiлькр

óíêöiÿψ

p = p0

то це означа¹, що частинк

описуються хвильовою ун -

ip0r/~ √

вимiрювання

ßê

. Це сво¹ю чергою означа¹, що в розкладi

öi¹þ

,

e

/ V

X

e pr/~

ми отрима¹мо:

Ñâiòiâ

ψ(r) =

p

C(p)

√V

Îòæå, ïiä

÷àñ

|C(p)| = 1

äëÿ

p = p0 |C(p)| = 0

äëÿ

p 6= p0

.

вимiрювання хвильова

до плоско¨ хвилi

√

ψ(r)

редуку¹ться

Таким

÷ íîì,

p0r/~

квантовомех. анiчний ст

e

/

V

на,я вбача¹тобтннякîiнтерпренкрввитзакида¹ньомуягуваннямпотенцiйреальнiстьЩосьвсеквантово¨зiншийсво¹мiстить¹.МожнепеСвiтово.

ланцюгü,

èìiðþâ

мехливо,у собiрвíiимщостьВсепроцесомчногоцих:женкжнерезульнезлiчеат

ìå-,

îìóще11и.вiдомзапрднуîàëüãîнуваврнаiзикаò1957ацiюивнихДжонар.резуль. ВiллераЕвереттàòiâ

учнемщо iкиЗнайдемоякогозтупаралельнимивимiрюваннярубψст-морбув. студенФейнманвсьогоСвiт.Цюо

онкретних.незалежноâте,Белл),iдсутнiстьорення.iнтерпретацi¹юНащосво¨iмпуашякiсвiтiальонльсуквантквантовомпредстпогляд,шукалитернативнихНейман,.ованихПорозвитокго,-авникiвперше,коорундцешлячипаякне¹-

днощамиетт,уютьслiехвiдпроДжанiкиняквантовомуятмало

åð

доIнодiальнихФiзикиiяíàБройль,задасвiдчить,аочногонтгвiдстрч,жнаенçмагнеадько¨Дпоались.òåìàшщодужяснеБом,цi¹¨трапитиiнтербожевiльнiíàöiëièê,óпереймаючисьняуки,.ерегонахФейнман,ретсво¨мповедiнкипок, уацiйалеяклiннявисловлюваннятвердженнямiде¨кварозв'язуванжнечастинок. труневизначеностiтово¨Евенiзикiвпок

вчних11метрiв.Копе.

àê

нструмсто

ψ(x)

х(Лнiчнаментдоавторитетний

енерування, чи нема¹. По-друге,

вомех

аборо

òåòiâ

¨õ

çìîãó

авторити

сво¨ ундаментальнi зас ди. Це яскраво

¹ експе

iде¨ перен сення iн ормацi¨ з надсвiтловою швидкiстю (напчергоюиклад,отрималачерез -

óêà,

озвиваючись сво¨м

риродн м шляхом, пiдшт вхуючи

льних

жли остей

åðåâið

теоретичних насл дк в,

риментальна

реалiзацiя квантово¨

телепорт цi¨, що сво¹ю

люструавить н

ïåðø

план розумiння

нелок льностi

ореляцiй або пове

та¹ до розгляду

хiонний

ìðåâiõàíiçì).

93

динати ¹ мiнiмальними:

c õiäíî 4 .

h( c ih

2

2

~2

Щоб задовольнити цю умову,x) íåîá( p) = âðахувати двi вимоги:

нiсТуть.нерiвнiстьТобто Буняковського2). I = 0. Шварца перетворю¹ться в рiв-

1). Cf1(x) = f2(x),

C = const,

Явний

вигляд

першого

рiвняння:

x

= 0.

x p +

p

[

C xψ(x) = (Δp)ψ(x),

h

c

c

i

à éîãî ðîçâ'ÿçîê −i~ dx − hpi ψ(x) = C

xψ(x),

d

ψ(x) = A exp

ip

i

(Δx)2

,

0

x +

C

~

~

2

A Другсталаумованормувдà¹ííÿ, hpi = p0.

= i~c.

Ìè

c

c2

p

h x p + p xi

= h2Δx p − i~i = 0,

h x c i

скористались тим, що

c

− c

−

= i~.

Ураху¹мо, що

x p

p

x = xpˆ

pxˆ

h x pi =

Z ψ (x)Δx pψ(x)dx = Z ψ (x)ΔxC xψ(x)dx

94

c

= Ch(Δx)2i, c

i отрима¹мо

i~

àáî

Ch(Δx)2i =

,

2

Тому хвильова ункцiя

C =

i~

.

2

i

2h(Δx)

З умови нормуванняψ(x) = A exp

ip0x

(Δx)2

−

.

~

4h(Δx)2i

∞

знаходимо

Z−∞ |ψ(x)|2dx = 1

2

множника

до азового2

i, як завжди, з точнiстю|A|

p2πh(Δx)

i = 1,

2

1/4

хвильову ункцiю у виглядi вже

знайомогоОстаточно намотрима¹мохвильвогоAшукану= (2пакетаπ (Δx)

i

)− .

h

ψ(x) =

1

exp

ip0x

(x − x0)2

,

(2πh(Δx)2

)1/4

−

~

4h(Δx)2

x0 = hx

мiнiмiзуючого

ðiâíiñòü,низкущооорПрикладПринципопдинаважливихсу¹.òВонаобтостан,.1. невизнаармонiчстанма¹урезульяконазвуенерченостеймiнiмальнимиийатiвнерiвнiстьосцилятора. Наведайз. Виåневизнаайзенбермокористутхвильовоготаймоченостямдекiлькада¹перетворю¹тзмогупакiмпулнихотриматиа,.и üñтомуневия йв-

значеностей для оцiнки

i¨

з гамiльтонiаномспiввiдношення

ˆ

pˆ2

mω2

2

òóò

H =

2m

+

2

xˆ

,

xˆ = x оператор множення. Енер iя

E =

h

Hˆ

i

=

hpˆ2i

+

mω2

h

xˆ2

i

.

95

2m

2

спiввiдношення

З мiркувань симетрi¨, очевидно, hpˆi = 0, hxˆi = 0. Òîìó

h(Δp)2i = hpˆ2i − hpˆi2 = hpˆ2i,

2

íåðiâíîñòi

2

hxˆ2i: ìiíiìóì приносить hxˆ2i =

Урахувавши

öå, iç

h(

x)

= hxˆ

i − hxˆi

= hxˆ

.

невизначеностей знаходимо

~/2mω. Для енер i¨ отрима¹мо îöiíêó

~2

Îòæå, äëÿ åíåð i¨ ìà¹ìî

hpˆ2

≥

4hxˆ2i

.

~2

+

mω2

hxˆ

2

i.

E öi¹¨≥ 8mhxˆ2

2

Змiнiмiзу¹мо праву частину

E ≥

~ω

çà

Отже, найнижче значення енер i¨

осцилятора

2 .

гармонiчного

ий осциляторполi. Знайдемо оцiнку знизу~ енер i¨енерчас-

потенцiальному

армонiч.

E = ω/2

тинки,iя нульовихПрикладщо руха¹тьсяк2оливань. Анг

U (x) = αx4. амiльтонiан

ˆ

pˆ2

4

åíåð iÿ

H =

2m

+ αxˆ

,

ˆ

2

4

i.

Як i в попередньому прикладi,E = hHi

= hpˆ i/2m + αhxˆ

íåðiâíiñòü h

i

h(Δp)2i

= hpˆ2i,

2

2

i,

отже, зi спiввiдношення

невизначеностейh( x) i = hxˆ

виплива¹

Використаймо далi очевидну

hpˆ2 ≥

~2

.

4 xˆ2

àáî

h(ˆx2 − hxˆ2i)2i ≥ 0,

96

hxˆ4i ≥ hxˆ2i2.

Òîìó

нерiвностi

~2

~2

4

2

2

моделi роз

хунку на

äèí

вiльностiëi

ïðè

N -âèìiðíî¨

Мiнiмум право¨ частини

öi¹¨

îòðèìó¹ìî êîëè,

E

≥ 8mhxˆ2

+ αhxˆ ≥ 8mhxˆ2i

+ αhxˆ

i .

Зробимо наближений розрахунокñòóïiíü

енер i¨ основногоN →стану∞. ангармонiчного

~2

1/3

при цьому енер iя

hxˆ2 =

16mα

,

ùî

3

2α~4 1/3

.

ñòü ó öiéE ≥ 8

m2

Öiêàâî,

ðiâí

îðìó

досяга¹ться для енер i¨

h|xˆ|i p

. Ìiíiì

óìó

hxˆ2i

енер i¨ E досяга¹мо при

|x|-осцилятоðà з гамiльтонiаном

2/3

ˆ

pˆ2

Використовуючи

ðåäнiх прикладiв, ма¹мо:

мiркування зHпопе= 2m

+ α|xˆ|.

1/3

1/3

~2

ˆ

≥

8mhxˆ2i + αh|xˆ|i.

Припустимо, що

E = hH

оцiночне

причому

hxˆ2 =

~2

,

4mα

доню¹Забiгаючиточного1озг.018793

3 ~2α2

= 1.190551

~2α2

.

E 2

4m

2m

ляньмо. аперед,.Якзагальбачимо,укажемо,íiøóнашемощодельточнеангармонiчзназначенняночислгоя енеросцилятора,овогоi¨ ¹коедоситьiцi¹нтаблизькимдорiв-

x

2

ˆ

2

pˆ2

k

вiдбува¹тьссереднення,

для якого енергiя

H =

+ α|xˆ|

,

α > 0

k > 0

2m

~2

k

Припуньстiмо,знач

що хвильова

óíêöiÿ, ç ÿêîþ

усереднення для тих

E ≥

8mhxˆ2i

+ αh|xˆ| .

рактер, якi дають головний внесок у це

ма¹ гаусiвський а-

7 I. О. Вакарчукψ exp(−x /4hxˆ i). Тодi лег о показати, що

97

k

2

h|x

k

|i =

2k/2

+

1

hxˆ

2

i

k/2

,

√π

äëÿ

2

2

мiнiмум право¨ частини нерiвноñòi

åíåð

ãi¨ ìà¹ìî ïðè

i остаточно

hxˆ

2

i =

1

~2√π

k+2

,

2

2mkα (k/2 + 1/2)

k = 4 енергiÿ

~2

2

2mkα

k

1

k+2

Ïðè

E

4m

1 +

k

~2

√

π

2

+

2

.

k = 1

3

~

α

~

α

прикидкотже,теперма¹мозв'язокзначно ближче çíà÷ення енергi¨ до тî÷íîго результату, оскiль-

E 2π1/3p

2m

= 1.024176

2m

,

Ïðè

h|xˆ|i

=.

2hxˆ2i/π ¹ точнiшим, нiж наша попередня груба

h|xˆ|i = hxˆ2 1/2

3

6α~4

1/3

α~4

1/3

щоспiввiдношеннятакждобреузгоджу¹

òüñÿ

íÿì числового кое iцi¹нта

E

8

m2

з точним= 0.681420значен m2

,

Прикладля3. Основнийенергi¨айзенберосновстанаогоатомавиплива¹,стануводнюцi¹¨що. Оцiнимоiмпульсделi.енер

iю основного стану.

0Çi.667986 . . .

äå

p ~/a,

електроначини дхарактернийрiвню¹середнiймасштабвiдстанiдовжинимiжядромцiй

a