Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1490

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
13.02.2021
Размер:
3.68 Mб
Скачать

 

x1

 

x2

 

 

X (z)= x0 +

+

+ ... =xn zn Z {xn}

(7.26)

z

2

 

 

z

n=0

 

и называется z преобразованием

дискретной последовательности xn .

Вообще говоря, ряд (7.26) представляет собой ряд Лорана

 

 

 

 

 

 

 

f (z)= Cn (z a)n

 

 

 

 

n=−∞

 

 

для случая a =0 и при условии равенства нулю всех Cn

для положитель-

ных значений n.

 

 

 

 

 

Используя выражение (7.26) можно найти z преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему дискретно-

му сигналу {xn}={1, 0, 0, . . .}

соответствует z преобразование x(z) =1.

Для случая {xn}={1, 1, 1, 1, 0, 0, . . .}имеет место

z преобразование

x(z) =1+ 1

+

1

+

1

=

z3 + z2 + z +1

.

z2

 

 

z

 

 

z3

z3

Поскольку число слагаемых в ряде (7.26) может быть бесконечно вели-

ко, то необходимо рассмотреть проблему его сходимости [15].

 

Если коэффициенты ряда удовлетворяют условию

 

x

 

< ARn

для любых

 

 

 

 

n

 

0

 

n 0 , где A > 0 и R0 > 0 есть постоянные вещественные числа, то теория функций комплексного переменного [18] утверждает, что ряд (7.26) схо-

дится при всех значениях z , для которых z > R0 . В этой области суммой ряда является аналитической функцией, все особые точки которой лежат

внутри круга

 

z

 

R0 , то есть вне области сходимости.

 

 

 

 

Рассмотрим пример дискретного

сигнала {xn} ={1, 1, 1, ..., 1,} ,

служа-

щий дискретной моделью единичной ступеньки Хевисайда. Тогда z

пре-

образование данного сигнала, имеющее вид

 

 

 

 

 

X (z)=1 + 1

+

1

+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z2

 

312

представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию, знаменателем которой является величина q =1/ z .Сумма этой прогрессии при n→∞

равна

S = lim =1/ (1 q),

n→∞

откуда x(z) =1/(11/ z) = z(z 1) .

Рассмотрим теперь вопрос о применении z преобразования к непрерывным функциям. Пусть непрерывная функция x(t) обладает ограни-

ченным спектром и может быть представлена отсчетами {xn}, взятыми в моменты t =n, где ∆=1/ 2 fВ . Тогда данной функции можно сопоставить ее z преобразование при данном шаге дискретизации

 

x(z) =x(n)zn .

(7.27)

n=0

Так, z преобразование функции x(t) =exp(αt)

 

exp(α)

x(z) =exp(αn)zn =1

+

 

n=0

 

 

z

Перепишем это преобразование в виде

 

 

 

 

 

1 n

X (z)= exp(α)z

 

n=0

и введем обозначение exp(α)z1 =a . Тогда

x(z) =an .

n=0

имеет вид

 

+

exp(2α)

+.... (7.28)

z2

 

 

(7.29)

Сумма ряда (7.29) определяется выражением

x(z) =(1a)1.

Таким образом, z преобразование (7.28) может быть определено как

exp(α)z1 n =

1exp(α)z1 1 =

x(z) =

n=0

 

 

313

=

1

=

z

 

 

 

 

.

(7.30)

1exp(α)z1

z exp(α)

Полагая α =0 , нетрудно видеть, что z преобразование единичной ступеньки Хевисайда есть частный случай выражения (7.30).

Вычислим теперь z преобразование дискретной показательной функции

{x

}= 0 при n < 0,

n

an при т0.

Здесь величина n принимает только целочисленные значения. Для вычисления z преобразования этой функции необходимо найти сумму ряда

n

 

X (z)= an zn = (a1z)

.

(7.31)

n=0

n=0

 

 

Нетрудно видеть, что выражение (7.31) представляет собой сумму геометрической прогрессии, первый член которой есть единица, а знамена-

тель определяется величиной q = az1. Этот ряд сходится при az 1 <1, т.е.

при z > a . Учитывая, что сумма геометрической прогрессии определяется как S =(1 q)1 , запишем z преобразование дискретной показательной функции в виде

X (z)=1 1az1 .

Рассмотрим теперь основные свойства z преобразования.

1. Линейность. В соответствии с определением (7.26), z преобразование представляет собой линейную комбинацию отсчетов некоторой дискретной последовательности, а поэтому оно удовлетворяет принципу суперпозиции. Таким образом, если {x1 (n)} X1 (z), а {x2 (n)} X2 (z), то z

преобразование взвешенной суммы (разности) функций {x1 (n)}, представ-

ляет собой взвешенную сумму (разность) z преобразований этих функций

314

a{x1 (n)}±b{x2 (n)} aX1 (z)±bX2 (z).

(7.32)

2. Z преобразование задержанной последовательности. Рассмотрим дискретный сигнал {y(n)}, полученный путем задержки исходного дис-

кретного сигнала {x(n)} на одну позицию (один период дискретизации,

или один такт). При этом {y(n)}={x(n 1)} и вычисление z преобразо-

вания приводит к результату

 

Y (z)= x(n 1)zn = z1

x(k )zk = z1 X (z).

(7.33)

n=0

k =0

 

Таким образом, при задержке дискретной последовательности на один

такт, z преобразование задержанной

последовательности определяется

произведением

z преобразования исходной последовательности и z1.

При смещении

дискретного сигнала

на N тактов, z преобразование

данной последовательности определяется умножением z преобразования исходной последовательности на величину zN .

3. Z преобразование дискретной свертки. Как было показано в подраз-

деле 7.4, дискретная свертка двух последовательностей имеет вид

 

 

ym = xk hmk .

 

 

k =0

 

Найдем z преобразование дискретной свертки:

 

∞ ∞

∞ ∞

 

Y (z)= ∑∑xk hmk zm = ∑∑xk zk hmk z(mk ) =

 

m=0 k =0

m=0 k=0

 

 

= xk zk

hn zn = X (z)H (z).

(7.34)

k =0

n=0

 

Здесь введено обозначение n = m k. Таким образом, z преобразование дискретной свертки двух последовательностей равно произведению z преобразований этих последовательностей, что соответствует рассмотрен-

315

ным в предыдущих главах правилам преобразований Фурье и Лапласа свертки.

7.5.3. Обратное z преобразование

Как было упомянуто выше, z преобразование некоторого сигнала {xn},

обозначенное как X (z), есть функция комплексной переменной z , анали-

тическая в области z > R0 . При этом соответствие между дискретной по-

следовательностью {xn} и её z преобразованием X (z) является взаимно однозначным.

Выражение, позволяющее перейти от z преобразования X (z) к дис-

кретной последовательности {xn} называется обратным z преобразова-

нием. Для определения обратного

z преобразования умножим левую и

правую части выражения (7.26) на величину zm1:

 

zm1x(z) = x zm1

+ x zm2 +...+ x z1 +...

(7.35)

0

1

m

 

и вычислим интегралы от обеих частей этого равенства.

Контуром интег-

рирования при этом будет некоторая замкнутая кривая,

расположенная в

области аналитичности и охватывающая все полюсы функции X (z). Из теоремы Коши о вычетах [..] следует что

zndz 2π j, если n =−1,

= 0, если n 1.

Использование этого свойства при интегрировании выражения (7.35) приведет к тому, что интегралы от слагаемых правой части равенства об-

ратятся в нуль за исключением интеграла от слагаемого xm z1, что приве-

дет к выражению

xm =

1

zm1 X (z)dz,

(7.36)

2π j

316

которое и представляет собой обратное z преобразование.

Пример. Найдем значения дискретного сигнала {xn} по заданному z

преобразованию вида

X (z)= z +z 1.

Используя выражение (7.36), запишем первые три значения сигнала

{x0 , x1, x2}:

x0 = 2π1 j z1 X (z)dz =2π1 j zz+2 1 dz = 2π1 j z1dz + 2π1 j z2dz =1, x1 = 2π1 j z0 X (z)dz = 2π1 j z +z 1 dz =2π1 j dz + 2π1 j z1dz =1,

x2 = 2π1 j zX (z)dz = 2π1 j (z +1)dz =0.

Нетрудно видеть, что, начиная с n = 2 , все значения дискретного сигнала {xn} будут равны нулю, т.к.

xn = 2π1 j zm2 (z +1)dz = 0.

Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид

{xn} ={1, 1, 0, 0, ....}.

7.6. Принципы цифровой фильтрации

Линейные цифровые фильтры представляют собой простейший класс систем дискретной обработки сигналов. Такие фильтры реализуются с использованием электронных вычислительных машин или специализированных процессоров [1, 36].

Как известно, аналоговые линейные цепи (фильтры) допускают два подхода к анализу их функционирования: временной и спектральный. Однако в реальной действительности аналоговые фильтры функционируют

317

только во временной области, поскольку входные сигналы этих фильтров не подвергаются искусственному спектральному разложению перед прохождением через фильтр. В связи с этим спектральный подход к анализу функционирования фильтра является умозрительным (абстрактным).

В отличие от аналогового фильтра, временной и частотный подходы к анализу функционирования цифрового фильтра являются физически реализуемыми в одинаковой степени. Так, при временном подходе цифровой фильтр реализует операцию вычисления дискретной свертки входного дискретного сигнала x(k) с дискретной импульсной реакцией h(k),

форма которой хранится в устройстве памяти процессора.

При частотном подходе входной дискретный сигнал подвергается дискретному преобразованию Фурье с последующим умножением коэффициентов ДПФ на соответствующие значения дискретной частотной характеристики фильтра, форма которой хранится в устройстве памяти. Дискретный сигнал на выходе фильтра определяется с использованием обратного ДПФ и, далее, как было показано в главе 5, непрерывный выходной сигнал в случае необходимости восстанавливается путем пропускания выходной дискретной последовательности через фильтр нижних частот. Структурная схема цифрового фильтра, предназначенного для обработки непрерывных сигналов, приведена на рис. 7.5. Непрерывный входной сигнал x(t ) посту-

пает на вход аналого – цифрового преобразователя (АЦП). АЦП управляется генератором импульсов синхронизации, частота следования которых определяется величиной интервала дискретизации t =1/ 2 fB . В момент подачи каждого из серии синхронизирующих импульсов на выходе АЦП появляется двоичное число с некоторым фиксированным количеством разрядов, которое отображает величину мгновенного значения входного сигнала в момент времени, отвечающий подаче синхроимпульса.

318

Преобразованный таким образом сигнал поступает в цифровой процессор, функционирующий в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации. Этот алгоритм может быть реализован с использованием дискретной свертки (временной подход) или с использованием частотного подхода.

 

 

Цифровой процессор

 

 

 

 

Устройство

 

 

 

 

памяти

 

 

x(t )

АЦП

Арифметическое

ЦАП

y(t )

устройство

Генератор

импульсов

синхронизации

Рис. 7.5. Структурная схема цифрового фильтра

Если выходная информация должна быть представлена в аналоговой форме, то необходимо выполнение цифро – аналогового преобразования (ЦАП). Однако, если дальнейшие операции по обработке сигнала реализуются в цифровой форме, то ЦАП не требуется.

Рассмотрим более подробно функционирование цифрового фильтра для случая временного подхода [36].

Как неоднократно указывалось выше, сигнал y(t ) на выходе линейного фильтра представляет собой свертку входного сигнала с импульсной реак-

цией фильтра h(t )

y(t )= t

x(τ )h(t τ )dτ.

(7.37)

0

 

 

Линейный цифровой фильтр преобразует входную дискретную последовательность {xn} в выходную последовательность {yn}

319

(x0 , x1, x2 , ..., xn ) (y0 , y1, y2 , ..., yn ).

(7.38)

При этом выходная последовательность представляет собой сумму откликов фильтра на каждый из отсчетов входной последовательности.

Обобщая выражение (7.37) на случай дискретных сигналов, введем по-

нятие импульсной реакции цифрового фильтра {hk } как отклика этого фильтра на единичный импульс:

(1, 0, 0, ..., 0) (h0 , h1, h2 , ..., hn ).

(7.39)

При смещении входного единичного импульса на некоторое число интервалов дискретизации импульсная реакция смещается на это же число интервалов, не изменяя своей формы:

(0, 1, 0, ..., 0) (0, h0 , h1, h2 , ..., hn ), (0, 0, 1, ..., 0) (0, 0, h0 , h1, h2 ,..., hn ).

Cформулируем теперь алгоритм линейной цифровой фильтрации. Для это-

го зададим дискретную последовательность {xn} =(x0 , x1, x2 , ...) на входе цифрового фильтра, обладающего заданной импульсной реакцией {hm}.

Тогда m – й отсчет выходной последовательности {ym}

можно записать в

виде

 

m

 

ym = x0hm + x1hm1 +.... + xmh0 = xk hmk .

(7.40)

k =0

 

Выражение (7.40) показывает, что в момент каждого отсчета цифровой фильтр производит взвешенное суммирование всех предыдущих значений входного сигнала, причем отсчеты импульсной реакции имеют смысл последовательности весовых коэффициентов. Таким образом, выходная по-

следовательность {ym} есть не что иное, как дискретная свертка входной последовательности {xk }и импульсной реакции цифрового фильтра {hk }.

На рис. 7.6 этот процесс изображен графически для случая входной последовательности, имеющей конечную протяженность.

320

xk

1

0 1 2

hm

 

 

 

1,5

 

 

1

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

x0h

 

 

 

1,5

 

 

1

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

x1h

1,5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

1

2

x2h

 

 

1,5

0

1

2

3

2,5

yk 1,5

0

1

2

a) 3

4

k

5

б) 3

4

k

5

в) 3

 

k

4

5

0,5

 

 

k

 

 

 

г)

3

4

5

1

 

0,5

 

 

 

k

 

 

 

д)

3

4

5

1,5

 

 

 

0,5

k

e) 3

 

4

5

Рис. 7.6. Процесс цифровой фильтрации.

а) входная последовательность; б) импульсная реакция; в), г), д) отклики фильтра на импульсы входной последовательности;

е) выходной сигнал цифрового фильтра

321

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]