T
S&ВЫХ (ω) = ∫U&R (t)U&S* (t)exp(− jωt)dt =
0
= ∞∫ S&R (ω′)S&S* (ω′−ω)dω′ = B(ω). |
(6.87) |
−∞ |
|
Это означает, что система обработки сигнала в РЛС с непрерывным излучением и пилообразной ЧМ представляет собой корреляционный прием, использующий вычисление АКФ излучаемого сигнала в частотной области [36]. Чтобы определить форму АКФ (6.86) в частотной области и продемонстрировать эффект сжатия спектра непрерывного ЛЧМ сигнала как результат корреляционной обработки, перепишем уравнение (6.87) в виде:
∞
∫ S&R (ω′)S&R* (ω′−ω)dω′=
−∞
T T
= ∫U&R (t)U&S* (t)exp(− jωt )dt = ∫exp( j2π∆fSt )exp(− jωt )dt .
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Используя замену переменных t′=t −T / 2 , |
найдем автокорреляцион- |
ную функцию спектральной плотности непрерывного ЛЧМ сигнала: |
|
∞∫ S&R (ω′)S&R* (ω′−ω)dω′ = exp( jπ∆ωτS ) T∫/ 2 |
exp(− jµτSt )exp(− jωt )dt = |
−∞ |
|
|
|
−T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin π ( f |
− 2µτS )T |
|
= exp{jπ∆ωτ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
. |
(6.88) |
|
π ( f − |
2µτ |
|
|
|
|
S |
|
S |
)T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Автокорреляционная функция (6.88) концентрируется в области значения разностной частоты ∆fS = µτS , которая определяется временем прохо-
ждения сигнала от радиолокатора до объекта и обратно, т.е. дистанцией до объекта. Нетрудно видеть, что ширина автокорреляционной функции
спектральной плотности непрерывного ЛЧМ сигнала |
(6.88) равна |
∆f =T −1 . |
(6.89) |
Из выражения (6.89) следует, что ширина спектра сигнала после обра-
ботки ∆f =T −1 связана с шириной спектра ∆f0 =(µT )/ 2π до обработки со-
отношением
∆f0 / ∆f = ∆f /T −1 = ∆fT = B , |
(6.90) |
указывающим, что в результате обработки имеет место уменьшение ширины спектральной плотности ЛЧМ сигнала, т.е. сжатие спектра по оси частот на величину ∆fT = B , которая есть не что иное, как база непрерывного сигнала с пилообразной частотной модуляцией. Эффект сжатия спектра по оси частот изображен на рис. 6.24.
|
|
|
SВХ (ω) |
|
|
|
SВЫХ (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
1/T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
ω0 − ∆ω |
ω0 |
ω0 + ∆ω |
1/T |
|
|
|
Рис. 6.24а |
|
|
|
Рис. 6.24б |
Рис. 6.24. Эффект сжатия спектра по оси частот
6.5.4. Разрешающая способность при спектральном анализе
Под разрешающей способностью прибора понимается его способность раздельно реагировать на два близко расположенных входных воздействия. Так, способность обработки сигналов в РЛС с непрерывным излучением и ЧМ раздельно реагировать на сигналы с близкими частотами называется разрешающей способностью по частоте. В данном случае разрешающая способность по частоте будет определять чрезвычайно важную характеристику РЛС – так называемую разрешающую способность по дальности, т.к. информация о дистанции до объекта заключается в цен-
тральной частоте спектра рассеянного сигнала после операции сжатия по оси частот.
Понятие раздельного реагирования на близко расположенные входные воздействия тесно связано с понятием ортогональности. Минимальное расстояние между входными воздействиями, при котором имеет место ортогональность выходных откликов прибора на эти воздействия, определяет разрешающую способность. Рассмотрим процесс спектрального анализа
двух сигналов с частотами ω1 = 2π∆f1 и ω2 = 2π∆f2 . Здесь |
величины |
∆f1 = µτ1 и ∆f2 = µτ2 определяются дистанцией до объектов, |
обуславли- |
вающей величины задержки рассеянных сигналов τ1 = 2r1 / c и τ2 = 2r2 / c .
Длительность временного интервала, на котором производится спектральный анализ, будем полагать равным периоду частотной модуляции.
Тогда спектральная плотность сигнала с частотой ω1 , заданного на ин-
тервале времени (−T / 2, T/2) |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
S1(ω) = T∫/ 2 |
exp(− jω1t )exp{− jωt}dt = |
|
|
|
|
−T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
|
( |
1 ) |
|
|
T / 2 |
=T |
sin (ω −ω1 )T / 2 |
. |
(6.91 а) |
|
|
|
|
|
j(ω −ω1) |
exp − j |
|
ω −ω |
t |
|
|
(ω −ω1 )T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
−T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а спектральная плотность сигнала с частотой ω2 , заданного на этом же ин-
тервале, определяется аналогично:
S2 (ω) =T |
sin (ω −ω2 )T / |
2 |
. |
(6.91 б) |
(ω −ω2 )T / 2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, спектральная плотность гармонического сигнала, заданного на конечном интервале T , имеет форму функции отсчетов, подробно изученной в главе 5. Напомним, что функции отсчетов образуют ортогональную систему функций, а минимальное расстояние между двумя функциями, на котором выполняется условие ортогональности
∞ sin |
ω −ω |
T / 2 sin |
ω −ω |
2 ) |
T / 2 |
|
∫ |
|
( |
1 ) |
|
( |
|
|
|
|
dω = 0 |
|
|
(ω −ω1)(ω −ω2 )T |
2 |
/ 4 |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
определяется как (ω1 −ω2 )T / 2 = ∆ωT / 2 =π . Отсюда |
|
|
|
|
∆ω = 2π∆f = 2π /T . |
|
|
|
|
(6.92) |
Из выражения (6.92) следует, что разрешающая способность при спектральном анализе определяется временем анализа, т.е. в данном случае – длительностью периода ЛЧМ.
В заключение настоящего подраздела отметим, что непрерывный сигнал с пилообразной ЛЧМ представляет собой периодический сигнал, а его спектр является дискретным. При этом расстояние между спектральными линиями определяется длительностью периода модуляции как 1/T.
7. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ.
ПРИНЦИПЫ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Глава посвящена вопросам спектрального анализа дискретных сигналов, которые приобрели особо важное значение в последние десятилетия в связи с бурным развитием цифровых способов обработки информации с использованием быстродействующих вычислительных устройств.
7.1 Дискретизация непрерывных сигналов
Напомним, что сигнал называется дискретным, если его значения определены не во все моменты времени, а только лишь на некотором счетном множестве моментов времени [1]. Таким образом, если непрерывный сигнал x(t) ,заданный на интервале (0, t) , описывается непрерывной (или ку-
сочно – непрерывной) функцией времени, то отвечающий ему дискретный сигнал x∆ (t) представляет собой последовательность отcчетных значений x0 , x1, ....., xn сигнала x(t) в точках t0 , t1, ....., tn.
При дискретизации непрерывного сигнала ось времени разбивается на равные интервалы (интервалы дискретизации) длительностью ∆. Поскольку, как это неоднократно указывалось, большинство радиотехнических сигналов обладает финитным спектром, то, в соответствии с теоремой отчетов, ∆ =1/ 2 fВ ,где fВ – верхняя частота спектра сигнала. Разбиение оси времени на интервалы ∆ приводит к возникновению N −1 интервалов дискретизации (см. рис.7.1,а). При этом на оси времени фиксируется N точек, координаты которых отвечают следующим значениям моментов времени t : 0, ∆, 2∆, ...., (n −1)∆. В каждой из этих точек производится от-
чет значения исходной функции, т.е. определяется значение x(t) в данной точке. Таким образом, получается набор дискретных значений x(k∆) (см.
рис. 7.1,б). Эта операция называется дискретизацией (или квантованием) во времени.
Рис. 7.1а. Исходный непрерывный сигнал.
x (k∆)
k∆
Рис. 7.1б. Дискретизированный сигнал.
Для того, чтобы полученный набор дискретных величин x(k∆) мог быть подвергнут обработке с использованием цифровых вычислительных устройств, необходимо определить численное значение этих величин. С этой целью производится квантование величин x(k∆) по уровню, т.е. ось значений x(k∆) разбивается на некоторое число интервалов и, с точно-
стью до единицы отсчета µ , определяются величины ординат точек x(k∆) (см. рис 7.1в).
X (k∆)
µ
Рис. 7.1в. Дискретизированный сигнал, квантованный по уровню.
Эти значения кодируются и вводится в цифровое устройство. Однако для анализа спектральных свойств дискретизированных функций достаточно ограничится дискретизацией во времени.
Формально рассмотренную операцию дискретизации (т.е. переход от непрерывного сигнала x(t) к дискретному сигналу x∆(t) ) можно описать,
введя так называемую решетчатую функцию (или дискретизирующую последовательность), представляющую собой бесконечно протяжённый набор δ – функций, расположенных на расстоянии ∆одна от другой
∞ |
|
η(t) = ∑δ(t −k∆). |
(7.1) |
k =−∞
Тогда операция дискретизации может быть определена как скалярное произведение функций x(t) и η(t) в пространстве Гильберта:
∞ |
∞ |
|
x∆ (t) = ∫ x(t) ∑δ(t −k∆). |
(7.2) |
−∞ |
k =−∞ |
|
Меняя местами операции суммирования и интегрирования и используя фильтрующее свойство δ – функции, получим:
∞ ∞
x∆ (t) = ∑ ∫ x(t)δ(t −k∆)dt ={...x(−2∆), x(−∆), x(0), x(∆), x(2∆)...}. (7.3)
k =−∞ −∞
Техническая реализация устройства, реализующего операцию дискретизации, была рассмотрена в главе 5 (см. рис. 5.7).
7.2. Спектральное разложение дискретизированного сигнала
При переходе от непрерывной функции x(t) к дискретизированной функции x∆(t) спектральное представление исходной функции изменяется кардинальным образом и этот вопрос имеет принципиальное значение. Запишем дискретизированную функциюx∆(t) в виде произведения
298
x∆ (t) = x(t)η(t) , |
(7.4) |
где η(t) – решетчатая функция, заданная соотношением (7.1).
Поскольку η(t) есть периодическая функция с периодом ∆ , то её можно
разложить в комплексный ряд Фурье:
∞ |
|
η(t) = ∑C&k exp[ j2πkt / ∆] . |
(7.5) |
k =−∞ |
|
Запишем теперь выражение для коэффициента C&k |
|
C&k =1/ ∆ ∆∫/ 2 |
δ(t)exp[− j2πkt / ∆]dt |
(7.6а) |
−∆/ 2 |
|
|
и выражение для спектральной плотности апериодического сигнала, иден-
тичного элементу периодической последовательности η(t)
S(ω) = ∞∫δ(t)exp[− jωt]dt. |
(7.6б) |
−∞ |
|
Выражение (7.6а) для спектрального коэффициента периодической
функции отличается от величины спектральной плоскости (7.6б) для каждого из значении 2πk / ∆ = 2π f только множителем 1/ ∆. Аналогично свя-
заны и спектры амплитуд.
Как было показано ранее, спектральная плотность смещенной δ –
функции имеет вид
Sδ (ω) = ∞∫δ(t −t0 )exp[− jωt]dt = exp[− jωt0 ],
−∞
откуда и следует, что модуль спектра δ – функции равен единице. Тогда
для ряда (7.5) коэффициенты Ck =1/ ∆, что следует также из уравнения
(7.6а). Определим теперь спектральную плоскость дискретизированной
функции, представляющей собой скалярное произведение (7.4)
S∆(ω) = ∞∫ x(t)η(t)exp[− jωt]dt. |
(7.7) |
−∞ |
|
С этой целью заменим функцию η(t) её представлением в виде ряда Фурье
(7.6а), с учетом того что Ck =1/ ∆.
|
|
|
∞ |
|
1 |
∞ |
|
|
S∆(ω) = ∫ x(t) |
∑exp[ j2πkt / ∆]exp[− jωt]dt = |
|
|
∆ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
k=−∞ |
|
|
|
1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
= |
∑ |
∫ x(t)exp[− j(ω −2πk / ∆)t]dt. |
(7.8) |
|
∆ |
|
|
|
k =−∞ −∞ |
|
|
|
Нетрудно видеть, что после интегрирования по переменной t |
интеграл |
в выражении (7.8) будет представлять собой спектральную плоскость функции x(t) , смещенную по оси частот на величину 2πk / ∆, т.е.
∞∫ x(t)exp[ω −2πk / ∆]dt = SX (ω −2πk / ∆) .
−∞
Тогда, в соответствии с выражением |
(7.8), спектральная плоскость |
S∆ (ω) дискретизированного сигнала x∆ (t) |
представляет собой сумму бес- |
конечного количества копий спектра исходного непрерывного сигнала x(t)
∞ |
|
S∆ =1/ ∆ ∑ SX (ω −2πk / ∆). |
(7.9) |
k=−∞
Эти копии располагаются на оси частот через одинаковые интервалы
2π / ∆, которые определяются величиной угловой частоты первой гармо-
ники дискретизирующей последовательности η(t) (рис. 7.2) [1].
S (ω)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
−2π / ∆ −π / ∆ |
0 |
π / ∆ |
|
|
|
|
|
|
2π / ∆ |
Рис. 7.2. Спектральная плотность дискретизированного сигнала.
Если верхняя угловая частота спектра SX (ω) не превышает величины
π / ∆ (ω ≤π / ∆) , то копии спектра дискретизированного сигнала не пере-
крываются. Нетрудно видеть, что при правильном выборе шага дискрети-
зации ∆ =1/ 2 fВ (т.е. на основании теоремы отчетов) копии спектра пере-
крываться не будут, поскольку в данном случае условие ω0 ≤π / ∆ = 2π fВ
выполняется. Если же шаг дискретизации будет выбран неправильно, копии спектральной плоскости перекрываются, и непрерывный сигнал не может быть правильно восстановлен по данной дискретной последовательности.
В качестве фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал, может
быть использован идеальный НЧ – фильтр, как и в главе 5. Действительно, если фильтр обладает равномерной амплитудно-частотной характеристи-
кой |
|
|
|
|
|
0, |
ω < −ωВ, |
|
, |
−ωВ <ω <ωВ, |
K (ω)= k0 |
|
|
0, |
ω >ωВ, |
|
|
то импульсная реакция этого фильтра имеет вид
|
|
ω |
|
|
k0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
k0ωВ |
|
sin (ωВt ) |
|
|
h(t) =(k0 / 2π ) |
∫В |
exp( jωt )dω = |
|
exp( jωt ) |
|
ω−ωВ |
В |
= |
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
ωВt |
|
|
−ω |
В |
|
2π jt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку дискретизированный сигнал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x∆ (t) = ∑ xkδ(t −k∆) , |
|
|
|
(7.10) |
k =−∞
представляет собой взвешенную последовательность δ – функций, то сигнал на выходе НЧ – фильтра определяется в соответствии с теоремой отчетов как
∞
y(t) =(k0ωВ /π ) ∑ xk sinωВ(t −k∆) /ωВ(t −k∆) ≡ ax(t) ,
k=−∞
где x(t) есть исходный непрерывный сигнал, а величина a есть некоторый
масштабный множитель.
