§ Преломление и отражение на границе двух плоских диэлектриков

I. Законы геометрической оптики

1. Закон отражения : луч падающий, отраженный и нормаль лежат в одной плоскости. i=i'.

2. Закон преломления: луч падающий, отраженный и нормаль лежат в одной плоскости.

3. В однородной среде луч распространяется прямолинейно. (только для геом. оптики!)

4. При пересечении световые лучи не возмущают друг друга. (только для геом. Оптики!)

II. Для установления соотношений между интенсивностью падающих и отражённых волн можно использовать граничные условия (вытекающие из теории Максвелла): в каждый момент времени и в каждой точке границы раздела для тангенциальных компонент Е и Н выполняется условие

(1)

Такое же соотношение выполняется для нормальных компонент векторов D и В.

Используем обозначение: - падающая волна, - отраженная волна, - преломленная волна, - амплитудные значения.

П усть волна распространяется в произвольном направлении. Выберем какую-то точку волнового фронта с координатами x, y, z. - единичный вектор нормали к волновому фронту. ( ). Уравнение волны:

(2)

(3)

Пусть в падающей волне ; для остальных нормалей мы заведомо сказать ничего не можем. Т.о.

(4)

(5)

(6)

Из (1) => (7)

Для выполнения тождества (7) в каждый момент времени и в любой точке пространства необходимо и достаточно:

1. ;

2. , т. е. все нормали лежат в одной плоскости;

3.

Следствия:

• => закон отражения;

• => закон преломления.

III. Формулы Френеля

Будем рассматривать луч естественного света, который является совокупностью элементарных волн, излучаемых различными атомами. Эту совокупность удобно представлять в виде суммы перпендикулярных компонент.

Запишем граничные условия для тангенциальных компонент:

(1)

. Также знаем, что ; Тогда .

Выражая из последнего уравнения Н: (3). Подставляем (3) в (2):

(4)

Учитываем, что для большинства диэлектриков (4) преобразуется к виду:

(5)

Зная, что , т. е. (5) может быть преобразовано к виду:

(5')

Т.о. У-е (1) и (2) можно переписать:

; (6)

Разделим правые и левые части системы (6):

(7)

(8)

Складываем почленно соответственно левые и правые части системы (6):

(9)

В ыражения (8) и (9) описывают связь параллельных компонент падающих, отражённых и преломлённых волн. Установим подобные соотношения для перпендикулярных компонент.

Из граничных условий следует

(10)

(11)

Перепишем (3):

(3')

Подставим (3') в (11):

(12)

Т.о. получается аналог системы (6) (учитываем, что вектора сонаправлены, и отсчитываем от Н):

;

(13)

Решая совместно уравнения системы (13) относительно :

(14)

(15)

Совокупность формул (8), (9) и (14), (15), устанавливающих связь между параллельными и перпендикулярными компонентами различных волн, называется формулами Френеля.

Проведем анализ формул Френеля:

1) если , тогда => отражённый свет будет полностью поляризован.

2 ) угол падения, при котором , называется углом Брюстера (был открыт экспериментально в 1815).

Полную поляризацию под углом Брюстера можно объяснить с точки зрения нейтронной теории, если связать падающую волну с волнами, которые возникают в ответ, они не вторичные волны.

Линии колебания электронов коллинеарны с вектором падающей волны. При угле Брюстера электроны колеблются параллельно направлению, в которой должна распространяться отражённая волна. Т.к. вдоль линии колебаний электрон распространяться не может, то отражённой волны попросту нет. Вытекающая закономерность имеет вид:

закон Брюстера

Рассмотрим теперь случай нормального падения. Если => . В этом случае, чтобы получить формулу Френеля используют вспомогательные выражения.

(7) =>

(17)

(13) => (18)

По аналогии из систем (6) и (13) получаем:

(19)

(20)

Формулы (17)-(20) – формулы Френеля для случая нормального падения.

§Фазовые соотношения падающей,отражённой и преломлённой волны

Для анализа фазовых соотношений между указанными компонентами волн необходимо учитывать следующее:

1. направление на исходном рисунке, который использован для вывода формул;

2. соотношение между коэффициентами преломления;

3. знак тригонометрической функции в соответствующем квадранте.

I. Падение волн на плоскую границу при

1) отраженная волна

а) =>

• 

“-”=”+” => волны находятся в противофазе.

По аналогии: ”+”=“-”=>волны находятся в противофазе.

• 

“-”=”-” => волны cофазны.

По аналогии: ”+”=“-” => волны находятся в противофазе.

б) => Формулы выводятся аналогично пункту а).

2) Преломленная волна

Падающая и преломленная волны всегда софазны независимо от соотношения между коэффициентами преломления и углами падения.

II. Нормальное падение на границу раздела

1) отражённая волна (граница раздела воздух/стекло)

а)

“-”=”+” => волны находятся в противофазе.

По аналогии: ”+”=“-” => волны находятся в противофазе.

б)

“+”=”+” => cофазны.

“+”=”+” => cофазны.

Явление, когда фаза волны меняется на противоположную, называют потерей полуволны при отражении.

2) прошедшая (преломленная) волна

Падающие и преломленные волны всегда софазны, при любых коэффициентах преломления.

Общее для 1); 2): поскольку при переходе через угол Брюстера тангенс меняет знак, то, как правило, возникает необходимость исследовать фазовые соотношения при угле Брюстера.

Разность фаз между падающей и отраженной волной:

Д анные диаграммы от плоской и идеальной границы раздела.

Вывод: реальная граница раздела сред имеет некоторую «толщину», которая зависит от величины переходного слоя. => Для реальной границы данные диаграммы будут несколько размытее в области ступеней.

Главный вывод: По размытости ступеньки на диаграмме можно исследовать свойства переходного слоя между средами.