57. Какие варианты по числу решений может иметь система линейных уравнений?
58. Можно ли при решении методом Гаусса производить линейные преобразования над столбщами расширенной матрицы? а над строками?
59. Какие линейные преобразования над расширенной матрицей системы не меняют решения системы?
60. |
К как м с стемам применим метод Гаусса? |
61. |
Как е с стемы линейных уравнений наываются эквивалент- |
? |
|
62. Какая матр ца называется трапециевидной? |
|
С |
|
63. |
Что называют главной диагональю матрицы системы? |
1.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§11. Понят е вектора |
|
|
|||||||||||
ными |
|
|
|||||||||||
Геометр ческ м вектором называется направленный линейный |
|||||||||||||
отрезок, у которого один конец (точка |
) – начало, другой конец |
||||||||||||
(точка В) – конец (рис. 1). |
|
|
|||||||||||
Обозначение: |
a |
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
AB |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
A |
B |
|
бА |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Длина вектора a , AB – это расстояние между его началом и
концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, обозначается 0; 0 0. Нулевому вектору приписывают лю-
бое направление. Все нулевые векторы считаются равными.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на |
|
параллельных прямых. |
И |
Два вектора a и b называются равными, если
– они равны по длине a b ;
–коллинеарны;
–сонаправлены.
42
аb
Рис. 2
С |
|
|
|
|
|
|
|
действия с векторами |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. Сложен е. Суммой a |
|
|
векторов |
a |
и |
|
называется вектор, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проведенный з начала |
a |
|
|
|
концу |
b |
, если конец |
a |
и начало |
b |
со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
фметические |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
вмещены (пр л. 8). Операция сложения векторов обладает свойства- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
(коммутативность); |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
с |
|
a |
|
|
|
с |
(ассоциативность); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
бА |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(наличие нулевого вектора); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
0 |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
(наличие противоположного элемента), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Такие векторы называются свободными (рис. 2).
Понятие вектора возникло как математическая абстракция объ-
ектов, характер зующ хся величиной и направлением, например: перемещен е, скорость, напряженность электрического или магнитного поля.
где a есть вектор, противоположный a .
Разностью a b x векторов a и b называется такой вектор x,
который удовлетворяет условию |
x |
b |
a |
(рис. 3). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
б |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
43
2. Умножение на число. Произведением |
a |
|
вектора |
a |
|
0 |
на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число 0 называется вектор, модуль которого равен |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и который направлен в ту же сторону, что и вектор |
a |
, |
если 0, |
и в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
противоположную, если 0. Если 0 или |
a |
|
|
, то |
a |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
умножения |
a |
|
|
a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Операц я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора на число обладает свойствами: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
a |
|
b |
|
|
(дистрибутивность относительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сложен я векторов); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
(дистрибутивность относитель- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но сложения чисел); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(ассоциативность); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
a |
(умножение на единицу). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
a1, |
a |
2 |
, , |
a |
n |
векторы; 1, 2, , n числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||
Вектор 1 |
a1 |
2 |
a |
2 |
nan называется линейной комбинацией |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов a1,a2, ,an с коэффициентами 1, 2, , n.
Проекция вектора на ось
Дан вектор а АВ и направленный отрезок или луч U – ось. Спроектируем вектор АВ на U и получим вектор А1В1 .
44
В
а
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОсьU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
проекция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A1B1 |
|
вектора AB |
на ось U (рис. 4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
геометр ческая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1B1 |
|
,если A1B1 U; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ч сло |
|
ПрU |
|
AB |
|
|
|
– |
|
|
алгебраическая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1B1 |
|
,если A1B1 U |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проекц я AB |
на ось |
U . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теорема (основная теорема о проекциях). Пусть |
а1, |
а |
2, , |
а |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторы; 1, 2, , n числа; U ось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр |
|
|
1 |
а1 2 |
а |
2 n |
а |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1ПрU |
а1 2ПрU |
а |
2 |
n |
ПрU |
а |
n. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1. ПрU |
|
a |
b Пр |
|
|
|
a |
ПрU |
|
|
b. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. ПрU |
|
|
Пр |
|
|
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
В треугольнике ABC сторона AB точками M и N разделена на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
три |
равные |
части: |
|
|
|
|
AM |
|
|
|
MN |
|
|
|
NB |
|
. Найти |
вектор |
|
, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СM |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CА a; CB b.
45